Решение.

Интегралы вида . В числителе интеграла выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где — вычисленный выше интеграл.

Пример. Найти .

Решение. Имеем интеграл вида :

Интегралы вида . Вычисление интеграла сводится к вычислению , подстановкой: .

Пример. Найти .

Решение. Имеем интеграл вида :

Интегралы вида . Существует несколько различных приемов их вычисления, рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде . Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

1) Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

Действительно, применим, например, подстановку (), тогда , ,

.

2) Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

3) Интеграл подстановкой (или ) также сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

Пример. Найти .

Решение.

Выразим через :

.

Следовательно,

.

Определенный интеграл

Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена и ограничена на отрезке , <. Разобьем произвольным образом на частичных отрезков точками и обозначим это разбиение через :

Пусть — длина частичного отрезка , . На каждом таком отрезке произвольным образом выбе­рем точку и составим сумму:

(1)

Эта сумма называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке , соответствующей данному разбиению отрезка и выбору промежуточных точек , .

Пусть — длина наибольшего частичного отрезка разбиения : , называемая диаметром разбиения.

Определение. Если существует конечный предел инте­гральной суммы (1) при , не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора промежуточных точек , то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке и обозначают

(2)

Если указанный предел существует, то функция называется интегрируемой на отрезке (или интегрируемой по Риману). При этом называется подынтегральным выражением, — подынтегральной функцией, — переменной интегрирования, и — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Таким образом, определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения стремится к нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция непрерывна на отрезке и 0.

Определение. Фигура, ограни­ченная графиком АВ функции , прямыми и осью , называется криволинейной трапецией.

Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометри­ческий смысл: произведение равно площади прямоуголь­ника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке.

Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения отрезка на частичные отрезки и вы­бора точек .

Чем меньше , тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точ­ную площадь криволинейной трапеции принимается предел инте­гральной суммы при :

.

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.