- •Часть II
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Решение.
- •Решение.
- •Интегрирование тригонометрических выражений
- •Решение.
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Условия интегрируемости функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Критерии сходимости несобственных интегралов второго рода
- •Литература
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования и . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования , а верхний изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида
называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела . Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой , а верхний предел интегрирования — буквой .
С геометрической точки зрения, функция в случае 0 представляет собой площадь заштрихованной на рисунке криволинейной трапеции.
Найдем производную от по , т. е. производную определенного интеграла по верхнему пределу.
Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции no его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:
.
Доказательство. Возьмем любую точку и придадим ей приращение так, чтобы . Тогда
.
Используя аддитивность определенного интеграла, имеем
.
Применяя теорему о среднем, получаем
,
где .
По определению производной, учитывая, что функция непрерывна, получим:
.
⊠
Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции на отрезке .
,
т. е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.
Так как интеграл существует для любого значения ,то данная теорема является одновременно и теоремой о существовании первообразной у каждой непрерывной функции . Этой первообразной может быть определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Значение определенного интеграла на отрезке от непрерывной функции равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при и :
.
Доказательство. Пусть функция , непрерывная на отрезке , следовательно, она имеет на этом отрезке первообразную, например
.
Пусть — любая другая первообразная функция на том же отрезке . Так как первообразные и отличаются друг от друга постоянным слагаемым, то имеет место равенство
, , .
Подставляя в это равенство значение , получим
.
Полагая и обозначая переменную интегрирования через , получаем основную формулу интегрального исчисления:
.
которая называется формулой Ньютона — Лейбница.
⊠
Формула Ньютона — Лейбница позволяет избавиться от вычисления определенных интегралов как пределов интегральных сумм, и задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла.
Основные методы вычисления определенного интеграла
Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница. Если — одна из первообразных непрерывной на функции , то справедлива формула Ньютона — Лейбница
Эта формула позволяет свести вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного.
Пример. Вычислить .
Решение.
.
Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле.
Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причем , то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
.
Доказательство. Пусть выполняются условия теоремы и — первообразная для функции на отрезке . По формуле Ньютона — Лейбница
⊠
Отметим, что при вычислении интеграла методом замены переменной одновременно с преобразованием подынтегрального выражения изменяются соответственно и пределы интегрирования.
Пример. Вычислить .
Решение.
Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть и — дифференцируемые на отрезке функции переменной . Тогда
.
Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке
По формуле Ньютона — Лейбница
.
Следовательно,
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример. Вычислить .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле
.
Вычисление площадей плоских фигур
в прямоугольной системе координат
Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если r0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми , может быть вычислена по формуле
.
Если 0, то
.
Если подынтегральная функция конечное число раз меняет знак на отрезке , то площадь заштрихованной на рисунке фигуры равна алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежащих над осью (со знаком « + ») и под этой осью (со знаком « — »).
Для того чтобы получить общую площадь заштрихованной отрезок интегрирования надо разбить на частичные отрезки, на которых функция сохраняет знак, то есть
.
Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , то эту площадь рассматривают как разность площадей двух криволинейных трапеций и . В этом случае
,
если .
В случае, когда разность не сохраняет знак на отрезке , этот отрезок разбивают на частичные отрезки, на каждом из которых функция сохраняет знак.
Пример. Определить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , .
Решение. Решив систему уравнений
найдем точки , пересечения параболы и прямой .
Следовательно,
(кв.ед.)
Вычисление площадей плоских фигур
в полярной системе координат
Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линией , заданной в полярной системе координат уравнением , . За базовую фигуру в полярной системе координат принимается криволинейный сектор — фигура, ограниченная линией и радиусами-векторами , . При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой, т. е. такой, что любой луч , , исходящий из полюса , пересекает линию не более, чем в одной точке. Будем также предполагать, что функция непрерывна на отрезке .
Для вычисления площади криволинейного сектора применим алгоритм составления интегральной суммы с последующим предельным переходом к определенному интегралу.
1. Разобьем отрезок на частичных отрезков точками . Обозначим , . Проведем лучи ,. Тогда криволинейный сектор разобьется на частичных криволинейных секторов.
2. На каждом частичном отрезке , выберем произвольным образом точку и найдем значения функции в этих точках: .
3. Предположим, что на каждом из частичных отрезков функция постоянна и совпадает со значением . Тогда каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с радиусом и центральным углом . Площадь такого кругового сектора вычисляется по формуле
.
Тогда
. (1)
Приближенное равенство тем точнее, чем меньше частичные отрезки, т. е. чем больше .
4. За точное значение площади S криволинейного сектора можно принять предел интегральной суммы (1) при .
.
Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной , 0.
Решение. Найдем область определения данной функции.
0
0
0
,
при ,
при ,
при ,
при ,
На интервале от 0 до функция определена на трех участках. Изобразим график функции на рисунке.
Так как функция периодическая, то
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы являются обобщением определенных интегралов в случаях бесконечных промежутков интегрирования и неограниченных функций.
Несобственные интегралы с бесконечными
пределами интегрирования (первого рода)
Пусть функция непрерывна на промежутке . Тогда она будет непрерывной на любом конечном отрезке , . Для функции , непрерывной на , существует определенный интеграл
,
зависящий от верхнего предела интегрирования. Этот интеграл определяет некоторую величину, например площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 0, прямыми и осью . Будем неограниченно увеличивать верхний предел интегрирования (+). При этом возможны два случая: либо при + имеет предел, либо не имеет.
Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции на промежутке +)называется предел при +:
(1)
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции на промежутке (–:
(2)
Если пределы в правых частях формул (1) и (2) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы не существуют или бесконечны,— то расходящимися.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции на промежутке ]–;+[, обозначаемый , предварительно представляют в виде
,
Тогда по определению
(3)
причем этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Интегралы (1) — (3)называются также несобственными интегралами первого рода.
С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура, ограниченная кривой 0, прямыми , у = 0 и бесконечно вытянутая в направлении оси , имеет конечную площадь .
Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобственных интегралов (2) и (3).
Пример. Исследовать на сходимость интеграл .
Решение.
.
Итак интеграл сходится и определяет площадь бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
Решение.
–.
т. е. данный интеграл расходится. а площадь S бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке не ограничена.
Критерии сходимости несобственных интегралов первого рода
Приведем без доказательства три теоремы, с помощью которых можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов первого рода.
Теорема. (признак сравнения). Если на промежутке [;+[ определены две неотрицательные функции и , интегрируемые на каждом конечном отрезке , причем 0 для [;+[, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла, а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Теорема (предельный признак сравнения). Если на промежутке [;+¥[ определены две положительные функции и , интегрируемые на любом конечном отрезке , и существует конечный предел
,
то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Теорема. Если на промежутке [;+¥[функция меняет знак и несобственный интеграл сходится, то сходится также и .
Отметим, что несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Несобственные интегралы от
неограниченных функций (второго рода).
Определение. Несобственным интегралом от функции , непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке , или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла при :
. (4)
Аналогично если функция имеет бесконечный разрыв в точке , то полагают
. (5)
Если же функция имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке отрезка , то, пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла, данный интеграл представляют в виде суммы двух интегралов:
.(6)
Если пределы в правых частях формул (4) — (6) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках , и называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.
С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл второго рода означает, что фигура, ограниченная кривой 0, прямыми , и бесконечно вытянутая в направлении оси имеет конечную площадь .
Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.
Решение. При и при подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв, следовательно
Итак, несобственный интеграл сходится и определяет площадь бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.
Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Решение. При подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв, следовательно является несобственным интегралом второго рода, тогда по определению
+.
т. е. несобственный интеграл расходится.
Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, не ограничена.