- •Справочник для решения задач и выполнения практических занятий Предел
- •Производная. Применение производных для исследования функций
- •Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Дифференциальные уравнения
- •Теория вероятностей. Математическая статистика
- •Механика Кинематика
- •Равновесие тел. Силы тяготения и силы упругости
- •Колебания и волны
- •Звук и его восприятие человеком
- •Свойства жидкостей. Особенности кровотока
- •Теплота Количество теплоты. Тепловое расширение тел
- •Теплоотдача и терморегуляция
- •Основные законы идеальных газов
- •Реальные газы и пары
- •Абсорбция газов жидкостью
- •Физические процессы в биологических мембранах
- •Электричество и электроника в медицине Электростатика
- •Постоянный ток
- •Волновые свойства света
- •Взаимодействие света с веществом
- •Фотометрия. Зрительное ощущение
- •Квантовая и волновая природа излучения атома
- •Радиоактивность. Взаимодействие ионизирующих излучений с веществом
- •Дозиметрия и защита от ионизирующих излучений
- •Латинский алфавит
- •2. Греческий алфавит
- •4. Основные физические и математические константы
- •5. Значение функции ф (t) для решения задач на нормальный закон распределения
- •6. Коэффициент Стьюдента
- •Единицы физических величин
- •7. Основные и дополнительные единицы си
- •8. Производные единицы си, имеющие собственные наименования
- •9. Внесистемные единицы физических величин и их соотношение с единицами си
- •10. Связь калорического коэффициента 1 л кислорода с дыхательным коэффициентом
- •11. Объем потребляемого о2 и выделении со2 при окислении 1 г питательного вещества
Неопределенный интеграл
Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x)dx. Основные интегралы
∫xμdx=xμ+1/ (μ+1) +C (μ≠-1)
∫dx/x=ln|x|+C
∫axdx=ax/lna +C
∫exdx=ex+C
∫sin x dx=-cos x +C
∫cos xdx=sin x +C
∫dx/cos2x=tgx+C
∫dx/sin2x=-ctgx+C
Интегрирование по частям
∫ udv = uv—∫ vdu.
Пример
Найти у = ∫Ln хdх.
Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда , v = x
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
у = ∫ In xdx = x In х-∫ dх = xlnx-x+C
Интегрирование методом замены переменных
Пример
Найти у= ∫ (1+ 2x)2dx
Заменим l+2x=z, Тогда
y=0,5∫z2dz
Таким образом, интеграл сведен к табличному виду Воспользовавшись формулой, найдем
Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем
Определенный интеграл
Интегральная сумма
∑f(ki)Δxi ( от i=1 до n )
где ki — произвольная точка соответствующего отрезка. Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b]
Формула Ньютона — Лейбница
где F′ — первообразная функцию f(x), т е
F′(x)=f(x)
Некоторые свойства определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x) и у = = f2(x) [ f'2(x)≥f1(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,
Дифференциальные уравнения
Общий вид дифференциального уравнения
F(x ,y,y′,y″,…yn) = О
Общee решение дифференциального уравнения
y=f(x, C1,C2, , Сn)
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
F(x,y,y') = 0
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка
y= f(x,C)
примеры
1 Дифференциальное уравнение типа y'=f(x)
, dy = f(x)dx
Общее решение
y=∫f(x)dx=F(x)+C
Дифференциальное уравнение типа у' = f(y)
,
Общее решение
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
f(x) dx + φ(y)dy = 0
Общее решение
∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0
Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными
Общее решение
F1(x)+F2(y)=C
Теория вероятностей. Математическая статистика
Относительная частота события
где п — число независимых испытаний, в которых случайное событие А происходит m раз.
Вероятность случайного события
Вероятность появления одного (безразлично какого) из нескольких несовместных событий (теорема сложения вероятностей). Для двух событий
P( А и В) = Р(А) + Р(В).
Вероятность совместного появления независимых событий (теорема умножения вероятностей) Для двух событий
P(А и В) = Р(А)Р(В].
Вероятность того, что событие А произойдет L раз при п испытаниях (биномиальное распределение)
,
где Р — вероятность наступления события А.
Распределением дискретной случайной величины называют сово-
купность ее значений: х1, х2, ... и соответствующих вероятностей:
p(x1)=p1, p(x2)=p2 ….
Условие нормировки для дискретной случайной величины, имеющей п значений,
Среднее значение дискретной случайной величины
где тi, — число дискретных случайных величин, имеющих значе-
ние xi.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Дисперсия дискретной случайной величины
D(X) = M{[X-M(X)]2},
D(X) = M(X2)-[M(X)]2,
Среднее квадратическое отклонение
Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (а, b)
где f(x) — плотность вероятности (функция распределения вероятностей) .
Условие нормировки для непрерывной случайной величины
Функция распределения случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Дисперсия непрерывной случайной величины
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) |
|
где а — математическое ожидание случайной величины, σ - среднее квадратическое отклонение. График закона распределения представлен на рис.
|
Функция распределения по нормальному закону
Значения функции Ф даны в табл
Плотность вероятности для проекции скорости молекул газа
на ось Ох
где то — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.
Плотность вероятности для модуля скорости молекул газа (распределение Максвелла по скоростям)
Средняя, средняя квадратичная и навероятнейшая скорости молекул
где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса Плотность вероятности нахождения молекулы газа в однородном гравитационном поле (пример распределения Больцмана)
Давление газа (воздуха), находящегося в однородном гравитационном поле, на высоте h (барометрическая формула)
где рh— давление на высоте h=0
Концентрация молекул газа (воздуха), находящегося в однородном гравитационном поле, на высоте h
где nо — концентрация молекул газа на высоте h = О
Интервальная оценка генеральной средней (среднее значение генеральной совокупности)
‹ xв› - ε< μ < ‹ xв› + ε,
где ‹ xв› — выборочная средняя Эти неравенства выполняются с доверительной вероятностью Р Положительное число ε характеризует точность оценки и называется доверительным интервалом
При большой выборке (n>30)
где σ — генеральное среднее квадратическое отклонение Обычно в расчетах берется выборочное среднее квадратическое отклонение
Связь между τ и P
Значения функции Ф даны в табл
Значение функции Ф (t) для решения задач на нормальный закон распределения
t |
Ф(t) |
t |
Ф(t) |
t |
Ф(t) |
t |
Ф(t) |
0,0 |
0,5000 |
1,0 |
0,8413 |
2,1 |
0,9821 |
3,1 |
0,9990 |
0,1 |
0,5398 |
1,1 |
0,8643 |
2,2 |
0,9861 |
3,2 |
0,9993 |
0,2 |
0,5793 |
1,2 |
0,8840 |
2,3 |
0,9893 |
3,3 |
0,9995 |
0,3 |
0,6179 |
1,3 |
0,9032 |
2,4 |
0,9918 |
3,4 |
0,9997 |
0,4 |
0,6554 |
1,4 |
0,9192 |
2,5 |
0,9938 |
3,5 |
0,9998 |
0,5 |
0,6915 |
1,5 |
0,9332 |
2,6 |
0,9953 |
3,6 |
0,9998 |
0,6 |
0,7257 |
1,6 |
0,9452 |
2,7 |
0,9965 |
3,7 |
0,9999 |
0,7 |
0,7580 |
1,7 |
0,9554 |
2,8 |
0,9974 |
3,8 |
0,9999 |
0,8 |
0,7881 |
1,8 |
0,9641 |
2,9 |
0,9981 |
3,9 |
1,000 |
0,9 |
0,8159 |
1,9 |
0,9713 |
3,0 |
0,9986 |
|
|
|
|
2,0 |
0,9772 |
|
|
|
|
Интервальная оценка генеральной средней при малой выборке
n≤30
Здесь — исправленная выборочная дисперсия,
где σb2 — выборочная дисперсия
Параметр t (коэффициент Стьюдента) для заданных п и Р находят по табл.
Коэффициент Стьюдента
п |
Р | ||||||||||||
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 | |
2 |
0,16 |
0,33 |
0,51 |
0,73 |
1,00 |
1,38 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
636,6 |
3 |
14 |
29 |
45 |
62 |
0,82 |
1,06 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
31,6 |
4 |
14 |
28 |
42 |
58 |
77 |
0,98 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
5,8 |
12,9 |
5 |
13 |
27 |
41 |
57 |
74 |
94 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
8,6 |
6 |
13 |
27 |
41 |
56 |
73 |
92 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
4,0 |
6,9 |
7 |
13 |
27 |
40 |
55 |
72 |
90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
3,7 |
6,0 |
8 |
13 |
26 |
40 |
55 |
71 |
90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
3,5 |
5,0 |
9 |
13 |
26 |
40 |
54 |
71 |
90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
3,4 |
5,0 |
10 |
13 |
26 |
40 |
54 |
70 |
88 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,8 |
3,3 |
4,8 |
11 |
13 |
26 |
40 |
54 |
70 |
88 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,8 |
3,2 |
4,6 |
12 |
13 |
26 |
40 |
54 |
70 |
87 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,1 |
4,5 |
13 |
13 |
26 |
40 |
54 |
70 |
87 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,1 |
4,3 |
14 |
13 |
26 |
39 |
54 |
69 |
87 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,0 |
4,2 |
15 |
13 |
26 |
39 |
54 |
69 |
87 |
1,1 |
1,3 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
3,0 |
4,1 |
16 |
13 |
26 |
39 |
54 |
69 |
87 |
1,1 |
1,3 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,0 |
17 |
13 |
26 |
39 |
54 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,0 |
18 |
13 |
26 |
39 |
53 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,0 |
19 |
13 |
26 |
39 |
53 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
3,9 |
20 |
13 |
26 |
39 |
53 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,9 |
3,9 |
21 |
13 |
26 |
39 |
53 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
22 |
13 |
26 |
39 |
53 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
23 |
13 |
26 |
39 |
53 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
24 |
13 |
26 |
39 |
53 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
25 |
13 |
26 |
39 |
53 |
69 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
26 |
13 |
26 |
39 |
53 |
68 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
27 |
13 |
26 |
39 |
53 |
68 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
28 |
13 |
26 |
39 |
53 |
68 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
29 |
13 |
26 |
39 |
53 |
68 |
86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
30 |
13 |
26 |
39 |
53 |
68 |
85 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
40 |
13 |
26 |
39 |
53 |
68 |
85 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
2,7 |
3,6 |
60 |
13 |
25 |
39 |
53 |
68 |
85 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
2,7 |
3,5 |
120 |
13 |
25 |
39 |
53 |
68 |
85 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
2,6 |
3,4 |
00 |
13 |
25 |
39 |
52 |
67 |
84 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,3 |
2,6 |
3,3 |