§ 3.4. Корреляционная зависимость. Уравнения регрессии

Функциональные зависимости достаточно хорошо знакомы чи­тателю. Часто эти зависимости можно выразить аналитически. Например, площадь круга зависит от радиуса(S = r²), ускорение тела — от силы и массы (а = F/m₀) и т. д.

При изучении объектов в биологии и медицине приходится иметь дело с функциональными связями другого рода. При этом определенному значению одного признака соответствует не одно значение другого, а целое распределение значений. Такая связь называется корреляционной связью, или просто корреляцией. Корреляционная связь, например, между возрастом и ростом де­тей выражается в том, что каждому значению возраста соответст­вует определенное распределение роста (а не одно единственноезначение). При этом с увеличением возраста (до определенных пределов) возрастает и среднее значение роста.

Количественную характеристику взаимосвязи изучаемых при­знаков можно дать на основании вычисления показателя силысвязи между ними (коэффициента корреляции) и определения за­висимости одного признака от изменений другого (уравнения рег­рессии). Коэффициент корреляции определяет не только степень, но и направление связей между величинами. Если отсутствие функциональной зависимости между величинами условно соот­ветствует нулевой корреляции, а полная функциональная зависи­мость — корреляции, равной единице, то сила корреляционной связи, вообще говоря, измеряется промежуточными значениями (от 0 до +1). При этом при положительном коэффициенте корре­ляции с увеличением одной величины возрастает и другая. Если же коэффициент корреляции отрицателен, то возрастание одного параметра сопровождается уменьшением другого.

В простом случае при линейной зависимости между исследуе­мыми параметрами используют коэффициент корреляции Бравэ — Пирсона, вычисляемый по формуле:

(3.32)

Здесь п — количество пар анализируемых признаков,—выборочные средние значения в распределениях соответствую­щих параметров,— средние квадратические отклонения. Рассчитанный по формуле (3.32) коэффициент корреляции сравнивают с теоретическим, который находят в специальной таблице с учетом определенного уровня значимости и объема выборки (см. табл. 12). Входными значениями таблицы являются число пар ис­следуемых признаков (п) и уровень значимости (0,05 или 0,01). При этом нулевая гипотеза заключается в том, что корреляцион­ной связи между исследуемыми параметрами не существует. Если получают значения коэффициента корреляции больше таблично­го, с определенной степенью вероятности полагают, что корреля­ция в генеральной совокупности отличается от нуля.

Таблица 12. Критические значения выборочного коэффициента корреляции г для двух уровней значимости

п	0,05	0,01	п	0,05	0,01	п	0,01	0,01	п	0,05	0,01
4	950	990	15	514	641	26	388	496	80	219	288
5	878	959	16	497	623	27	381	487	90	206	272
6	811	917	17	482	66	28	371	478	100	196	258
7	754	874	18	468	590	29	367	470	125	175	230
8	707	834	19	456	575	33	361	463	150	163	210
9	666	798	20	444	561	35	332	435	200	138	182
10	632	765	21	433	549	40	310	407	250	142	163
11	602	735	22	423	537	45	292	384	300	113	148
12	576	708	23	413	523	50	277	364	400	098	128
13	553	684	24	404	515	60	253	333	500	088	115
14	532	661	25	396	505	70	234	308	1000	062	081

Примечание. Нуль целых и запятая в значениях r опущены. Ну­левая гипотеза отбрасывается приr > r₀с данным уровнем значимости(0,05 или 0,01).

Покажем на примере, как рассчитывают коэффициент корре­ляции Бравэ—Пирсона.

*Оценить взаимосвязь частоты пульса X и максимального артериаль­ного давления Y у детей:

Х (удары/мин) 121,8 119,2 111,3 113,3 98,3 93,8

Y (мм.рт.ст) 99,5 103,0 103,1 106,8 99,1 99,2

Согласно нулевой гипотезе, корреляционной связи между изучае­мыми параметрами нет. Рассчитаем выборочные средние значения и средние квадратичные отклонения для приведенных выше выборок ис­следуемых параметров:= 109,6;= 101,8;_х = 10,29 и_у = 2,81. Поформуле (3.32) рассчитываем коэффициент корреляции r = 0,44. Затем обращаемся к таблице 12 и находим для шести пар признаков (п = 6), те­оретическое значение коэффициента корреляции 0,811 при уровне значимости 0,05 и 0,917 при уровне значимости 0,01. В том и другом случаенулевая гипотеза оказывается справедливой и корреляционной связи между анализируемыми признаками не существует с вероятностью 0,95 и 0,99.

Количественное представление зависимости изменений одного признака от изменений другого позволяет получить показателирегрессии. Как правило, анализ регрессии начинают с графиче­ского изображения данных. При большом числе исходных дан­ных для выявления общей закономерности вычисляются средние значения одного признака(у) в группах (классах), соответствую­щих определенному интервалу значений другого признака (х). При построении графика по усредненным данным точки на гра­фике располагаются вдоль так называемой эмпирической линии регрессии. Затем проводят подбор и составление уравнения рег­рессии. С помощью такого уравнения можно теоретически рас­считать значения, которые должен принимать один признак при определенных значениях другого (уравнение прогноза).

Если предполагается существование линейной зависимости между исследуемыми признаками (линейная регрессия), то про­водить регрессионный анализ наиболее просто. Часто при этом применяют графический метод. Для проведения линии регрессии используют прозрачную линейку, придавая ей такое положение, чтобы выше и ниже предполагаемой линии регрессии оказалось приблизительно одинаковое число эмпирических точек. На полу­ченной прямой определяют координаты двух наиболее отдален­ных точекx₁, y_l их₂, у₂. Затем составляют систему двух уравне­ний:

Из полученной системы уравнений определяют неизвестные а иb Наконец, при известных коэффициентах а и b записывают уравнение прогноза, на основании которого можно рассчитать значение параметрау приизвестном значении х.

В настоящее время при статистическом анализе эксперимен­тальных данных широко используются компьютерные вычисли­тельные программы, позволяющие проводить корреляционный и регрессионный анализ. Более подробно практическое применениеэтого вида анализа рассматривается в курсе социальной гигиены и организации здравоохранения.