Определенный интеграл

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной суммы

lim∑f(k_i)Δx_i ( от i=1 до n и Δx→0)

где k_i — произвольная точка соответствующего отрезка.

Формула Ньютона — Лейбница

где F′ — первообразная функцию f(x), т е

F′(x)=f(x)

Некоторые свойства определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f₁(x) и у = = f₂(x) [ f'₂(x)≥f₁(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,

Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения

F(x ,y,y′,y″,…yⁿ) = О

Общee решение дифференциального уравнения

y=f(x, C₁,C₂, , С_n)

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

F(x,y,y') = 0

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

y= f(x,C)

примеры

1 Дифференциальное уравнение типа y'=f(x)

dy/dx=f(х) , dx = f(x)dx

Общее решение

y=∫f(x)dx=F(x)+C

Дифференциальное уравнение типа

у' = f(y)

dy/dx=f(y), dy/f(y)=dx

Общее решение

∫dy/f(y)=F(y)+C

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными

f(x) dx + φ(y)dy = 0

Общее решение

∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0

Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными

(f(x)/ψ(x))dx+(Ф(y)/φ(y))dy=0

Общее решение

∫(f(x)/ψ(x))dx+∫(Ф(y)/φ(y))dy=C, F₁(x)+F₂(y)=C

Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Из школьного курса математики известно, что математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий (например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование).

Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(x) находить ее производную F(x) или дифференциал dF = F (x)dx.

Cуществует действие, обратное дифференцированию, интегрирование  нахождение функции F(x) по известной ее производной f(x) = F(x) или дифференциалу f(x)dx.

Функцию F(x) называют первообразной функции f(x), если для всех х из области определения функции F(x) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Например, функция F(x) = x⁵ является первообразной функции f(x) = 5x⁴ для х   , так как при любом х (х⁵) = 5х⁴ и dx⁵=5x⁴dx.

Для функции f(x) = 5x⁴ первообразной будет любая функция Ф(х) = х⁵ + С, где С – произвольное постоянное число, так как производная постоянной равна нулю.

В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x) + C также будет первообразной для f(x):

(F(x) + C) = F(x) = f(x).

Cовокупность первообразных F(x) + С для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают f(x)dx.

По определению, f(x)dx = F(x) + C (читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).

Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, функцию f(x) – подынтегральной функцией, а С – постоянной интегрирования.

Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Пример. Найти неопределенный интеграл от функции f(x) = cos x, если при х = 0 F(0) = 0.

Решение. Функция cos x есть производная от функции sin x, поэтому  cos xdx = sin x + C. Обозначим искомую первообразную F(x) = sin x + C. Подставив в последнее выражение начальные данные x = 0 и F(0) = 0, получим 0 = sin 0 + C, откуда C = 0. Искомая первообразная F(x) = sin x.

В геометрии с помощью неопределенного интеграла по закону углового коэффициента касательной в любой точке кривой можно найти уравнение кривой.

Пример. Угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен её абсциссе, то есть r = x. Составить уравнение кривой.

Решение. Так как угловой коэффициент r = tg  = f(x) = x, то y=  xdx = = x²/2 + C есть семейство парабол, отличающихся друг от друга на постоянную С.