Тема Основные понятия высшей математики
Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что
|y — A|<е, при | х —a|<δ
lim y= А
| х —a|→0
Основные теоремы о пределах.
Предел постоянной величины
limА=А.
Предел суммы (разности) конечного числа функций
lim [f(x)+φ(x)+ψ(x)]= lim f(x)+ lim φ(x)+ lim ψ(x) x→а x→а x→а x→а
Предел произведений конечного числа функций
lim [f(x) •φ(x) •ψ(x)]= lim f(x) • lim φ(x) • lim ψ(x)
x→а x→а x→а x→а
Предел частного двух функций:
lim [f(x) /φ(x)]= lim f(x) / lim φ(x) при lim φ(x)≠0
x→а x→а x→а x→а
Производная.
Производной функции f(x) называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:
ý=lim (Δy /Δx)
Δx →0
Производные некоторых функций :
у=С: |
ý= 0; |
y=x |
ý=1 |
у = хμ: |
ý=μxμ-1 |
у = аx: у = ех то |
ý=axlna; ý= еx; |
y=logax у = lпх |
ý=( logae)/x=1/(x lna) ý=1/x |
y=sinx y=cos x y = tgx. y = ctgx. |
y'=cosx; ý = — sin x; ý =1/cos2x ý =-1/sin2x |
y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx |
ý =1/(1-x2)1/2 ý =-1/(1-x2)1/2 ý =1/(1+x2) ý =-1/(1+x2) |
y = v±u: |
y' = u'±v' |
y=uv |
y' = u'v + v'u. |
y=u/v: |
y' =( u'v- v'u)/ v2 |
y = f1(u), если u = f2(x), |
у'x = у'uu'x |
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЁ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.
Приращение аргумента и функции. Пусть функцияу=f(x) определена на некотором интервале,х0их– два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность между двумя значениями аргумента называетсяприращением аргумента: х – х0 = х, откудах = х0 + х, то есть значение аргументахможно определить черезх0 и егоже приращениех.
Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: у = f = f(x0 +x) – f(x0).
Как видно из рис.1, приращение аргумента х изображается приращением абсциссы точки графика функции у = f(x), а приращение функции f – приращение ординаты этой точки.
Рис.1
Вычисление приращения любой функции у = f(x) удобно проводить по следующей схеме:
даем аргументу х приращение х и получаем точку х + х;
находим значение функции в точке х + х: f(x + x);
находим приращение функции: f = f(x + x) – f(x).
Понятие непрерывности.Функцияf(x)называетсянепрерывной в точке х0, если:
функция определена в точке х0и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;
предел приращения функции равен нулю при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть
Определение производной.Задачанахождения скорости процессовпривела к введению в математику понятия производной функции.
Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращениех, тогда функция получит приращениеf:
Отношение
является функцией от хи выражает среднюю скорость изменения функцииf(x)относительно аргументахна интервалех, х+х.
Предел отношения f/xприращения функцииfк приращению аргументах, когдахстремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называетсяпроизводной функцииf(x) в точке.
Таким образом, можно сделать следующий вывод: производная функции y = f(x):
В этом и состоит физический(в том числе механический) смысл производной.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.
По уравнению непрерывной линии у = f(x)найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точкеМ(х; f(x)),предполагая, что касательная существует.
Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис.2). Возьмем на кривой точкуМ(х; f(x)) и дадим аргументухприращениех. По значению аргументах+х получаем новое значение функцииf(x + x), соответствующее точкеМ(х +х; f(х + х)) на кривой. Проведем секущуюММи обозначим угол наклона секущей к осиОхчерез. Из рисунка следует, чтоf/x=tg. Прих 0 точкаМперемещается вдоль кривой, приближаясь к точкеМ. СекущаяММповорачивается вокруг точкиМ, и величина углаизменяется. При приближении секущейММк касательнойМТуголприближается к углу и
Угловой коэффициент касательной
Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Рис. 2