- •В. Ф. Пуркина, е. В. Кайгородов
- •Оглавление
- •§1. Элементы математической логики
- •Высказывания
- •Упражнения
- •Равносильность формул. Виды формул
- •Упражнения
- •Предикаты и кванторы Предикаты
- •Упражнения
- •Логические законы, правила вывода. Метод математической индукции Законы логики
- •Упражнения
- •Теоремы стандартного вида. Необходимые и достаточные условия
- •Вопросы для самоконтроля
- •Упражнения
- •Самостоятельная работа по теме «Элементы математической логики»
- •§2. Множества и элементы комбинаторики
- •Множества
- •Упражнения
- •Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания
- •Правило произведения
- •Перестановки, размещения и сочетания
- •Упражнения
- •Бином Ньютона. Треугольник Паскаля Свойства сочетаний
- •Треугольник Паскаля
- •Формула бинома Ньютона
- •Упражнения
- •Самостоятельная работа по теме «Множества и элементы комбинаторики»
- •Соответствия и отношения
- •Операции над соответствиями
- •Упражнения
- •Свойства и типы соответствий Виды соответствий
- •Упражнения
- •Бинарные отношения и их свойства Отношения
- •Упражнения
- •Отношения эквивалентности и порядка. Фактор-множество
- •Самостоятельная работа по теме «Соответствия и отношения»
- •§4. Операции на множествах и их свойства
- •Упражнения
- •Исследование свойств бинарных операций на числовых множествах
- •Упражнения
- •Зачетная контрольная работа
- •6. Глоссарий
- •7. Основная и дополнительная литература
- •7.1. Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Элементарная математика
Операции над соответствиями
Понятие бинарного соответствия тесно связано с понятием двухместного предиката. Если Р(х,у) ― двухместный предикат, в котором переменная х пробегает множество X, переменная у ― множество У, а Т ― множество истинности этого предиката, то тройка множеств будет задавать соответствие между X и У.
Связь между понятиями двухместного предиката и бинарного соответствия та же, что и между характеристическим свойством (одноместным предикатом) и множеством. Эта связь позволяет перенести на соответствия все понятия, рассмотренные в предыдущем параграфе для предикатов.
Пусть даны два соответствия: , . Эти соответствия называются противоположными, если их графики взаимно дополняют друг друга в множестве ХУ, или на «языке» предикатов ― соответствующие им предикаты Р(х,у) и Q (х,у), взаимно отрицают друг друга.
Например, для соответствия «х f у ⇔ х < у» противоположным будет соответствие «х f у ⇔ х ≥ у».
Действительно, графики этих соответствий ― взаимно дополняющие множества ― и отрицание предиката «x<y» есть предикат «x≥y».
Объединением соответствий f и g называют соответствие, графиком которого является объединение графиков А и В и которому соответствует дизъюнкция предикатов Р(х,у) и Q(x,y): (Р(х,у)Q(x, у)).
Аналогично определяется пересечение соответствий.
Например, для соответствий «хfу х у» и «хfу⇔ ⇔ х≥ у» их объединением будет соответствие «хhу⇔ ⇔ ((х у) ⋁ (x у)) с графиком RR, а пересечением ― «х S у ⇔ (х у) & (х у)» с графиком А ={{х, х} / хR}.
Для каждого соответствия можно определить обратное соответствие f между У и X следующим образом: у f -1 x x f у, иначе ― пара принадлежит графику соответствия f -1 тогда и только тогда, когда пара .
Можно сказать, что граф соответствия f -1 получается из графа соответствия f изменением направления всех стрелок.
Например, если х f у ⇔«прямая х касается окружности у», то у f -1 x ⇔ «окружность у касается прямой х».
Определим операцию композиции двух соответствий , :
Обозначим через С график композиции соответствий f и g.
Тогда
.
На «языке» графов это означает, что точки (х) и (z) соединяются стрелками в том случае, если соединены стрелками точки (х) и (у), (у) и (z).
Короче ― .
П р и м е р: Пусть хfу⇔«у=х2», ygz⇔ «z=y+2».
Тогда х(fg)z ⇔ «z = х2 + 2».
Упражнения
Даны два множества: N и R. Задать различные бинарные соответствия между этими множествами различными способами.
Дано соответствие . Изобразить график соответствия. Определить область отправления, область прибытия, область значений, область определения.
Даны два соответствия
и
.
Найти композицию и построить ее график.
Свойства и типы соответствий Виды соответствий
Соответствие называется всюду определенным на множестве X, если:
а) , то есть: : у=f(x), или на «языке» полного образа элемента;
б) , или на «языке» графов;
в) из каждого элемента множества X выходит стрелка и приходит в Y.
Соответствие называют сюръективным, если:
а) , то есть : хfу ⇔ у=f(x), или на языке полного прообраза;
б) , или на «языке» графов;
в) в каждый элемент множества Y приходит стрелка из X.
Если f ― всюду определенно на X, то f -1 ― сюръективное соответствие Y на X, если f ― сюрьективно, то f -1 всюду определенно на Y.
Соответствие f называют функциональным, если:
а) R(x) содержит не более одного элемента, то есть ; б) на языке графов это означает, что из каждого элемента множества X не выходит две стрелки и более.
Соответствие f называется инъективным, если:
а) содержит не более одного элемента, то есть ;
б) на «языке» графов это означает, что в каждый элемент множества Y приходит не более одной стрелки.
Из этих определений следует, что соответствие, обратное функциональному, ― инъективно, а обратное инъективному ― функционально.
Если f и g ― всюду определенные, функциональные, инъективные и сюръективные соответствия, то ― тоже будет обладать всеми этими свойствами.
П р и м е р 1: Соответствие на рисунке
а) не всюду определено;
б) функционально; в) инъективно;
г) сюръективно.
П р и м е р 2: Пусть X ― множество студентов в аудитории. Y ― множество стульев. Зададим соответствие x f y «студент x сидит на стуле y».
Это соответствие будет:
а) всюду определенным, если каждый студент будет сидеть;
б) сюрьективным, если все стулья заняты;
в) функциональным, если каждый студент не сидит на двух стульях;
г) инъективным, если на каждом стуле не сидят два студента.
П р и м е р 3: Пусть х f у (у = sin х), X = R, Y = R. Тогда графиком этого соответствия будет синусоида:
Соответствие это будет:
а) всюду определено, так как : (у = sin х) (любая прямая, параллельная оси ОY, пересекает график функции хотя бы в одной точке).
б) функционально, так как состоит из одного элемента (любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает график функции в единственной точке).
в) не инъективно, так как , для которых R -1(у) состоит более чем из одного элемента (существуют прямые, параллельные оси ОХ, которые пересекают график множество раз).
г) не сюръективно, так как , для которых не существует х: у=sinx (существуют прямые, параллельные оси ОХ, которые не пересекают график ни в одной точке).
Рассмотренные выше свойства соответствий (инъективность, сюръективностъ и т.п.) позволяют классифицировать все соответствия на определенные типы. Приведем классификацию соответствий по свойствам в виде таблицы:
Функциональность |
Всюду определенность |
Инъективность |
Сюръективность |
Название |
+ |
|
|
|
Функция типа |
+ |
+ |
|
|
Отображение из X в Y |
+ |
+ |
+ |
|
Вложение (инъекция) X в Y |
+ |
+ |
|
+ |
Наложение (сюръекция) X на Y |
+ |
+ |
+ |
+ |
Биекция X на Y |
Из этой таблицы видно, например, что отображение ― это всюду определенное функциональное соответствие.
П р и м е р 4: Отображение сюръективно и инъективно, так как: из того, что
и . Следовательно, соответствие ― биекция.