Упражнения

1. Являются ли операциями и какого ранга следующие действия:

а) вычисление десятичных логарифмов на множестве R;

б) вычисление среднего геометрического двух чисел на множестве положительных действительных чисел;

в) вычисление среднего арифметического трех чисел на множестве Q;

г) вычисление наибольшего общего делителя 2-х чисел на множестве N;

д) скалярное умножение на множестве векторов плоскости .

2. Какие из арифметических операций +, –, ∙, : являются выполнимыми:

а) на множестве {-1, 0, 1 };

б) на множестве N натуральных чисел;

в) на множестве Z целых чисел;

г) на множестве Q рациональных чисел;

д) на множестве R действительных чисел,

е) на множестве I иррациональных чисел.

Исследование свойств бинарных операций на числовых множествах

Важными свойствами бинарной операции являются свойства ассоциативности, коммутативности, существования нейтрального элемента (ле­вого, правого, двухстороннего), существования обратного элемента (левого, правого, двухстороннего), наличие нулей и идемпотентов. Сформулируем основные свойства бинарных операций в виде условий, называемых также аксиомами:

 

А1. Аксиома ассоциативности:

а, b,с А, (а * b) * с = а * (b * c);

А2. Аксиома коммутативности: 

а, b А,   а * b = b * a;

A3. Аксиома существования левого нейтрального элемента:

e'A | aA, e' * a = a;

A4. Аксиома существования правого нейтрального элемента:

e''A | aA, a * e''= a;

А5. Аксиома существования  нейтрального элемента (двухстороннего):

е А |  аА, е * а = а * е = а;

А6. Аксиома левого симметричного элемента:

aA  а'А | а' * а = e;

А7. Аксиома правого симметричного элемента:

aA  а''А | а * а'' = e;

А8. Аксиома существования симметричного элемента (двухстороннего):

aA  А |  * а = а * = е.

О п р е д е л е н и е 4: Говорят, что бинарная операция * на множестве А:

• коммутативна, если выполняется условие А2,

• ассоциативна, если выполняется условие А1`,

• обладает нейтральным элементом (левым, правым), если выполняется А5 (A3, А4),

• обратима (слева, справа), если выполняется А8 (А6, А7).

П р и м е р 4. Исследовать свойства бинарной операции *, заданной на множестве Q по правилу:

a,b Q, а * b = а – ab + 1.

Р е ш е н и е:

1. Проверка условия выполнимости. Так как сумма, произведение, разность рациональных чисел являются рациональными числами, то результат операции а – ab + 1 есть рациональное число. Операция * вы­полнима на Q.

2. Проверка условия однозначности. Операции сложения, умножения, вычитания рациональных чисел ― однозначны. Следовательно, и опе­рация *, которая определяется через них, будет однозначной.

3. Проверка аксиомы ассоциативности. Возьмем любую тройку элементов а, b, с из множества Q и проверим выполнимость равенства: (а * b) * с = а * (b * с). Раскрывая левую часть этого равенства, получаем:

(а * b) * с = (а – ab + 1) *c =  (a – ab +1) – (a – ab + 1)с+1 =

= a – аb – aс + abc – c + 2.

Раскрывая правую часть рассматриваемого равенства, получаем:

а * (b * с) = а * (b ― bc + 1) = а ― а(b ― bc + 1) + 1 =

=1­– ab + abc.

Результаты различны, поэтому операция * неассоциативна.

4. Проверка аксиомы коммутативности:

а, bQ,   а * b = b * a.

Так как a*b = a­–ab+1,b*a= b – ba + 1, то при аb результаты различны. Итак, операция * некоммутативна.

5. Проверка наличия нейтральных элементов:

а) Из аксиомы A3 имеем: х * а = а или х – ха + 1 = а, откуда х = –1. Следовательно, существует левый нейтральный элемент е' =1.

б) Из аксиомы А4 имеем: а * х = а или а – ах + 1 = а, откуда . Здесь х зависит от а. Следовательно, правого нейтрального элемента нет.

в) Из пунктов а) и б) следует, что нейтрального (двухстороннего) элемента нет.

6. Проверка наличия симметричных элементов.

Для выполнения аксиом А6 и А7 необходимо наличие двухстороннего нейтрального элемента e относительно заданной операции. Так как такой элемент отсутствует, то операция * не обладает симметричными элементами.