Підручники з Дискретної Математики / yadrenko_m_y_olenko_a_ya_diskretna_matematika_na_ukr_yazyke

¯®¦¨¥à æi­.

­ á­®¢­­®¦¨¨© ¯à¨­ ¬¨æ¨¯. 2.¥ª

àâi¢­

¤®¡ã⮪â®à¨ª¨.

x 62A (x2A) : ¥«¥¬¥­

x ­¥

­

«¥¦¨âì ¬­®¬¡i¦¨­i A;

B : ¬­®

­

A c

¯i¤¬­®¦¨­®î ¬­®¦¨­¨ B (ª®¦¥­ ¥«¥¬¥­â ¬­®-

á­®¢­i ¯®§­ ç¥

­

­ï

¬­®

­:

¦¨­¨

: ¥«¥¬¥­â

«¥¦¨âì ¬ ®¦¨­i A;

­

­®¦¨â¥­®àiB );

8

¤«ï¥ª®¦¨âì­®£®

­®¦¨­

A.

N(A) : ç¨á«® ¥«¥¬¥­âi¢

;

: ¯®à®

­ï ¬­ ¦¨­ ;

9x :

iá­ãc x;

¯¥à æi ­ ¤ ¬­ ¦¨­ ¬¨.

(ài§­¨æï ¬­

­ A i B);

®¤i

nB = f

:

2 A i x2Bg

[

x;

¡® x 2 Bg

(®¡'­ ¦¨c ­¦¨A);

¬­®¦¨­ A i B);

= fx : x2Ag

­¥­­ï ¤®

A i B);

4B = (AnB) [ BnA)

¢« ­® ã

­

i§

¨æï ¬­

­ ¬ã ¥«¥¬¥­âã x 2 X

¢i¤¯®¢i¤­­iáâì ¥«¥¬¥

y = '(xB)2 Y:

A

\ B = fx : x 2 A i x 2 Bg (¯¥à¥ài§ ¬­ ¦¨­ A i B);

¦¨­ A i .

B = f(x; y) : x 2 A; y 2 Bg (¤¥ª

àâi¢ ¤®¡ã⮪ ¬

'

(ᨬy) =¥âà¨çfx

= '(x)g

ª®¦-

i¤®¡à ¦¥­­ï. ¥å © X

Y

¬­ ¦¨­¨. ਯã

Y.

ªé® X = fx ; :::; x

g;

Y = fy ;:::y

g - áªi­

i ¬­ ¦¨­¨,

¢i¤®-

(¯à®

y 2 Y , â®

?1

¡à § ¥«¥¬¥­âã y).

¤ câìáï

¡«¨æ¥î §­ 祭­ì

­â®

¡à ¦¥

ï '(x) : X ! Y §

á­­®¢­¨© ¯à¨­æ¨¯ ª®¬¡i­

¨ª¨.

¥å ©

­

¬¨, ¤àã£

¤iï - n

ᯮᮡ ¬¨,â®

ᯮá

¥âï ¤iï - n

¯®á«i¤®¢¡ ¬¨, â ª(®¤ «i

x

x

1

m

x

1

n

x

x

)

y

'(x )

'(x ) ...

'(x ) ...

'(x

1

2

k

m

§

1

2

k

m

âàã⨥¡

§¤i©á­¥­ n

ᯮ-

®¤­icî) §¤i©á

¨â¨ k

. ªé®

¤iï ¬®¦¥

ᯮᮡi¢ §¤i©á­¥­­ï k -

¤i©

¤®ài¢­îc9n1 n2

n3

::: nk :

1

¤

k-

¤i , ïª

2

3

¬®¦¥ ¡ã⨠§¤i©á­¯­¥àèn

k

ᯮᮡ ¬¨, â® § £ «ì­¥ ç¨á«®

1. ¥å ©

A2.

A = fx : (x ? 1)(x ? 2)(x + 3) ln x = 0g;

i¤èãª

B = f1; 2; 3; 4; 5g:

A [ B; A \ B; An

A4B:

¡ç¨á«¨â¨ N(A [ B); N(A \B;); N(AnB); N(A4B):

2. ¥å ©

A = fx : x

2

? 3x + 2 = 0g;

i¤èãª

B = f0; 2g:

A [ B; A \ B; An

BnA; A4B:

N(A [ B); (A \B;); N(AnB); Bn N(A4B):

¡ç¨á«¨4 )

=N(A)

+N( )

?2N(A \ B

3. ®¢¥áâ¨, é®

¢) N(A

[B [ C) = N(A) + N(B) + N(C); ? N(A; \ B) ? N(A \ C) ?

)

(A)

( )

N(A \ B);

B \ C) + N(A \ B \ C):

N(A A)

4

A = f0; g: i¤è㪠⨠A

5 ¥å © A = f1

2; 3g;

B = f3; 4gA: ¡ç¨á«¨â¨A B: ¡ç¨á«¨â¨

6

N(A) = n;

N(B) = m: ®¢¥á ¨, é® N(A B) = n m:

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦ãâì ¡ã

­ §®«®â i¤èãªáài¡­ ¬¥¤ «i?

N(A B):

äãâ¡®«ã ¡¥à¥ ãç áâì 12 ª®¬ ­ . ªi«ìª®¬

7

஧¨£à èi ¯¥àè®áâi

9.

¥å ©

X = fa; b; cg; Y

= f0; 1g: ª § ⨠¢ái ¬®

¢i¤®¡à ¦¥­­ï

11. ¥å © X = fa; b; cg஧¯®¤i«: ª ⨠¢ái ¯i¤¬­®¦¨­¨ ¬­®¦¨­¨ X.

' : X ! Y: i¤à å㢠⨠ç¨á« ¢i¤®¡à ¦¥­ì ¬­®¦¨­æ¨äফ¨¢iXY.

8

0

ªi«ìª¨ âà¨æ¨ä஢¨å

ç¨á¥«

¬®¦­ ᪫ á⨠§

1,2,3,4,5?

ªé® N(X) = m; N(Y ) = n; â® ç¨á«® ¢áiå ¢i¤®¡à ¦¥ ì ' : X ! Y

¤®ài¢­îc n

m

: ®¢¥á⨠æ¥.

10

2. ®¢¥áâ¨, é® ç¨á«® ãáiå ¯i¤¬­®¦¨­

­®¦¨­¨, ïª

᪫

âìáï § n

¥«¥¬¥­âi¢, ¤®ài¢­îc 2n:

B2.

2

C

ç®â¨à¨ 箫®¢iª¨ i èi âì ¦i­®ª. ®¦¥­ ç «®¢iª ®¤àã¦ãcâìáï §

1

ªi«ìª¨

c

äà ¢¨å

пªi ¤i«пвмбп ­

5?

3

¯i箤¬­â¨à¨æ¦¨­ ¬­ ¦¨­ç¨á¥«,

¬iбвпвм

­ ©¬ªi«ìª­ ®¤­¥á¯®à­

ç¨á«®?

§à®¡¨â¨?

®¤­icî § ¦i­®ª.

®¬

ᮡ ¬¨ æ¥

¬®¦­

4

c

= f1; 2; :::; 2ng

i¤ãâì ¢

i¤

­ âãà «ì­¨å

ç¨á¥«,

¬¥­è¨å 100, æ¨äà¨

直å

5.

¤® B

B:

. §¤®¢¦ ¤®à®£¨ áâ®ïâì á⮢¯¨, ­

¢ª § ­®

¢i¤¤ «i ¤®ªi«ìª¨A

®

§à®áâ î箬ã¯à¨

à浪ã?

j 999 j

0 j

j

0 j

999ªj¬

j 1 j 998 j

j 2 j 997 j

:::

ª®¬. ªi«ìª¨

¢i¤ài§ªi¢

­

¯à¨ æì®

ã?

ªi«ìª¨ á¥à¥

­¨å â

直å c âi«ìª¨ ¤¢i ài§­¨å æ¨äà¨?

6

¯«®é¨­ c n ài§­ª¨å,

. ®¦­ ¤¢i

б¯®«гз овмбп ¢i¤аi§-

1

¥å © N(X) = n: «ï ªâ®ç®ª¦­ ¯ ਠ¯i¤¬­â®çª¨¦¨­ A

A (A X; A

3®¡ç¨á«¨â¨ªi«ìª¨«ï

­

­

гв¢®а¨вмбпвг «м­®£®

n §

©â¨

©¡i«ìè¥ k, ïª

¬ c

ã

N(A \ A ): ®

2.

áã¬

1

2

1

2

X)

¤®ài¢

îc

2

®¤¥à¦ ­¨å ç¨á¥«?

­®-

ài§­¨å ¯

2

¯i¤¬­ ¦¨­, пªi ­ ¯¥а¥ ¨­ овмбп,

1

câìáï § n ¥«¥¬¥­âi¢, ¬®

­

¢¨¡à â

k

¢« á⨢iáâì: ¢ ¬®£®¦¨­i, é® áª« ¤

¦¨

4.

¯«®é¨­i c ­¥áªi­ç¥­­

¬­ ¦¨­

â®ç®ª. i¤¤ «ì

¬i¦ ¡ã¤ì-直¬¨

, ïª

¤ câìáï § n ¥¬¥­âi¢?

ài§­¨å ¯i¤¬­

¦¨­, ¡ã¤ì-ïªi ¤¢i § ïª¨å ¬ îâì ­¥¯®à®¦­i© ¯¥à¥ài§.

¤¢®¬

§ æ¨å â®ç®ª c æi«¨¬ ç¨á«®¬. ®¢¥áâ¨, é® ¢ái â®çª¨ «¥¦ âì ­

®¤­i© ¯àï¬i©.

11

¯ à浪

®¢ ­ ­®¦¨ï­i§.n3.¥à¥k.áâ ­®¢ª¨,

­ ¯®à浪¬­ ¦¨­¨.

®¦¨­

­ §¨¢ câìáï ¢¯®à浪®¢ ­®î,

ïªé® ¥«¥¬¥

⨠஧¬i饭

¢

¯¥¢­­ ¬ã

¯®à浪ã (ª ¦­®¬ã ¥«¥¬¥­âã ¯®

ª®¢ ­®§¬iék-¥«¥¬¥­­áâ­i§¯i¤¬­®¦¨à®§¬ié­¨

¥­

¦¨­¨, ïª

¢¯®à浪᪫ câìáï § n ¥«¥¬¥­âi¢.

ᯮᮡ

¦¨.¢i¤¯®¢i¤¬­ ¦¨­¨, ïªi

¦­

®¤¥à¦ ⨠§

­® ¬­®¦¨­¨ ­ §¨

â ¢« ­ ã

­iáâì ¯¥¢­

ç¨á«®

{ ©®£® ­®¬¥à).

㢠⨠n! = 1 2 3:::n

­

­ã, é®

iáâ¨âì n ¥« ¬¥­âi¢ ¬®

­

¢ îâì

¯¥à

®¢ª

¬¨ æic

­®

­ .

¯®à浪¨á« ஧¬i饭ì i§ n ¯® k ¤®ài¢­îc

k ­ §¨¢ овмбп ¢¯®ап¤-

ï

n ¯® k.

®§

i饭­ï¬¨ i§ n

Ak

= (n)

k

= n(n ? 1):::(n ? k + 1):

1

i¤

n

A3.

¬iáâ

¤® k ¤®ài£.

¤®

¢¥¤¥ n

£, ¢i¤

ªi«ìª®¬

¬iáâᮡ ¬¨ ¬®¦

¯®¯ á⨠i§¤®ài

¯®¢¥à­ãâ¨áì ­ § ¤?

ïªé® ­

¤ ¯®¢¥àâ

¬iáâ

¤®à®£ ¬¨?

,

®¦­¥¯'ïà­¥

ç¨á«á¯®á®¡¤¬¥âi¢® ¯ ¢¯®à浪­¨© ­®¬¥à?

­ 5 ?

2

c

¨§­

­è¨¬¨¨åçᥫ, ïªi

ã¢

4

â¨áì

­

¬­ ¦¨­ã f1; 2; :::; 2ng

3

ài§­ . ªi«ìª®¬

10 ¯à¥

¬¨ ¬®¦­

¤i«пвмбп

஧ª« ¤ ­

¯®­¥¤i«®ª?

ç­

¢¨¢ç

îâ

.

­¥

®ª 6

, ¯à¨ç®¬ã ¢ái

¡) ªi«ìª¨c

â ª¨å

ᯮᮡi¢,

ª®«¨ ®¡¨¤¢i è 誨

¬®¦ãâì ¡¨â¨ ®¤­

6

®¬

®¡ ¬¨ n

«î¤¥© ¬®¦ã ì

¢ãபi¢®«®?

ãப¨â , 鮡¢®­

­¥ ¬ £«¨ ¡¨â¨

®¤­ã?

¤ èæi ¤®èæi¤¢i 誨 -

8.

)

c

®¬

ᯮ

¬¨ ¬®¦­à®§¬iáâ¨â¨­

7

ᯮᮡi¢

᪫

®¤­­ï ­ ¬¨á

i§ k ài§­¨å

¯à¥¤¬¥âi¢?

5

¬

¬®¦

¬®£«

­

è

®¢i©

8 âãà

¡i«ã i ç®à­ã â ª, 鮡 ¡i«

è èª

¡¨â¨ ç®à­ã?

®¤­ã?

12

鮡­èã?9¢). å ¬®¦ª ªi«ì­®¬¡ã«ªi ¯®á®¡âì¯à¨ª«à®§¬iéáâ¨i§¥­28®¤ì

­èªiáâ®ç®ªè®¢¨¬¨ª, ¯à¨¤®¬i¯®«ïª¨å­ ¬®¦®¤¬¨?­ ­¢¨¡à­¥ ¬®¦¤¢i¥ ¡¨â¨ª,

0

c

ç¨á¥« ã á¨áâ¥

i ç¨á«¥­­ï

®á­®¢®î n , ïªi § ¯â¨

2

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­

¢¨®¢¨­

è 客㮤®èªáãовмбп஧-

¬i஬ mªi«ìª¨n k ài§

¨å äi£ãà?

âãਭ X

஧¬iáâ­ ¦¨­ã Y ­ §¨¢ câìáï ­'cªâ ¢­¨¬,

13.

) i¤®¡à ¦¥­­ï ' ¬­

â®ç­

k §­

¬?

¬ ¦­

i©

1

®¬

¯®¢i¤

ïªé® ài§­¨¬ ¥«¥¬¥­â ¬ ¬­ ¦¨¦¨­ X

ài§­i ¥«¥¬¥­â¨¤®èæi¬­ ¦¨­¨

n n ¤¢i ài§­®ª

ª, 鮡 ¢®­¨ ­¥ ¡¨«¨

­

®¤­ã?

Y, ⮡â®,

ïªé®

x =6 x®«ì; ®à®¢i'(x ) =6 '(x ): ªé® N(X) = m; N(Y ) =

n; (m n); â® ç¨á«® i­'cªâ¨¢­¨å

¢i¤®¡à

¦¥­îâìX ¢ Y ¤®ài¢­îc

1

m

2

1

2

= (n)m = n(n ? 1):::(n ? m + 1):

®¢¥á⨠æ¥.

An

®¤­®§­ ç­¨å ¢i¤¯®¢i¤-

¡) ªé® N(X) = N(Y ) = n; â® ç¨á«® ¢§ c¬­

­®á⥩ ¬i¦ X

Y

­îc n! ®¢¥á⨠æ¥.

¬

ப. ªi«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨

1

C ¯'ïâì ¢

¤i¢¤®ài¢ª ­¢¥àâi¢

ç®â¨à¨

2

) ªi«ìª¨

ài§­¨å ¤i«ì

¬ ¥

® 6

10 ?

¬®¦­

B3.

¢i¤á¨¤¨«ª¨ «¨áâ ?

¢¨¡à ⨠ª®­¢¥àâ § ¬ àª®î ¤«ï

i¢

c ç¨á«®

¡)

å © p

; p

; :::; p

- ài§­¨ªi¢

ç¨á«

. ªi«ìª¨ ¤i«ì­

5

4

­® àï¬ ¬¨ §

m â®ç®ª. ®¦­ã ¢¥à設㠯ਯà®áâi­ ¢i âਪãâ­¨ª

1

::: N

?

1

2

N

å áâ®ài­ âਪãâ­¨ª

¢§ïâ® n â®ç®ª , ­

1

3

N¥

®¤­i© i§ ¡iç­

5

¬¨ ­

¨ iá­ãc

¯à¥áâ ­®¢®ª § n ¥«¥¬¥­âi¢ á¥à ¤ ïª¨å ¬i¦ ¤à㢮¬£i©

¯à

⨫¥¦­i© ¡iç­i©

áâ®à®­i.

áªi«ìª¨á¯®«ãçá⨥

­ ¯®¤i«¨âìáï

âਮçªãâ­¨ª æ

¬

¤ ­¨¬¨ ¥«¥¬¥áâ®ïâì­ ¯àﬨ¬¨?âì r ¥«¥¬¥ âi ?

­âi¢, ã ïª¨å ­ 2

4

¨

¬®¦­

§

®¡¨â¨ ¯¥à¥áâ ­ ¢®ª i§ n ¥«

6.

ªi«ìª®¬

ᯮáá⮡ ¬¨ ¬®¦­13¢¯®à浪㢠⨥¬¥­®¦¨­ã f1; 2; :::; ng

¥«¥¬¥­â¨ ­

ãç

­â¨©ª,87.2鮡)ªi«ìª3 ¢i¤¯®ªi«ì¦­¬¥¢i¤ª®¬ç¨á«á¯®­

¯®á®¡ªà¬¨â­¬¥¨2

¬®¦i­ª®¦§­­¥k᪫ç¨á«®¤­i¢áâ¨áª«âàì®á⨭媮«iॠm3 ¬iᯨâi¢?«®­¨©­®¬á¬ã¥à£ ªàá⨩-

¯à ¯®à,

c 6 ª®«ì®ài¢?

3.

¡)

ïªé®

®¤­

á¬ã£

- ¦®¢â ?

¯à®áâià n «

4

­

ç¨á«¤®¡ á⨭ ¬®¦ã ì ஧

1

8 ¤«ï ¤®èª¨ m n:

¤® n ®ç®ª?

2

®§¢' § ⨠§ ¤ çã 3 N9, ïªé® ­

å ¬®¦¥ ¡

â¨

á« +1

-1 ⠪, 鮡

ã⮪ ç¨áªiáâ®çª¥« ã ¦­

à浪ãâ¨

ª ¦­

å

3

¯à ¬®ªãâ­i© â ¡«¨æi § m à浪i¢

n á⮢¡ç¨ªi¢ ¯®âà ­ § ¯¨

ç¥à¥§

ã ªà â­ áâî

â®çª¨. ª § ­i ç¨á« : k

-§à®¡¨â¨?ç¨á« ¢¥à設

á⮢¡ç¨

ã ¤ ài¢

î¢

1. ªi«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­ æ¥

5.

¯«®é¨­©¡i«ìè¥ ¤¥­

n ¯àï¬ å. §¢¥¬® ç¨á«®¬ã

¯àﬨå, ïªi ¯à®¬ã-

­ ©â¨

k

᫯஢¥¯¢¥à訥«ì­¨å ¯àﬨå.

ªà®¤ïâì­®áâi ¤¢

-

®

­ ªà â­®áâi

âਠi â.¤i«¨â¨.

騭?

áªi«ìªâ®çª¨

á⨭ ¤i«ïâì æi ¯àï¬i ¯«®é¨­ã?

2

¡)

6. ®¢¥áâ¨, é® ç¨á«

(2

)! ;

(n2)! - æi«i.

3

n

(n!)

n+1

2

14

­ æi i§ ®¬¡in

­

æik {i§æn¥ ¯®k- k«¥¬¥4­å.⢫­ ¯i¤¬á⨢®áâi­ ¦¨.

­

­®¦¨­¨, ïª

¯à¥¤¬¥âi¢, ¯à¨ç® ã

¯®à冷ª

¯à¥¤¬¥âi¢

¢

£àã¯i

­¥iáâ®â­ ©).

¨á«®¬¡i

-¥«¥¬¥­â­¨å ¯i¤¬­®¦¨­ ¬­®¦¨­¨, ïª

¬¤¬áâ¨âì¥âi¢ n ¥«¥¬¥­-

¬iáâ¨âì n ¥«¥¬¥­âi¢ (i è¥ ®§­ 祭­ï { £à㯨 ¯® k ¯à¥

§ ¤ ­¨å n

k

n

n!

n(n ? 1):::(n ? k + 1)

(n)k

âi¢, ¤®ài¢­îc

=

:

Cn

= (k ) =

k!(n ? k)! =

A4.

k!

k!

1

ªi«ìª®¬

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­

¤ câìáï

§ 7 ®ái¡ ¢¨¡p ⨠ª®¬iáiî, ïª

2

å â®çª å

¨­

¤i £®­ «i ®¯ãª«®£® n᪫- ãâ­¨ª ,

§ 3 ®ái¡?

­

âp¨ § ­

å ­

¯¥p¥в¨­ овмбп

®¤­i©

®çæi?

ã £®«®¢

¢

¬¥¤ «i

®¬ã,

ïªé®

î

âi

å ®¤­

®¢i

®¬

­¤¨

ïªé®(3 ®¬¦®¤­ áªi«ì¨)

ª

(4

®¬ ­¤¨). ªi«ìª¨

ª¨å ¬®¦«¨-

i ªpi¬

å ¦®¤­ âp¨p¥§ã«ìâ­ «i£¥ã¦ âì ­

®¤­i© ¯pï¬i©. ªi«ìª¨ iá­ãc

3

ã ¥¬® £ ¢®p¨â¨ é® ¤¢

祬¯i®

⨠¯® äãâ¡®«г ­¥ ¢i¤pi§­повмбï

4

¯«®é¨¯®ª¨¤­® n â®ç®ª,

m

«¥¦

®âp¨¬ãîâì­ ®¤­i© ¯pï¬i©

5

ãâ­¨ªi¢

p設 ¬¨

ïª

c ¤ ­i â®çª¨?

­ áâ㯭

æ¨äà

¡i«ìè¥

ªi«ìª¨ c

­

®ç¢¨éãåç¨á¯p¨ç®¬ã¥«, 直å

â®ç®ª¦­

¢®á⥩?

è«ïåi¢ ¢¥¤ãâì i§ â®çª¨ (0,0) ã â®çªã (m,n)?

®

âp¨ª¢¥

­ ¬¨

-

§ ¡®p®­ïcâìáï.

7

§¢'ï§ â¨¯'ï⨧¯¥p¥¤­î § ¤ çã, ïªé® ¯p®å®¤¨â¨ ç¥p¥§ âp¨ªãâ­¨ª §

¯ ¯¥à¥¤­ì® ?

®âè¨å8. ¢¥á⨠pi¢­®áâi:

6

£«ï­¥¬® è 客¥ ¬iáâ® i§ m n ª¢ pâ «i¢. ªi«ìª¨ pi§­¨å ­ ©-

¢

n

+ C(0,n1

+ ::: + C

= 2 ;

n?m

n

n

k

d),(0,n),(d,n)?1

n

k

=

?1

+

k

1

;

2

n

0

2

1

Cn)

;

¡ (Cn)

+ C

1

m

= C2

m

m

á) C

0

C

?m

+ ::: + C

m

C

= 2

C

:

+ C C

1

®¬

B4.

¢

ᯮᮡ ¬¨ ç¨â ç ¬®¦¥ ¢¨¡p ⨠3 ª­¨£¨ § 6?

2.

ªi«ìª®«®¤¨

52

ª p⨠¢¨¡p «¨

0 ª pâ.

15

£

) ªi«ìª®¬

á-

¥­p¥

¬¥æ¨å襪¤¢®pâ c¡âã§i¢?pi¢å®ç¤¥ pi¢®

­¢®¤¨®¤¨â㧨?­ âã§?âã§?

3

ᯮᮡ ¬¨ ¬®

­

¢¨¯ á⨠âਠ£à «ì­i ªã¡¨ª¨?

¡)

áªi«ìª®å ¢¨¯ ¤ª å

®ç

¡

®¤­®¬ã

ªã¡¨ªã ¢¨¯ ¤¥ 6?

¢

­

®¤­®¬ã ªã¡¨ªã ¢¨¯

¤¥ 6,

i­è®¬ã 3?

4

ªi«ìª¨ c

¯'ï⨧­ ç­¨å ç¨á¦ãâ쥫, 直å

ª®¦­

­ áâ㯭

æ¨äà

¬¥­è¥

¯®¯¥à¥¤­ì® ?

5.

®¢¥á⨠â®â®¦­®áâi:

m

=

Pm

k

+m

k=0 Cn+k?1; m > 0; n > 0;

¡

r =

P

Ck

Cr?k; 0 m n;

r

¢) C0

+ C

k=0

n?m

+ ::: = C1

+ C3

+ ::: + C2m+1 + :::

2

+

+ C2m

n

n

n

n

n

n

¡®

­®

á㬨 ã

¯p ¢i© ç

­ е ®¡p¨¢ овмбп

®«¨ 2m

2m+1

îâì

n.

­

m-¬­ ¦¨­ , Y - ¢¯®à浪®¢ ­ n-¬­ ¦¨­ .

6. ¥å

X -

::: X ! Y

i ®¡à ¦¥­­ï '

­ §¨¢

câìáï

¨¬, ïªé®

¢§i¤¯®¢i¤x < xj

¢¨¯«¨¢ c '(x ) < '(x

):

®¢¥áâ¨, é® ç¨á«

®­®â®­­¨å ¢i¤®¡à ¦¥­ì ¢¯®-

«i¢i©

j

(m

à浪®¢ ­ m-¬­¢¯®à浪¦¨­ X ã ¢¯®à浪®¢ ­ã n¬®- ­®¦¨­ã Y ¤®ài¢­îc Cm

n): 1

®¢¥áâ¨

¡i«ì訬¨â®â®¦­

ì:

0

4.

= Cm

:

n

CmC0

+ Cm?1C1

+ ::: + C

Cm

2

n

k

n?1

k+1

§ n

n?m

.

k+m

n+k+1

®¬iáiï ᪫ ¤ câìáï

ª «ì ¨ § ¬ªi¢ ¯®¢¨­¥­ ¬ â¨

ª¨ ª«îçi¢

­¨å âॡ

§à®®ái¡¨â¨

ïª å à

á¥à¥ ç«á¥©ä,­

áªi«®¬iái , 鮡 ¤®áâã¯

¤®

ᥩä

¡ã¢ ¬®¦«¨¢¨©

§¯®¤i«¨â¨âi«ìª ⮤i, ª®«¨ §¡¥-

3

­

è¥ k ç«¥­i¢

®¬iái ?

¢ái ⮤i£®­ «i. i¤®¬®, é® ¦®¤­i¢

®¯ãª« ¬ã n-ªãâ­¨ªã ­ ªà¥á«¥­

à¥âìáï§ ­¨å ­

¯¥а¥в¨­ овмбп ¢ ®¤­i© â®çæi. áªi«ìª¨ ç á⨭ ¯®¤i«¨âìáï

¯à¨

¬¥­

ãâ­ ª?

1

2

?1

­ p, ïªé® p ¯à®áâ¥

4

é®

ç¨á«

Cp

; Cp ; :::; Cp

ç¨á«æ쮬ã.

¨¯ãª« å k-ªãâ­

¢¥à設

直å c

k i§ n

5.

­ ©â¨ ç¨á«® ¢áiå

¢¥à設 ¢¨¯ãª«®£®ª n ªãâ­¨ª , ¯à¨ç®¬ã

¤¢i¤i«пвмбпбгбi¤­ ¢¥аи¨¬¨­

¯®¢¨­­i ¡ãâ¨

஧¤i«¥­i®¢­¥áâ¨,¬¥­è¥ ­i¦ s

¢¥à設 ¬¨ n ªãâ­¨ªi¢, .

16

i­®¬ nìîâ®5­. .

(a + b)n =

X Cnkan?kbk:

1

ªi¬­ âi c n «

.

k=0

ª¨å ᯮᮡi¢

á¢iâ«¥

­ï ªi¬

A5. c

­ â¨, ¯à¨ 直å

¬¯®ç®ªài¢­k

ªi«ìª¨¬¯®ç®ª? ªi«ìª¨ ¢á쮣®

c ài§­¨å ᯮ-

2

ªi«ìª¨ à £æ®à¨âìi ­ «ì­¨å ç«¥­i¢

¬iáâ¨âì ஧ª« ¤ (

2 +

3)

?

3.

®á¢iâ«¥­­ï ª ­ â¨?

¡ç¨á«¨â¨

á㬨:

ᮡi¢

Ck

; k

n

p

p

100

k

;

4

Cn

k 1

(?1)kCk;

)

n,

+ C

+ ::: + C

:

C

=0 C

n

5

£)

+1 Cn

:

ª®¥äiæic­â¨ ¯p¨ x

4

­ ©â¨

ïªé® ¢i¤®¬®, é® ¢ p®§ª« ¤i (1 + x)

â x

12

®¤­ ª .

r

5

r

®¢i r?i

®¢¥á⨠â®â®¦­®áâ

¢¨§­ 祭

¯à¨ ¢áiå æi«¨å x,

6.

¥å © f(x)

- äã­ªæiï, ïª

P

k2

k

= n(n

1)2n?2;

¡

n

i

C

C

m

= C

n+m

;

n

r

r

r

1

r?1

n

n?1

n?2

®¢¥áâ¨,

é®

n

4f(x) = f(x + 1) ? f(x):

n

k

k

4

X

f(x) = k=0(?1)

Cnf(x + n ? k) (n = 1; 2; :::):

1. ®§ªà¨â¨ ¤ã¦ª¨ ã ¢¨à § å: B5.

?

3

5

;

¢) (1

7

17

+ x )

:

¡

p

q) ;

2

6

n

p

2

¥å © p - ¯à®áâ¥

.

®¢¥áâ¨, é® ¯à¨ ¡ã¤ì-类¬ã æi«®¬ã n

? n ¤i«¨âìáï ­

p (¬

¥à¬ ).

3

¥å ©

5

: ¡ç¨á«¨â¨

= x

4

5

6

4f(x); 4

2

f(x); 4

3

f(x); 4

f(x); 4

f(x); 4

f(x):

p

p

3)300?

4

ªi«ìª¨ à æi®­ «ì­¨åâç«¥®à­i¢¥¬ ¬iáâ¨âì ஧ª« ¤ ( 3

2

+

5

5

¯à¨ n > 1 :

6. ®¢¥áâ¨, é®:

Cn

?

1

n

+ ::: + (?1)n?1nCn = 0:

kC

?

2n?1

n

= 2

+

2C2n = 2

+ C2n?1;

2n

¡

k

n

P

Ck

= n22n?1;

0

2

n?1

¢

2n

2

k=0

2n?

1

n

?1

(n

1);

P

1

nCn

1

£)

n

k=0

+r

= n+1 :

1

2n

5

i§ ç

ᥫ Ck

:

¤¢

«ï äiªá®¢ ­®£® n ¢ª § â¨

ãç­i ­

¢ç

®¤

®¢®;

­ ¯à®©¡i«ìèã¤ì¥

-ïª¨å ¤¢®å § ­¨å ­¥ ¬®¦­

᪠§ â¨, é® ®¤¨­¢ç¨âìáï

à 餬¥ ­¥âi¢è®£®.

®¢¥áâ¨, é® ç¨á«® ãç­i¢ ¢ ª« ái

2

ª« ái ¢¨¢ç î

2n ¯à¥

.

n

4 i 5. ®¤­

ái ãç­i ¢ç âìáï ­

­¥ ¯¥à¥¢¨éãc

Cn

:

3.

2n

¯¨è¥¬® âਪãâ­¨ª ᪠«ï ã ¢¨£«ï¤i:

1

3

4

1

1

1

1

2

5

6

7

3

6

0

1

15

21

4

20

35

6

21

35

5

5

1

7

­¨ª § ç¨á¥«, ïªi áâ®ïâì ¢ «i¢®¬ã ªãâi

®¢¥áâ¨, é® ¡ã ì-直© ¢¨§­

4.

ª § ⨠n,

¤«ï ïª¨å ¢ái

ç¨á«

Ck

(1 k n ? 1) c ­¥¯ à­¨¬¨

âਪãâ­¨ª

᪠«ï ¤®ài¢­îc

1.

n

ç¨á« ¬¨.

18