Підручники з Дискретної Математики / yadrenko_m_y_olenko_a_ya_diskretna_matematika_na_ukr_yazyke

¤i«á¯i«ì¥657­.­ï¨©®¢ç¨¥å¤i«ìå¥áâ¨,©¥©«p­n1¨ªp¯à®áâé®i; 2ç¨ákp¯à¨:::;­3¥p¥«;âãà:::;ç¨á«®,nCnk(;p«ì2C?¯i¤¬­nkïª1)+1jxç¨á«¥pj; ¡i«ìè­:::1;p,2Cn¥¤®ài¢nk+2k. ¤®ài¢k:­®¢îc¥á­pâ¨2îc(p2,?1)é®.: é®á㬭 ®áâ©¡i«ìè¨©ç ¢i¤

(1 + x)n + (1 ? x)n 2n:

®¡ç­ 8¨á«¨¬®¦¨­¥åf©1;a21;;:::;a ;ng ­an -¤¢i¤®¤ â­i­®¦¨ç¨á«­¨ fk1<; i2; ::; ià¨kg ª®¦i fi­k+1®¬ã; ik+2஧; :::;¡¨ââing aak+1++::::::++aakn :

n?k k C®¢nk:¥áâ¨, é® á㬠¢áiå ®¤¥à¦ ­¨å â ª¨¬ 稭®¬ ç¨á¥« ­¥ ¬¥­è , ­i¦

19

¥à®¬¡i¥áâ

­­®¢ª¨æi § §

6.

­­­­ï¬¨ï¬¨. .

®¬¡i­ æiﬨ i§ m ¥«¥¬¥­âi¢¯®¢â®àn

¥«¥¬¥­âi¢

§¨¢ овмбп £а ¯¨, пªi ¬iбвпвм n ¥«¥¬¥­вi¢,

¯à¨ç®¬ã ª ¦­¨© ¥«¥¬¥­â

ài§­¨å ª®¬¡i­ æi© i§ m ¥«¥¬¥­âi¢ ¯® n § ¯®¢â®à¥­­ï¬¨

­ «¥¦¨âì ®¤­®¬ã

§ m ⨯i¢.

­®¦¨­¨ ; ïª

¬iáâ¨âì n ¥«¥¬¥­ i¢, ã

¨á«

¯à¥¤áâ ¢«¥­ì

¤®ài¢­îc

fn

= C

?1

= Cn

:

m

m+n?1

m+n?1

( = [i=1Bi)

â ª¨å,

¢¨£«ï¤i ®¡'c¤­ ­­ï m ¯i¤¬­®¦¨­ B1; B2

; :::; Bm

é® B \ B

= ;

(i =6 j); N(B

) = k

; N(B

) = k

; :::; N(B

m

;

j

2

m

) = k

m

1

1

n!

2

¤®ài¢­îc

Cn(k1

; k2; :::; km) =

k

!k

!:

(1)

!:::k

m

¨á«® ài§­¨å á«i¢, ïªi ¬®¦­

1

2

ã⢮à¨â¨ § n «iâ¥à, á¥à¥¤ 直å k

1

«iâ¥à a ; k

- «iâ¥à a ;

:::; k

- «iâ¥à a

;

­îc

®«i­®¬i «ì­ ⥮६ . c

¬iá楤®ài¢­iáâì

1 2

2

m

k

!k

n!

m

!:

!:::k

m

n

1

2

n!

k

k

(a1 + a2

+ ::: + am)

= k

+k

X

(2)

+:::+k

m

=n; k 0 k1!k2

!:::km!a11 :::a2m :

1. ) ªi«ìª®¬

1

2

஧¯®¤i«¨â¨ n ®¤­ ª®¢¨å ¯®¤ àã­ªi¢

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­

¤«ï m ¤i⥩ ?

A6.

20

©¬2.­

)㮤¨­¥­á¯¯®¤á¥­à®¬ãàã¥iá­­ãc®ª¯®à浪ã?nâ-§­ª¨åç­á¯®á®¡i¢,¨å ­ âãમ«¨«ì­¨åª®¦ç¨á­ ¥¤¨â¨« ã ïª¨å­ ®âਬãcæ¨äਠ¯à¨à®§-

¬ié­ §à®áâ¥

î箬ã

â

ã?

¡i«¨å, k

ç®p­¨å i

¡)

c

æi«¨åp®§¬i饭ì, ¤¥ ã ¤pã£i© ãp­i k

i§ªi«ìª¨­ å 5¯®­à¨ï¤ª£

ª, 鮡 ­iïªi ¤¢i

§ ­¨å ­¥

pãç?

¢

â ª¨å ç¨á¥«,

ª ¦­

æ¨äp

§ãáâpiç câìáï ¯p¨­ ©¬­ ®¤¨­

p

iá­ãc

­¤¥¢i¤'c¬­¨å ç¨á¥« ã 直å æ¨äà¨

஧¬i饭i ã

?

)

®¬

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­

p®§¬iáâ¨â¨ n1

¡i«¨å, n2 ç®p­¨å i n3

3

ᨭiå

ã«ì ¯® m pi§­

ãp­ å?

1

2

k3

ᨭiå

ì?

5

ªp㣫¨¬ ᯮ«¨æi®¬ ᨤïâì n «¨æ

¢. ªi«ìªìª ¬

¡ ¬¨ ¬®¦¥¬®­

4

­ ¦­i©

áâ®ïâì 12

­¨£.

®¬

¬ ¨

®p¨.

i«ìª¨ c p §­¨å ᨣ­

«i¢

(¤¥ïªi

ç⨠¬®¦ãâìᯮᮡãâ¨

¯®p®¦­i)?

¢¨¡p ⨠k «¨æ

pi¢

ª, 鮡 ¤® å ç¨á« ­

¯®¯ «¨ ­iïªi ¤¢

áãái¤¨?

îâì.

­ 祭­ï ᨣ­ «ã

§

«ì

ã

i¤

⮣® ¢ 类¬ãáâ®ï«¨¯®p ¤ª

p®§¢iиговм

⠪, 鮡

ãp­

¬iá⨫

¯® p

, m ãp­¨ - ¯®¤pã£i©ªã«ì¤¬¥âi¢.¤. (m =

£ 㯨

C

ª, 鮡

¢ ®¤­ © £pã

i ¡ã«® m ¯p¥¤¬¥

i¢, ¢

- n,

âp¥âi© - s

6

n pi§­ å ᨣ­

­¨å ¯p

i¢

k ¬ çâ ­

ª¨å å

­

-

7

¬

ᯮᮡ ¬¨ ¬®

­

¯®¤i«¨â¨

¯p¥

âp¨

8.

ªi«ìª®¬

ᯮᮡ ¬¨

¥¬®¦¨âì­

p®§¬iáâ¨â¨m+n+spi§­¨å

¯® m ãp­ å

¯p¥¤¬¥âi¢?

¢i¤pi§­¨â¨.

¡) ãp­ , пªi ¬iбвпвм ®¤­ ª®¢г ªi«мªiбвм ªг«м, ­¥ ¬®¦­

m

1

;

n = m

p

1

p

2

2

1

+ ::: +m

1

+ ::: + m

k

); ïªé®:

k

1

k

pi§­i;

X

n!

9. ®¢¥á⨠pi¢­iáâì:

; n

n=n

+:::+n

0 n1!n2

!:::nk! = kn:

10. C

1

k

i

¨

¢

­

5

¯® 4 «î¤¨­¨

10 ¯®¤p㦭iå ¯ p. ®

) ªi«ìª®¬

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­

p®§¡¨â¨îâåìáïª, 鮡£p㯪®¦­®¬ã 箢­i

¤«ï ¯p®£ã«ï­ª¨ ­

箢­ å.

21

¡ã«¨ ¤¢®c 箫®¢iªi¢ i ¤¢®c ¦i­®ª?

᢮§ ᢮c¡)¬¨î áªi«ìª­®®­å®î?¢¨¯ ¤ª

åå¯p¨¤ ­iæ쮬㤢®c 箫®¢iªi¢¤ ­¨© 箫®¢iª¡ã¤ãâì¡ã¤¢¥ ®¤¢ ­®¤­®¬ã箢箢i­§i

¥«¥¬¥­âi¢¤p㦨¯

å?

B6.

p®§¡¨â¨ æi ¥«¥¬¥­â¨

­

11. C 2n ¥«

­âi¢. ªi«ìª®¬

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦

¯ p¨, ïªé®¥¬­¥

p®§pi§­повмбп ¢¨¯

§ pi§­¨¬ ¯®p浪®¬ã¯ p

¡®

箪 ã ®­¤¨â¥páìªi©, ¤¥ c 11 pi§­¨å¢¨¡pá®

âiáâ¥ç®ª?

¡® pi§­¨å âiáâ¥-

1

®¬

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦

¤ª¨

6 ®¤­

®¢¨å

3

ªi«ìª¨

æi«¨å ­¥¢i¤'c®¬i

¨å p®§¢'離i¢

¬ c ­¥pi¢­iáâì x

+ x

+ :::

2

ªiáâ®ç®ª

¬®¦­

ãâi¢ ®p¨â¨

®p¨á⮢ãîç¨ ç á«

4

¥áâ¨, é® ç¨á«

ᯮᮡi¢

2 «î¤¨­¢¨ª¬®

¯®¤i«¨â¨

2n

0,1,...r?

1

2

xm

< n?

¯

¤¬¥âi¢ ¯¥p讣®

2n ¯p¥¤¬¥âi¢ ¤p㣮£® á®p ¦ãâì2n ¯p¥¤¬¥âi¢

âp¥â쮣® á®pâã

ª, á®pâã,鮡 ¦­

®âp¨¬

¯® 3n ¯p¥¤¬¥âi¢,

¤®pi¢­îc 3n

+

5

®¬

¬¨ 4 ç®p­ïª¨¬¨ã«i,

5

7 ᨭiå ¬®¦ãâì ¡ãâ¨

¡ãª¢

a §ãáâpiç c áï

᫬®

¥ ¡i«ìè¥

2

¤¢® p §i¢, a,b,c- ­¥ ¡i«ìè¥ ®¤­®£®

3n + 1:

¬¨ ¬®¦­

p®§¤ ⨠52 ª

4 £p ¢æï¬

ª, 鮡

7

ªi«ìª®¬á«i¢

鮪 ¦­¨©

®âp¨¬

ᯮᮡâp¨ãª¢

âpì®å

áâ ¡i«¨å© ç®â¨p¨

ª p⨠ç¥â¢¥pâ®

ª« ¤¥­ 6

i§­¨å

¥âi¢?

¦­

ã⢮p

⨠§ 㪢

, ïªé® ¢i ®¬ ,

6

) ªi«ìª®¬

i§ 5

8

ᯮᮡ p⨬®¦­

p®§

⨠18 i§­¨å ¯p¥¤¬¥âi¢ 5 «î-

p §ã, c - ­¥ ¡i«ìè¥

âpì

å

§i¢?

¯'ï⨩ 2 ¯p¥¤¬¥â¨ ?

¤ï¬áâi?ª, 鮡

®âp¨¬

«¨ ¯® 4 ¯p¥¤¬¥â¨,

¡)

¦ § 礥⢥,p®«¥ âp®c

âp¨¬ãîâì

¯® 4 ¯p¥¤¬¥

¨,

¤¢®c - ¯® 3

0

á«i¢ ¬®¦­ ã⢮à¨â¨, ¯¥à¥áâ ¢«ïîç¨ «iâ¥à¨

¢ á«®¢i "ª®¬-

¯p¥¤¬¥â¨.

3

:

9.

¡ç¨á« ⨠(x + y + z)

¢i© ç á⨭i ài¢­®áâi (2)?

11. ªi«ìª¨

¤®¤ ­ªi¢ ã ¯à

¡i­ â®à¨ª "?

22

஧¤i«¨â¨21 ªi«ìª®¬c¬®­ ¯®2 £àã2nᯯà®á®¡¯®¥¤¬4n¥¬¨âi¢¯à¬®¦4¥-¤¬å­á¥®àâi¢âi¢?6¯®¤i«. . ⨪i«ìª®¬¯® n

ᯮᮡ ¬¨3-å ¬®¦­

¬i¦

â ª, é ¡ ª®¦­¨©

®âਬ

¢ n ¯à¥¤¬¥âi¢?

3

®¢¥áâ¨, é®

ç¨á«

(k?1)!

;

- æi«i.

ç á⨭®î á®àâi¢­è® .

¯i¤¬­âà쮬¦¨­ â ª¨©, é®

¦®¤­

§ æ¨å ¯i¤¬­®¦¨­ ­¯à¥c

4.

¥å ©

«î¤ì¬¨- ­®¦¨­ , ïª

¬iáâ¨âì n ¥«¥¬¥­âi¢, A ; A ; :::; A

-

¡ià

(k!)!

2n

®¢¥áâ¨, é®

(k!)

n!(n+1)!

1

2

k

[ n

]

2

¯¥à­¥à ).

k Cn

(â¥N®àA¥¬) = i ; N(A ) = i ; :::; N(A ) = i ;

; :::; Ak

- ­ ¡ià

5. ¥å © - ¬­®¦¨

, ïª

¬iáâ¨âì n ¥«¥¬¥­âi¢, A1; A2

¯i¤¬­ ¦¨ â ª¨©, é®;

1

1

1

®¢¥áâ¨,

é®

1

2

2

k

k

1)2

1

¦®¤­

§ æ¨å ¯i¤¬­®¦¨­ ­¥ c ç á⨭®î i­è® .

C

i1

+

C

i2

+ ::: +

ik

1:

n

n

Cn

6

¨ª

5 ¢áâ ­®¢¨â¨

­­

§

; x

; :::; x

-

­­ï § ¤

7

å © x

k

©á­i ç¨á« , jx j 1: ®¢¥

¨,

¡ã¤ì-类¬ã

1

2

-

[ 2 ]

çi

n ­

Pn

m -

8. ¥å © n = p p :::p

¤ ç¨á«

¯à®áâi ¬é®­â¢¥à¤¦­¨ª¨,¥

¬ ªá¨¬ «ì®à¨á⮢ãî稭 ç¨á« ¤i«ì­¨ªâ¢¥iद஧ª«ç¨á¥

n,

ïªi ­¥ ¤i«ïâì ®¤¨­ ®¤­®£®. ®¢¥áâ¨,

¤ çi 4.

2 c ­ ¡ «ìè¥ Cn

á㬠¢¨¤ã

"kxk; ¤¥ " = 1:

i­â¥à¢ «i ¤®¢¦¨­

k=1

1 2

r

m Cr2

:

é®

9. ®¢¥á⨠ài¢­®áâi:

]

C

+ C

C

+ :::

C

[ r

1 ;

n

n+1

n 2

n+m?1

= C

¡

n+m

+ 2 + 3 + ::: + m =

(m+1)

;

3

¢ 2 + 2 3 +

m(m+1)(2m+1)

;

::: + m(m

2

= m(m+1)(m+2)

2

+ 2

2

+ ::: + m

2

=

6

23:

£) 1

¨á«® ¥«¥¬¥­âi¢ ®p¬ã«¢ ®¡'c¤¢ª«îç­ ­­i¥­mì i7¬¢¨ª«îç.­®¦¨­¥­.ì.

îâì ¬iáæ¥ pi¢­®áâi

) + N(A

) ? N(A

\ A

);

(1)

N(A

1

[ A

) = N(A

1

2

1

2

2

N(A [ A [ A ) = N(A ) + N(A ) + N(A ) ? [N(A \ A + N(A \ A )+

1

2

N([

A

=

1

N(A ) ?

3

N(A

\ A

(2)+ :::+

1

3

3

2

\ A

);

1

N(

2

\ A

)] + N(A

1

2

\ A

3

3

m

m

X

X

\ A

):

(3)

(?1)m?1N(A

\ ::: \ A

i1

i=1

i

i

=1

i

1

1

<i m

k

i2

<i

:::<i

m

\2A

i

2

i

(?1)k

1

X

k

N(A

i

\ ::: \ A

+ :::+

2

2

A7.

m

1

1

¬ ⥬ â¨ç­¨© £ãp⮪, 11

ª« ái 35 ãç­i¢. ­¨å 20

¢i¤¢i¤ãîâì­¢¥p å

2

Cªi«ìª¨n áâi¢,

¥

¤p¥á¨ ­

ª

¯¨á äi§¨ç­ ¢¬

ï. ªi«ìª¨

äi§¨ç­¨©,

10 ãç­i¢ ­¥ ¢i¤¢i¤ãîâì ¦®¤­®£®

.

­¨© £ãp⪨?

¬ â ¬ â¨ç­¨©£ãpâª

å®ç

¡

ãç­i¢ ¢i¤¢i¤ãîâì «¨è¥

¬

¥¬ â¨ç­ ©

­ © ¤®­­¥ ;

­

«î¤¨­

®âp¨¬ c «¨áâ, 直© ­

¯¨á

ᯮᮡi¢) m «î¤¥©

®âp¨¬ãîâì

«¨áâ¨

ïªi ­ ¯¨á

­

¤® ¨å£ãp⮪?

c

3.

ª« ái ­ ¢ç câìáï 45 誮«ïpi¢,

§ ­¨å 25 å«

.

30 èª

ç âìáï ­

¤®¡p¥

¢i¤¬i­­®, § ­¨å 16 å«

¡p¥

. ¯

§ ©¬

¢i¤¬i­­ .

15 å«®¯ç¨ªi¢

­ ¢з овмбп ­

¢i¤

i­­з¨ªi¢®p⮬¢ в®© ¦овмбп¥ з

¢¨â¨ ¢¥p¡«î¤i¢ â ª, 鮡 ¯®¯¥p®«ïpi¢,¥¤ã ¯ç¨ªi¢¦­®£® ¢¥p¡«î¤

©è®¢ i­è¨©

28 ãç i¢, § ­¨å 18 å«

i 17 èª

ïªi

­

¢з овмбп ­

¤®¡p«ïpi¢¥

4.

®

¯ãá⥫i i¤¥ ª

®¯ç¨ªi¢p ­ § 9

¢¥p¡«î¤ . ªi«ìª®¬

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦¥¬®

§ ©¬ овмбп б¯®p⮬. ®ª § в¨, й®

æ ©

­ä®p¬ æi c

¯®¬¨«ª .

¯­i¦¥p¥áâ­iè¥?

24

«¨æpi§­65¨åpi¢ ªi«ìª®¬®ïªi­ ®

å,ᯮᮡïªé ¡¦®¤¬¨¥¬®¦­¬®¦­­¢¥p®§p⯮᫭¥¤¨â¨¯®¢¨n§­¥pi§­ªp¡­¨å⨨¬ä¯®á⮫p ¦ª ­à⮪®¬i©?n ¯¢ pk

30, äp ­

áâã42, ­£«i©áìªã

äp ­

?

ã -10, ­£«i©áìªã i i¬­

¥æìª ã

áâ㤥­âi¢

ã§ìª­¢¥pâp®­ £ãîâì?¦®¤­® § âp쮬®¢ãå

ã -

7

I§ 100

¤¥

âi¢

­

ã

­ îâì 28 áâ㤥­âi¢, ­

- 8, ­i¬¥æ

i äp ­æã§ìªã - 5, ¢ái 3

æã§ìª­ îâì 3 áâ㤥­â¨. ªi«ìª¨

8.

i¤®¡p ¦¥­­ï

: X ! Y ­ §¨¬®¢¨câìáï

áîp'cªâ¨¢­¨¬, ïªé® ¤«ï

A

= f' :

! Y;

áîp'(yc

= ;g

(i = 1; 2; :::; n :

ª®¦­®£® y 2 Y

?1

(y) = fx : '(x) = yg =6 ;:

= f1; 2g

Y

9. æ¨å¥

= fa; bg: ª § ⨠¢ái

i¤®¡p ¦¥­­ï X ¢ Y. ªi

© N(X) = m;

Y

= fy1; y2; :::; yng

§ æ¨å ¢i¤®¡p ¦¥­ì c

ªâ¨¢­¨¬¨?

ª § ⨠¢ái ¢i¤®¡p ¦¥­­ï X ¢ Y.

= f1; 2 3g;

Y

= fa; bg

¢i¤®¡p ¦¥­ì X ¢ Y

¤®pi¢­îc

ªi §

¢i¤®¡p ¦¥­ì

áîp'cªâ¨¢­¨¬¨?

?

=1

i

\ A

) = (n ? 2)m:

®¢¥áâ¨, é® N(A ) = (n ? 1)m; N(A

i

)

¡ç¨á«¨â¨ N([

n

A ):

j

10. ¥å © N(X) = m; N(Y ) = n; m n: ®¢¥áâ¨, é® ç¨á«® áîp'cªâ¨¢­¨å

n

k

k

m

m

X

:

11. ¥å © '(x) = x

k=0(?1)

Cn(n ? k)

: ®¢¥áâ¨, é®:

m

m

Pn

(?1)

k

k

(n < m);

¡

x

k=0

Cn(x + n ? k)

m!;

(n > m):n

m

¢) 4nxm

=0

0

­ §¨¢

овмбп з¨б« ¬¨ ®p£ ­ .

㢠¦¥­­ï. ¨á«

4

1.

® ª®«ã ¡i¦ âì n 箫

B7.

ᯮᮡ ¬¨ ¬® ­ ¯®¬i­ïâ¨

. ªi«ìª®¬

å ¬iáæﬨ â ª, 鮡 ¯®¯¥p¥¤ã®¢iª¦­®£® ¡ã«

i­è

«î¤¨­ ­i¦ p ­iè¥?

25

2

å

a ; a

; :::; a

- ¢§ c¬

­ âãp «ì i

N-

­

p

­ ç¨á«®1

. 2

©â¨n

ç¨á«

®¤

¨å ­ âãp «ì­¨å ç¨á¥«, ïªi¤­¥ïª¯¥p¥-

¨йговм N

­

¤i«пвмбп ­

§ ç¨á¥« a

; a ; :::; a :

3

¡®î ­ ¬¥­è¥ 70%

¢âp ⨫¨ ¤1­¥2®ª®, ­n¥ ¬¥ è¥ 75% - ®¤ ¥

¢ãå®, ­ ¥¬¥­è

80% ®¤­ã pãªã¡i©æi¢­

¬¥­è¥ 85%

ã ­®£ã. ª

¬i­i¬ «ì­

ªi«ìªiáâìª, 鮡 ¤¢i ®¤

ïªi®¢i æ¨äp¨

ç¨á­ ©è«¨¥«

­

®¤­®î?

© áâi« 3

­£«i©æi¢,

5

ªi«ìª®¬

ᯮᮡ ¬¨

¬®¦®¤­

¬®¯p®áâiâ¨

ª

㣫

3 äp ­æ㧡i©æi¢,3 ­i¬æi¢¢âp

ª, 鮡 ­iïªi ¤¢

á¯i¢¢iâ稧­¨ª¨

­¥ ᨤi«¨ ¯®pãç?

â

Ǭ

­®ç

­

®ª®, ¢ãå®, pãªã

­®£ã?

¯® ¯p ¢i© ªi«ìª«i¢i© p㪠¢¨æi â ª, 鮡

®¢iª­ ®¤¨­ ­¥ ®â¢¨¡p¨¬ ¢ ¯ p¨?

1233145254

4

)

¨è¥

⨧­ ç­ å

箫

¦­

᪫ á⨠i§ æ äp ç¨á«

6.

®¬

¤«ïᯮᮡ9

¬

6

¬®¦ãâì

⨠6 ¯ p p㪠¢¨æì

¡) ï ¦ § ¤ ç

p i

«î¤¥©.

1.

¥å © n - ­

7 .

¤ ­ ¯p®

¬­®¦­¨ª¨ ïª

«ì­ ç¨á«®,

¬ c ¢¨£«ï¤ n = p

1âãp2 :::p

k

p ; p ; :::;p®§ª«- ¯p®áâi ç¨á« ),

'(n) - ç¨á«®£®

1 )(1 ?

2 ):::(1 ?

k )

'(n) = n(1 ?

¤®¤

1

2

k

1

2

k

n âi¢§ c¬­® ¯p®áâi §

­¨å ­ âãp «ì­¨å

ç¨á¥«, ïªi ­

1

n. ®¢¥áâ¨,

é®

1

1

(x) - ªi«ìªiáâì

q ; :::; q

¢ái ¯p®áâi ç¨á« , ïªi ­

¯¥p¥¢¨йговм n;

2.

¥å © n -

¥ ¤®¢i«ì­®

¢¨¡p

­

­ âãp «ì­¥ ç¨á«®. ®§­ 稬®

('(n) - äã­ªæiï ©«

).

p

qi1

:::qik

1 i1

<:::<ik m

1

3

®¢¥бв¨ в®в®¦­¯i¥p¥¢¨йговмk+1

m

x > 0: ®¢¥áâ¨, é®

¯p®áâ¨å ç¨á¥«, ïªi¤¥­ïª

m

X

[

n

]:

(n) ? (pn) = n ? 1 + X(?1)k

m

X

!

k

n

n=n

; n

X

:

+:::+n

m

i

>0 n1!:::nm! =

k=0

Cm(m ? k)

1

4.

¥å © - ª¢ ¤p

áâ­

¬ âp¨æï ¯®p浪ã

. ¥p¬ ­¥­â ¤®ài¢­îc:

per() :=

X a

1;i

1

:::a

m;i

;

i

m

;:::;i

m

1

26

áã¬

§­ 室¨âìáï ¯®

¬®¦«¨¢¨å ¯¥p¥áâ ­®¢ª å ç¨á¥« 1,...,m.

®¢¥áâ¨, é®

m

S(i1

;:::;ik);

per() = S() + kX=1(?1)k i X;:::;i

k

1

¤¥

k

1

< ::: < ik m;

¢áiå;:::;i

1

ã⢮p¥­ § § ¬i­®î

1

S(

;:::;i

? ¬ âp¨æï, ïª

i ; :::; i

á⮢¡ç¨ªi¢ 0-¬¨ ,

k

) - ¤®¡ã⮪ á㬠áâpi箪 .

1

1

k

27

« á¨ç­¥ ®§­ 祫­­¨çï

­¥

®§­ ç­¥­­áâiï 8©¬.¢¨¯ip­¤ª®áâi.® ¯®¤i .

®§£«ï¤ câìáï áâ®å

¨ç©¬®¢ip­ ¥ªá¯¥à¨¬¥­â, 直© ¬

n ®¤­ ª®¢® ¬®¦-

«¨¢¨å ­ á«i¤ª ¢.

ਯãá⨬®,

é® ¢¨¯ ¤ª®¢i©

¯®¤i A á¯à¨ïc

m § æ¨å

­ á«i¤ªi¢. ®¤i

©¬®¢ip­iáâì ¢¨¯

¤ª®¢® ¯®¤i A ¤®ài¢­îc

P (A) = m:

1.

â â¨áâ ª

A8.

n

®¦

§ n pi§­¨å ç á⨭®ª

ªá¢¥« - ®«ìæ¬ ­ .

¢

ª ¦­

«i稫쭨ª § p¥áâpãcc

å®ç ¡

®¤­ã

á⨭ªã;

¯®¯ ¤ c

¢ ®¤¨­ i§ N «i稫쭨ªi¢. ­ ©â¨ ©¬®¢ip­iáâì ⮣®, é®:

¡

¢

­

... , N-©

­¨ª

¯ ¯

¤¥ ¢i¤¯®¢i¤­® n ; n ; :::; n

­¨ª § p¥c

«içk¨«ì á⨭ ª;

¢

¤p㣨©, ...

èâ, N¥-

©

­¨ª ¯®¯

®¤¥

¢i¤¯®¢i¤­ n ; n ; :::; n

¯­¥p訩,«i稫쭨ª § p¥c

«içk¨«ì á⨭®ª§p®áâ( );

1

2

N

(n

1

+ n

2

+ ::: + n

N

= n);

£

¯p¨ ïª

k

®¢ip­iáâì ⮣®, é® ¤ ­¨© «i稫쭨ª § p¥cáâ

ãc k

⨭ ª

¡ã¤®¬ã¥ ªá¨¬

«ì

®î;

îâì

ª,

á¥p¥¤­c

¤)

¤®

é®

k

! e? k=k!; ïªé® n i N

¨á«® ç

¢¥áâ­®ª ­

®¤¨­ «i稫쭨ª

n

! :

§ n

­ ª®¢¨å ç á⨭鮪 ¯®¯ ¤

c

2. â

â¨á⨪

®§¥- ­

­ . ®¦

p®§¬ié¥

­ï, ïªi

­повмбп з¨б«®¬

ç

á⨭®ª

p¥cáâp®¢

­¨å «i稫ì-

N

ì ⮣ , é :

¢ ®¤¨­ i§ N «i稫쭨ªi¢. ­ ©â¨ ©¬ ¢ip­i

1

2

N

ç á⨭ ª (n +n +:::+n

= n); ïªé® ¢¢ ¦ ⨠é

pi¢­®¬®¦«¨¢i ¡ã¤ì-ïªi

¡)

¤®¢¥

â¨,

鮢i¤pi§!

=(1 + ) ; ïªé® n i N §p®áâ îâì â ª, é®

­¨ª ¬¨;

1

2

N

> p > áâpãc> :::;

¢

c ç¨

®

n

! :

á¥p¥

á⨭®ª ­

®¤¨­ «i稫쭨ª

஢­¥á m

0

1

2

k

®¤­ic ç á⨭ª¨;

­

­¨ªi¢ ­¥ § p¥cáâpãîâì ­

¢ ®¤¨­ i§

N

«iç

ªi¢ (n < N): ­ ©â¨ ©¬

¢ip­iáâì ⮣®, é® ¢

¤p㣨©,

... , N-«iç¨«ì© «ì­¨ª ¯®¯ ¤¥ ¢i¤¯® i¤­

n ; n ; :::; n

ç á⨭®ª (n +

3. â â¨áâ ª

k?1

k

¤­ ª®¢¨å ç á⨭®ª

®¯ ¤ c

¥à¬i- ià

ª . ®¦­ § n

n + ::: + n

k

N

= n), ïªé® ¢¢ ¦ â¨, é® pi¢­®¬®¦«¨¢i ¡ã¤ì-ïªi p®§¬i鯥p訩,¥­­ï

2

N

28

1

2

N

1