Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Підручники з Дискретної Математики / yadrenko_m_y_olenko_a_ya_diskretna_matematika_na_ukr_yazyke

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
363.5 Кб
Скачать

1

 

 

 

 

0(n;

 

+ 1)(nâà¨á¨+ 2);

 

n = 0N;

 

;1®áâ; :::;¥N©:? 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

n = 0; 1; 2 ::: :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç¥à¥§ £¥­¥à âà¨áã ¯®á«i¤®¢-

2. ­ ©â¨ £¥­¥à

âà¨áã

¯®á«i¤®¢­®áâi b

n

­®áâi a

; ïªé®

 

 

 

;

 

 

n = 0; 1; :::;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

n +k

 

 

 

 

 

 

 

; ; :::;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

n

 

 

 

 

 

 

¢) bn

 

= na

 

;

 

 

n = 0;1; 2; ::: :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

3

ªi© ¯®á«i¤®¢­®áâi ¢i¤¯®¢i¤ c

£¥­¥à âà¨á (1?x )

 

 

 

 

 

4

¢¥á⨠§

 

 

¤®¯®¬®£®î £¥­¥à âà¨á, é®

 

s?k

 

 

 

 

s n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

s

 

 

1

 

s?1

 

 

k

 

 

 

 

 

:

?1=2

 

5

 

 

 

 

Cn+m

 

= CnCm + CnCm

 

 

 

+ ::: + CnCm

+ CnCm

:

®§ª«

á⨠㠡i­®¬i «ì­¨© àï¤ ìîâ®­

 

äã­ªæiî (1 ? x)

 

6. ªi«ìª®¬

 

 

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­ ®âਬ ⨠áã¬ã 12 ®çªi¢ ¯à¨ ¤®¢i«ì­i©

ªi«ìª®áâi ¯i¤ª¨¤ ­ì £à «ì­®£® ªã¡¨ª ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

­

 

 

 

£¥­

 

 

 

 

âà¨á¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­®á⥩:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

?1

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+p?2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

­

 

 

 

(n); n = 0; 1; 2;

 

 

 

 

 

 

­®áâi bn ç¥à¥§ £¥­¥à âà¨áã ¯®á«i¤®¢-

 

 

 

£¥­¥à

âà¨áã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­®áâi a

; ïªé®

 

 

 

 

? a ; n = 0; 1; ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡) b

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

= P+1

 

a

 

;

nn = 0; 1; :::

:::

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin=0

 

i

 

 

 

 

 

 

 

¯¥à¥áâ ­®¢®ª a

; a

; :::;

a

 

¬­®¦¨­¨ ç¨á¥«

3. ¥å©â¨b

n

;

 

 

n 2 - ç¨á«

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

f1; :::; ng â ª¨å, é® ¤«ï ª®¦­¯®á«i¤®¢®£®

i-¬ã á⮢¯ç¨ªã â ¡«¨æi

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

n

?1

 

 

a

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

a

3

 

 

a

4

 

:::

a

 

 

a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç¨á«® i. ­ ©â¨ b :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. ®ª § â¨, é® ¤®¢i«ìn ­¥ ­ âãà «ì­¥ ç¨á«® N ¬ c c¤¨­¨© ஧ª« ¤ 39

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N = XaiFi;

 

 

 

 

¤¥ F

 

- ç¨á«

­ çç , a = 0

i=0

 

a

 

= 0 ¤«ï 1

i

¡® 1 i a

i+1

5

­ ©â¨ ç¨á«i¡®â ¨å ¯ ¤¬­®¦¨­ ¬­®¦¨­¨ = f1; 2; :::; ng; ïªi ­¥

¬iбвпвм ¦®¤­¨е ¤¢®е ¯®б i ®¢­¨е з¨б¥«.

 

 

 

 

¡i«ìèi 1.

6

 

 

 

 

 

 

ç áâ¨

 

7

 

 

 

 

 

 

 

¨, ïªi ¤®ài¢­îîâì 1

¡® 2.

 

 

 

ç¨

஧ª« ¤i¢ ç¨á« n ­ ­¥¯ à­i ¤®¤ ­ª¨.

8

 

 

 

9. ­ ©â¨ ¯®á«i¤®¢­iáâì fang â ªã, é®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0 = 1;

X

 

 

 

 

 

¤«ï ¢áiå n 1:

k=0 akan?k = 1

 

 

 

 

ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­ ᯮ«ãç¨â¨

10.

ª®«i ¢§ïâ® 2n â®ç®ª. ªi«ìª®¬

 

¯®¯ а­® жi в®зª¨ n е®а¤ ¬¨, пªi ­¥ ¯¥а¥в¨­ овмбп ¢б¥а¥¤¨­i ªаг£ ?

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

.

 

 

 

®à¬ã« âià«i­£ .

®à¬ã« âià«i­£

 

 

 

 

 

 

p

 

 

1

 

 

 

 

n

 

 

 

¤¥ 0 < n

< 1

 

 

 

n! =

 

2 nn+ 2 e?ne12n ;

 

 

¡«¨¦¥­®

®¡ç¨á«¨â¨:

 

 

 

 

 

A13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 3 5 99

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4 6 ::: 100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1400

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3: Cn

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n ? 1)!! = 1 3 5:::(2n ? 1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ä®à¬ã«ã ¤«ï ¤®¡ãâªã:

 

¨¢¥á⨠ᨬ¯â®â¨ç­

 

 

b:

6

®¢¥áâ¨, é® ¤«ïä®à¬ã«¡ ¤ì-ïª¨å ¤®¤âià«i­¨å æi«¨å â

5

ª®à¨áâ ¢è¨áì

 

 

 

®î

 

 

­£ , §­ ©â¨ £à

­¨æi:

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡) lim

 

 

 

p

!

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 llnnn

 

(a

 

a

 

 

 

a

 

 

)

 

 

 

b

a?b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b + 1)(b

+ 2):::(b

+n)

 

a!

 

7

­ ©â¨ áã¬ã àï¤ã:

 

X

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

(n ln

2n ? 1

? 1):

 

 

 

©«¥à®¬, £ ¬¬ -äã­ªæiï ¢¨§­ ç

 

câìáï â ª®î ä®à¬ã«®î:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?(x) = lim

 

 

n!nx

 

 

 

 

 

¨å®¤ïç¨ § æic ä®à¬ã«¨:

n!1 x(x + 1):::(x + n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­ç¥­­®£® ¤ ¡ãâªã;

¡

§ ¯

 

⨠äã­ªæiî ?(x) ã ¢¨£«ï¤i ­

 

 

 

¢¨¢¥áâ¨

¢« á⨢iáâì ?(x + 1) = x?(x);

 

¤®¤ â­ì®£®.

¢)

®âਬ

⨠§­ 祭­ï ?(n) ¤«ï n æi«®¥£áªi®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ª®à¨áâ ¢è¨áì ä®à¬ã«®î âià«i13­£.

, ­ ¡«¨¦¥­® ®¡ç ᫨â¨:

4

 

ª®à¨áâ ¢è¨áì ä®à¬ã«®î âià«i­£ , §­ ©â¨ £à ­¨æi:

1

 

lg

100!

;

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

::: 1999;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20!30!50!

 

 

p2

n!;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

n!1 n

(2n?1)!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à

 

­®©¬ ¢ià­i ¯®¤i .

 

 

 

 

 

 

 

 

­ï å«®¯ç¨ª i

 

 

 

 

 

 

ª ©¬ ¢ià­iáâì ⮣®, é® á¤i¢ç¨¥à¥

100 ­®¢®­ த¦¥­¨å:

 

 

 

ç¨á«à®¤¦å«®¯ç¨ªi¢¥

 

¤i¢ç ⮪ ®¤­ª¨®¢i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡) å«®¯ç¨ªi¢ ¡ã¤¥

¡i«ìè¥ ­i¦ ¤i¢ç ⮪.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ¬¬ -äã­ªæiî ¢¨§­ ç îâì ài¢­iáâî:

 

 

 

 

 

 

 

¤¥ x > 0. ®ª § â¨, é®

1

 

?(x) =

Z

0

tx?1e?tdt;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

?x

 

x?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

2 e

x

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?(x)ã § ¤ çi 13 N8 ¬ c §¬iáâ ¤«ï ¢áiå ¤i©á­¨å x, ïªi ­¥ ¤®ài¢­îîâì

æi«®¬ã ¢i¤'c¬­®¬ã ç¨á« ;

 

§¡i£

 

 

 

 

 

ã æi© § ¤ çi â

13 N8.

 

) ¯®­ïââï £ ¬¬ -äã­ªæi

 

 

 

 

 

2.

¥å ©

 

 

 

â

 

 

 

 

¤®¢i«ì­i

¤®¤

овмбп­iз¨б«

,

 

- æi«¥ ¤®¤ â­¥ ç¨á«®.

®¢¥áâ¨,

é®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a

 

?n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a(a + r)(a + 2r):::(a + nr) Cr

n+1 n+ 2

+ r

e

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

â «

 

C ¤®ài¢­îc

p

2 =?(a=r).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ®ª § â¨, é®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+nr)

 

 

?(a=r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b(b

+ r)(b +2r):::(b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a a

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

)

 

 

 

b

n(a?b)=r:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­â,

 

 

 

 

I¬®¢ià­à

áâiip¢ ¥«¥¬¥­ ­à14­¨å. ¯à®áâ®à¯®¤i©.

å.

â¨à¨¬¥§ã«ìâ â¨

 

 

¬®¦­

 

­¥®¡¬¥¦¥¤¨áªà­

¥â«â®

 

§

 

 

¥ªá¯¥à

 

 

¥ ¬®¦­

 

­ ¯¥à¥ ®§¯¥£à«ï¤¥¤¡

 

ç¨â¨). ª®¦

 

 

 

¥­â®¬

 

 

âìáï

¨¯

 

¤ª®¢i

 

 

 

.

 

 

 

 

 

câìáï

 

 

 

 

 

¨å

áâ¨ç­¨© ¥ªá¯

­

 

(¥ª -

â¨, é®ïª¨©

 

­¯®¤i¦¨­

 

 

 

­ç¥ ­ ,

 

¡® §«iç¥

 

 

= f!

 

; ! ; :::; !

; :::g):

ਬ­®£¦¨¥®

­

 

ãáiå ¬®¦«

 

¢¨å ­ á«i¤ªi¢ ¥ªá¯¥à¨¬¥­âã

(¬¨ ¡ã¤¥¬®§¢'ï§ãc¯à ᯥ

«¥¬¥­â¨ æic

 

­ ¦¨­

 

 

 

 

 

îâì é¥ ¥«¥¬­­¥¯®¢â®à¨¬¨

1

2 .

¨¯n

 

ਯãá⨬®,

 

 

 

¤¨áªà¦¨® ­i©¥â¥«¥¬¥­

 

 

 

­ ©

 

¤i ! ¯®áâ

¯®¤iﬨ¢«¥­ ã ¢i¤¯®¢i¤-

类¢i ¯®¤i { æ¥

¯i¤¬­®

 

 

 

§¨¢ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å ¥«¥¬¥­â à ¨å ¯®¤i©.

 

 

 

 

 

 

 

­

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

­¨å

 

 

 

 

 

!

2 p

 

­iáâ쬮¢iàç¨á« p®áâi(0 pi

1); ¯à¨ç®¬ã

 

 

 

= 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

ªé® A ¢¨¯ ¤ªé®¢

 

¯®¤iï (A ¯à®áâ®à); i

 

 

­iáâî A ­ §¨¢ câìáï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

©¬®¢ià

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¨¯ ¤ª®¢i ¯®¤i A i B ­ §¨¢ овмбп ­¥§ «¥¦­¨¬¨, пªй® P (A \ B) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (A) =

X

 

p :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (A)P (B):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A14.

 

p §¨.

¯

 

⨠¯p®áâip ¥«¥¬¥

 

1 p «ì­¨© ª ¡¨ª ¯i¤ª¨¤ î

 

¤¢

 

 

 

 

 

¯i¤ª¨¤­®

 

îâì ¬®

¥вг¯p®бвipд бговм з¨

¢¨¯

 

 

¤¥ £¥p¡.

 

i¤ª¨¤

 

 

ï âp¨¢ c ¤®â¨,

 

 

 

 

¤¥ £¥p¡. ª

 

 

 

 

­iáâì

⮣®, é® ¥ªá¯¥p¨¬­­¥ â § ªi­ç¨ ìáïâi:

â p­¨å ¯®¤i©. ¯

 

á ⨠¯®¤i : A -

 

ã¬

 

 

 

 

®ç®ª, ïªi

 

«

, ¤®pi¢­îc 8; B­-

å ç

¡ ®¤¨­ p § ¢

 

¯ «

 

6. ¯¨á â

 

¯®¤i A [ B; A \ B; AnB; B:

 

 

 

2.

 

®¡ã¤ã¢

â¨

 

 

 

 

 

 

 

¥«¥¬¥­

 

p­¨å ¯®¤i© ¢

â

®¬ã ¥ªá¯¥p¨¬¥­

 

¡

­

 

¢¨¯p­®¬ã

ªp®æ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­¥¯ p­®¬ã

ªp®æi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤®¯®¬®£®î ®¯¥p æi© ¤®¤ ¢ ­­ï,

3.

¥å © A; B; C - ¢¨¯©¬®¢ip¤ª ¯®¤i .

 

 

¬­®¦¥­­ï â ¤®¯®¢­¥­­ï §­ ©â¨ ¢¨p §¨ ¤«ï ¯®¤i©, ïªi ¯®«ï£ îâì ¢ ⮬ã

é®:

 

 

 

 

 

®

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡) ¢i¤¡ã«¨áì «¨è¥ A i B;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥¤£¢)

­¥ ¢i¤¡ã«

®¤¢ái­­âp¨i®¤âi«®¤­¯®¤iic­ìª¨;

 

iï;­;

¯®¤iï;

 

 

 

 

 

 

§)

 

 

 

 

¨áì å®ç

 

¡

 

¤¢i

¯®¤i.

 

 

 

 

 

 

 

é® ¯p¨ -¬ã ®áì¯ ®áì i«i

c

 

 

 

 

 

 

¯®¤i( =1,2,3). ¨p §¨â¨ ç¥p¥§ ¯®¤i A⮬ã,ªi

 

¦)

¢­i¤¡ã«®

 

¤¢i

¯

«¨è¥ ¤¢i

 

 

;

 

 

 

¯®«ï£ c ¢

 

 

¡

 

 

 

­

 

 

 

 

 

 

 

 

­­ï;

 

 

 

 

 

 

4. p®¡ã«¥­

âp¨

 

áâpi«¨ ã æi«ì. ¥å © A - ¯®¤iï, ïª

 

 

 

 

 

 

 

 

áï

 

 

 

 

 

 

 

­­ï;

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

£) c ­

 

¬¥­è¥ ¤¢®£å® ¢«ã祭 .

 

 

 

 

 

 

i

¯®¤i :

 

 

 

 

 

¦®¤­

 

¢«ãç¥ ï;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p¥§ã«ì⯠«¨è­ ¥ç¨á«®;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ ­¥¯ p­¢¥«¨ç¨ç¨á«®;

 

 

 

 

 

 

 

 

§'âìáï:¥«¥¬¥­ ­¨å ¯®¤i© ¢

ª®¬ã ¥ªá¯¥p¨¬¥­âi:

 

6.

®¡ã

 

 

⨠¯p®áâip

 

5.

¥

 

 

© = f1; 2; :::; 2ng. ái¬ ç¨á« ¬ ¯p¨¯¨á ­

©¬®¢ip­®áâi ¯p®-

¯®pæi©­i

å

 

 

 

 

­

 

 

 

. ­­

©â¨ æi ©¬®¢ip­®áâi. ª

©¬®¢ip­iáâì ⮣®, é®

¢

¢

 

ç¨á«

 

ªp ᯥp¨¬q.

¥

­âã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

âi ¥ª

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­®î. ª

 

©¬®¤ã¢ip­iáâì ⮣®, é® ¥ªá¯¥p¨¬¥­â § ªi­ç¨âìáï:

 

 

¯i¤ª¨¤ îâì

 

­¥âã

¤®â¨, ¤®ª¨ ¢®­

­¥ ¢¨¯ ¤¥ ¤¢ çi ®¤­iî i âicî ¦ áâ®p®-

 

 

 

 

 

 

 

­®¬ã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­¥áã¬iá­i å ®¡'c¯®¤iï­

­­ï á¯i¢¯ ¤ c

©¬®¢ip­iáâì ïª A âªp®æi;C §¨®¬. i

 

¡

 

­

­

 

 

 

­®¬ã

 

 

 

 

®æi;

 

à­¨å ¯®¤i©. ­ ©â¨ ©¬®¢ià­®áâi A; B; C.

§ ãái¬ ¯à®áâ®à®¬

¥«¥¬¥­

 

 

 

 

)

¥ª

¯¥p¨¬¥­

­iª®«¨ ­¥ § ªi­ç¨âìáï.

­i¦ A,

 

 

B ¬ c ⠪㠦

 

7.

®¤iï C ¢ ¤¢

 

 

 

 

 

 

 

 

¡i«ìè ©¬®¢ip­

 

 

 

2.

®¡ã¤ã¢ ⨠¯p®áâip

¥«¥¬á⮥­ £®p­¨å ¯®¤i© ¢ âªi«ìª¨®¬ã

¥ªá¯¥p¨¬¥­âi:

 

1

 

 

 

 

 

£à «ì­

©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

­¥ ¢¨¯ ¤¥ 6.

¯¨ â¨

 

¥ªá¯¥à¨¬¥­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â¨, ¤®ª

 

 

§ ªi­ç¨âì ï ¤® è

 

 

 

¯i¤ª¨¤ ­­ï.

 

 

«¥¬¥­â à ¨å

¯i¤ª¨¤ îâì

£à «ì­¨© ªã¡¨ª¤®â¨, ¤®ª¨ ¢i­ ­¥ ¢¨¯ ¤¥ ¤¢içi ®¤­iî i âic¯®¤iî¦

 

®¤i© ¬iá

¨âì æï ¯®¤iï?

 

 

 

 

 

 

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

áâ®p®¢¡

­

 

á쬮­. ­¯¨á®¬ã­£®¬ã®â¨ªp®æi;¯i¤ª¨¤ªp®æi;:

­ï;ᯥਬ¥­

 

§ ªi­ç¨âìáï

 

 

 

£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­

 

­iª

 

­¥ª§

 

ªi­ç¨âìáï.

 

 

 

 

 

 

é® ¢¨ài¡

3.

 

¡iâ­¨ª ¢¨£®â¯®¤i«¨¢ ¢ n ¢¨à®¡i¢. ¥å © ¯®¤iï A ®§­ ç c

 

 

¤¥¦ä¥ªâ­

 

 

ài¡ ­¥ ¬ c ¤

 

 

ªâi¢;

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

 

ᯥp¨¬®¤ ¥­

¢¨ài¡¬ c

¤¥ä¥ªâ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤

 

å®ç¡i«ì褢¥

 

 

 

®¡¨ ­

 

¬ îâì ¤¥¤ä¥¥äªâi¢¥ªâ;

 

 

 

 

 

 

¬ c

 

 

 

 

 

 

 

 

. ¨à §¨â¨ ç¥à § ¯®¤i A ¯®¤iî, ïª ¯®«ï£ c ¢ ⮬ã, é®:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

¯®àæi©«¨è­i ¥®£ à¨ä¬ ¬ æ¨å ç¨á¥«. ­ ©â¨ æi ©¬®¢ià­®áâi. ­ ©â¨ ©¬®¢ià-

¡

 

 

 

 

 

 

 

®¤¨­

 

 

 

¬ c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

­

 

 

 

¤¢

 

 

¢¨à®¡¨

¬ îâì ¤¥ä¥ªâ¨.

 

 

 

 

 

 

 

 

£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤

 

å ¢¨à®¡i¢ ¬ îâì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

©¬®¢ià­®áâi ¯à®

4.

 

¥å © = f1; 2; :::; 2ng. ái¬ ç¨á« ¬ ¯à¨¯¨á ­

­iáâì ⮣®, é® ¢ १ã«ìâ âi ¥ª

 

 

 

 

 

 

 

­âã §'âìáï:

 

¯®«ï£ c ã

5. ¥å © A -

 

 

 

 

­iáâì ¢á¯¥à¨¬¤ª®¢¨å¥

¯®¤i©, B

 

- ¯®¤iï, ïª

¡)

¯ à­

 

ç¨á« ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­

 

 

 

­

ç¨á« .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

é® ¯®¤i Bm

­¥áã¬iá­á«i¤®¢.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç¥à¥§ A1; A2; ::: ®¢¥áâ¨,

Bm

ç¥à¥¯§ A1; :::; Am. ¨à

§¨â¨ ¯®¤iî [1 Bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

⮬ã, é® á¥à¥¤

 

¯®¤i© A1; A2; ::: ¯¥àè®î ¢i¤¡ã¤¥âìáï Am. ¨à §¨â¨ ¯®¤iî

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A [ B ¤¢®å

 

 

 

14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¬®¦¥ ¡ã⨠§ ¯¨á ­¥ ïª ®¡'c¤­ ­ï

稭®¬ ®¡'c¤­ ­­ï n ¯®¤i©.

 

 

 

¯®¤i©­ n ¯i¤¬­®¦¨­ A ;

i = 1; 2; :::; n. ®-

2.

 

¥áã¬iá­®¦¨­¯®¤i©â®ç®ª E

 

 

¤¢®å

­

 

 

n

 

 

­¨å

 

 

A [ B = A [ (Bn(A \ B)). ¨à §¨â¨

«®£iç­¨¬

1; 2; :::; 2

 

, é® ¤«ï ¡ ¤ì-ïª

®¡¬¥¦¥­®

äã­ªæii

⨠⠪i ¬­®¦¨­¨ B ; k =

¢¥áâ¨, é® ¢¨ª

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

¨

 

n

 

 

 

¯®¡ã¤ã¢

§­ ©¤гвмбп®а¨бв®¢гоз¨ªi «i, й® A1

 

 

 

 

A2

(w); :::; 1

An

(w))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (w) = F (1

 

 

(w); 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (w) =

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ck1Bk (w):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

®á㢠¢è¨

ªái®¬ã ¤®¤ ¢ ­­ï ©¬®¢ià­®á⥩, ¯¥à¥¢ià¨â¨ â

â®â®¦­®áâi:

 

1 + q + q2

+ ::: + qn + ::: =

 

1

 

 

; 0 < q < 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ? q

 

 

 

 

 

 

1 +

 

? m m + 1 +

(N ? m)2

 

 

m + 2

+ ::: = N

:

 

 

 

(N +

 

N + 2)

 

 

 

 

N

+ 1

 

m

 

1)(n

 

m

 

m

 

4.

¥å © P

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[r]

- ©¬®¢ià­iáâì ⮣®, é® ¢i¤¡ã¤¥âìáï ài¢­® r ¯®¤i©

A1; :::; An. ®¢¥áâ¨, é®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

 

 

 

 

 

 

n?r

 

 

 

 

 

(r = 0; 1; :::; n);

 

 

 

= 1;

 

P[r] = k=0(?1)kCr+kSr+k

 

 

¤¥ S0

 

 

(n)

 

=

1 i1

 

X

 

 

 

\ Ai2

\ ::: \ Aik ):

 

 

 

 

 

 

 

Sk

 

<i2<:::<ik n P (Ai1

 

 

ªi

46

 

i­ ¬i «ì­¨© ஧¯

¤i«i­®¬i. «м­¨©¤пвмбп15. ­¥§.

«¥¦­i

¨¯à®¡ã¢

­ï; ¯ ¨

¥¢¤ ç { § ©¬®¢ià­iáâî q=1-p.

 

 

®¢¥à®§¯®¤i«¤¥­ n ¢¨¯à®¡ã¢

 

­ì. ®¤i ©¬®¢ià-

ª®¦­

 

 

 

 

 

¢¨¯à®¡ã¢ ­­

 

¬®¦¥ ¡ã⨠¤¢

 

 

­ á«i¤ª¨: ãá¯iå { § ©¬®¢ià­iáâî p,

­iáâ쮬ãâ £®, é® ¢i¤¡ã¤¥âìáï ài¢­ ஢k ãá¯iåi¢ ¤®ài¢­îc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b(k; n; p) = Ckpk

(1 ? p)n?k:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

¥å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A15.

 

 

 

 

îc 1/5

 

 

 

 

㢠câìáï 10

­¥§

 

 

 

 

i¬®¢ià­ áâì ¯®¯ ¤ ­­ï

 

 

æi«ì

 

 

 

 

 

2

«¥¦­¨å

 

 

 

 

 

 

¢. ª

 

©¬®¢ià­i âì

¯®¯¤®ài¢­­ï

 

 

 

æi«ì

å®ç

¡

 

æi«ì

 

 

 

 

¯®¯¥à¥ ­i© §

 

 

çi §­ ©â¨ 㬮¢­ã ©¬®¢ià

 

iáâì ¯®¯¢i¤¡

­­ï

 

3

 

 

 

­

 

©â¨ïªé®©¬ ¢ià­iáâì

⮣®,

é®

á¥à¥

 

13 ª àâ,

 

ïªi ­ ¢¬ ­­ï

¨¡¨à -

 

4

 

 

 

 

 

«ï ¯®á«i¤®¢¨áâài«­

 

 

 

 

¢¨¯à®¡ã¢ ­

 

¥à­ «i §

 

©¬®¢

 

­iáâî ãá¯iåã p

овмбп

 

§ ª®«®¤¨

52

¤®¬®,

 

c

i¢®ç­

2 ª à⨠ç¥à¢®­­

.

 

áâi. ®ài¤¢içi?­ïâ¨

å®ç

 

¡ ¤¢içi,

 

 

 

 

 

é® c å

 

 

 

¡ ®¤­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

©â¨

 

5

 

 

 

¢®c

«î¤¥©

¯i¤ª¨¤

 

îâì ᨬ¥âà¨ç ã ¬®­¥âã ¯® n à §i¢.

§­ ©â¨ ©¬®¢ià­iáâì â®®áâi£àâ¨,é® a ãá¯iåi¢

 

 

 

 

г¤¢«гзвмбп¥

 

 

 

 

­iè¥ ­i¦ b ­¥¢¤ ç.

¦¥­

à § ª

 

«ï

 

 

 

¯®

ài¡¥­ áià­

 

 

 

¢i¤¡­ ­ ¢¬ ­­

 

 

 

¡¥à¥

¤­ã ª®à®¡ªã

 

 

 

 

 

 

 

ià­iáâî

¨¯à ¡ã¢ ­ì ¥à­ã«i § p=1/2.

 

 

£¥à¡i¢.

 

 

 

 

 

 

©¬®¢ià­

 

 

 

 

⮣®, é® ã

 

¨å ¢¨¯ ¤¥

 

¤­

 

 

®¢¥ ç¨á«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

¤ ç

 

­ å ).

 

 

⨪ ­®á¨âì i§ ᮡ®î

¤

 

 

ª®à ¡ª¨

 

 

 

¯à¨¯ã᪠îç , 鮩®¬ãᯠç

 

 

 

ã 鮪 ¦­ §

¨ª®à®¡®ª¬iá⨫

 

 

¯® N r áià­¨ªi¢.

 

®«¨áì iáâì 㯠âì

 

 

¬¥­

 

 

 

 

 

 

­ãâ

 

 

 

 

¢¨ï¢¨âìáï ¯®à®¦ ì®î.

 

 

 

 

 

 

­

 

 

 

®«¨

 

 

­

 

 

 

 

⥬£®, é®

 

 

àã£

®à®¡ª

 

 

 

¬iáâ¨âì

 

r áià­

 

,

 

¢) (

 

 

©â¨

 

 

 

­iáâì⮣®,

é®

¢ ¤

ãâ­iáâì áià­¨ªi¢

 

 

¤¥ ¢¯¥àè¥ ¢¨

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­

 

 

 

 

 

¢¨âïé® £

¬®¬¥ â, ®«¨ ¢¯¥àè¥

 

®¤­

§ ª®à®¡®ª

¢¨ï ¨« áì ¯®à®¦­ì®î,

 

­è ¬iá⨫

 

 

r

 

­¨ªi¢.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥­

 

 

­¥

 

âi©©¬®¢iઠ஡æi, ïª

ᯮ஦

 

 

i« ¯¥àè®î.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­ã«i

§

 

 

 

 

 

 

 

 

­iáâî ãá¯iåã p ¯®âài¡­â®¬ã,¯à®¢¥á⨠n ¢¨¯à®á¯iåã¡ ¢ ­ì. ­ ©â¨

©¬®¢ià­iáâì A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. ©¬®¢ià¥å

n

- ¯®¤iï, ïª

 

 

 

 

 

 

 

 

é® ¤® r-£® ã

 

 

 

¢ á奬i ¥à-

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯®«ï£ c ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(k; n; p) =

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X b( ; n; )

 

 

 

 

 

- ©¬®¢ià­iáâì ¯®ï¢¨ ­¥ ¡i«ìè¥ ­i¦=0k ãá¯iåi¢ ¢ n ¢¨¯à®¡ã¢ ­­ïå. ®¤i

 

 

 

 

 

 

 

 

B(k; n + 1; p) = B(k; n; p) ? pb(k; n; p);

 

 

 

 

 

 

 

B(k + 1; n + 1; p) = B(k; n; p) + (1 ? p)b(k + 1; n; p :

 

 

 

¥à¥¢ià¨â¨«ì­ áãªã¯­iáâì i§ N

 

¥«¥¬¥­âi¢ ¬iáâ¨âì ç¥à¢®à®§¯®¤i«ã)­ ­i ¥«

 

§

 

®§­

 

æi ài¢

®áâi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡)

­

¥

 

 

ï¬;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«iâ¨ç­®.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï ¤ ï £i¯¥à£¥¬¥

à¨ç­®£®

.

 

 

9. ( i

 

«ì­­¥ ­ ¡«¨¦¥

 

 

 

¯®¢¥à­

­­®¬iï ¡'c

 

 

 

n. ¬®¢ià­­iáâì ⮣®, é® ¢®­ ¬iáâ¨âì ài¢­ç®àk ç¥à¢®-

¬¥­â¨, ç¨á«

ïª¨å ¢i¤­®á¨âìáï ïª p:q (¤¥ p+q=1).

¥à¥âìáï ¢¨¡iàª

¡¥§

­¨å ¥«¥¬¥­âi¢ § ¤

 

âìáï £i¯¥à£¥®¬¥âà¨ç­¨¬ ஧¯®¤i«®¬. ®¢¥áâ¨, é® æï

©¬®¢ià­iáâì ¯àï¬ãc

¤® b(k; n; p).

15.

 

 

 

 

 

ᨫ®î) 4

1

® ¡i«ìè ©¬®¢ià­ : ¢¨£à â¨ ã £à ¢æï (ài¢­®£® ᮡi §

­ «i £¥à¡

¢¨¯

 

 

 

ਠk-¬ã

 

 

 

 

㢠­­i, ïªé®

i¤®¬®, é®

 

n ¢¨-

3

 

 

 

§ â¨, é® ïªé®©¬®¢iàn ¯¢¨¯à®¡å ¢¨¯à®¡ã¢

 

ài¢­ m ¢¨¯à®¡¯à¨¢¥«¨ ¤®

âii § 8 ç¨ 3

 

 

àâii § 5?

 

 

­iáâì

 

 

 

é®

¯¥ è¨å n

ã¢

 

ïå

2

 

 

©â¨

 

 

 

 

 

­ã

 

 

 

 

 

 

§.

 

¯à®¡ã¢

­­ïå £¥ã¬®¢à¡ ¨¯

 

 

ç¨

 

 

®¤¨­

 

 

 

 

 

 

 

 

®¤­ c §®ª®¬¡i­ æi©

 

 

 

 

 

 

 

 

⮣®,©¬®¢ià­iáâì ¯®ï¢¨ ( , ) ài¢­­® k

4. ¥à¥¢ià¨â¨ â®â®¦­iáââi«ìª¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b , ; n)

 

 

; p)b( ,; n),; p) = b(k; n + n ; )

 

 

 

¥§ài¢ ¤®ài¢­îc b(k; m; 1=2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­iáâî

¯®ï᭨⨠©¬®¢ià­iá­¨© §¬iáâ .

 

 

 

 

 

 

 

 

ãá¯iåã p ¯à¨ n ¢¨¯à®¡®¢ã¢ ­­ïå. ®¢¥áâ¨, é® np?q m np+p:

5. ¥

 

© m - ­ ©¡i«ìè i¬

 

ià­¥ ç¨á«® ãá¯iåi¢ ¢ á奬i ¥à­ã«i § i¬®¢ià-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48