Підручники з Дискретної Математики / yadrenko_m_y_olenko_a_ya_diskretna_matematika_na_ukr_yazyke

¨ ¢á쪨© ­i¢¥àá¨â¥â i¬. . ¥¢ç¥­ª

.., . ..

- I ¨ ¢ | 1995

¨ ¢á쪨© ­i¢¥àá¨â¥â i¬. . ¥¢ç¥­ª

¬¥â®¤¨ç­¨© ¯®ái¡. ­¨ª., . - .,1995. -.83c. . ¨áªà¥â­ ¬ ⥬ ⨪ . ¢ç «ì­®-cc . .. . «¤à­ª®,¥­ª®,®ä®p¬«. .¥­­«ï,¥­ª®,19951995

ª ¥â­¢ç «ì⥭¬

-¬â¨ª¥â®¤¨ç" ¯à¨§¨©­ 祭¡¨©­¨ª¤ ¤®ï áâã¤.

¥­âi¢­¯¨å¥àè®­ïâ죮 ã§àá㬪 àáã¥å" iª¨á-

i

¬ié¥

­ï

â¥

«ã ¢i¤¯®¢i¤

c ¯а®£а ªв¨згабг.

®ª

ª¨å ­

åi¤­¨©

¬¥â®¤¨ç­

¯®ái¡­¨ªã

®¤ ­i §

¬iç,

¬ â¥ài

« ¯®

ᥬ¥áâà

å

ª: ã

ᥬ¥áâài஧¢'ï§{ ­

ï 1-11, ã

¤à㣫i⮬ã¥

{஧­ïââï 12-23.

¦

§­

©â¨ ¢ ª­¨£ å i§§ ¯à®¯®­®¢ ­®£® ¢ ªi­æi ¯®ái¡­¨ª

¤«ï

â¨ç

®£®

ä ª

§

á

¥æi «ì­ áâi "¬ ⥬ ⨪ ". ¬iáâ

­ï ì

á¯iè­®£® ®¢®«®¤i­­­ï ¬ â¥ài

«®¬ ªãàáã. ¥ª®¬¥­¤ãcâìáï

஧¡¨â¨

â ®à¥â¨ç­i ä

ªâ¨ §

­¯¥à讬ã⥬¨,

«i ¬iáâ¨âìáï

âà¨

£à㯨 §

ç.

¯i¤¢¨é¥

­ ᪫

¤­®áã«ìâ¢i¤¯®¢i¤.¥âã

çi ¤«ï

¤¨â®à­®

®¡®â¨, £àã¯

àèã £àã¯ã ¢å®¤ï

âàãªâãà

®¬ã¦­

§ ­ïââï ¯®ái¡­¨ª

ª : ᯮç

áâ¨á«¥®¡­ ¢¥ ¥­

§

¥àè¥ §

ïââï

£®

­

¬

஧¢'ïâ¨ç­ §ª­ ãªæi . «ï ¤®

çi ¤«ï ¤®¬ è ì

­­ï,

£àã¯

{ ¤®¤ ⪮¢i § ¤ çi

¬iáâ¨âì§ ç

®¤ ⪮¢i ⥮à¥â¨ ­

ä ªâ¨

¯à¨ª« ¤¨

ã

⨯®¢¨å

§

ç

¬®¤¨äiª­

: i§ iá⨭­®áâi

¯à¨ª«n=k

¢¨¢®¤¨â¨

­­iáâì ¤«ï

n=k+m

¯

âãਥâàã n)

¬¥â®¤¯à¨á¢'ï箬 â

¥

â¨ç

­¤ãªæi ¯® ài¡­®

ᯨ᪪:

¯¥-

l - ¤¥ï

.

âãà «ì­¥ ç¨á«¢®¤¨¬®,瘟¬­¥â®¤ã⮡â®'離®¢®

¤®ài¢

îc 1),

§¬i­î¢ â¨

ॢià¨â¨®¯à î¢

­­¤ãªæi¥ài «ã § ­ïââï ¯®âài¡­

§¢¥à­ãâ¨

¢ £ã

­

ài§­i

¤¥

ï iá⨭­®á

¥ïª®£®

­­ï

⥧¬

«

¢i

âãà «ì­®£®

¡ §ã i

, ⠡⢥द¥­

­­(節

¥¦¨âì

­­ ¯à¨

æ쮣® ¬¥

®¤ã.

é

¤, ¬®¦­ §

¡ §ã¥à¤i ¦ã¥ªæi ¡à ⨠n=l

¢¨ª®âi­­ãcâìáï ¯à¨ n=k

⮤i

订¨ª£® ­ câìáï¤iï

¤«ï

n=1.

§¤i©á­îcâìáï ªà ª i­¤ãªæi ,

¯à¨¯ãá⨠è¨, é®

⢥द¥­­ï

(m 2 Z)¤ãªæi. .

¢¨¢ç â¨áì ®á­®¢ i ¯à ¢¨«

ª®¬-

âà¥â쮬㠧 ­ïââi

ªà®ªâ ­

§ ­ï

впе 2-7 ஧£«п¤ овмбп

®¢­i ¯à

iáâ¨

¯®­ïââï ª®¬¡i

.

¬­®¦¨­¢¨«, пªi¬¡iбвпвм бªi­з¥­­г,

¯®¢i¤­¨å¤à㣧®¬ã

з е஧£­«п¤пввп ¢¨¢з овмбп

¡i­ â®à¨ª¨: ¯à ¢¨«

á㬨¯à®¤®¢¦ãîâ줮¡ã⪠.

ਠ஧¢'ï§

­­i ª®¦­® § ¤ çi

­ ¬®­£®¦¨

«i§ã

­ïâ

®á­

­i ¯®­ïââï â¥

ài ¬­ ¦¨­, ®¯¥à æi

¨,

¢¢®¤пвмбпc ®б­

­¨© ¯à¨­æ ¯

â®

¨

. ¢i¤

¡® §«i祭­

ªi«ìªiá

ì ¥«¥¬¥­âi¢.

1

á i¤ §¢

⨠㢠£ã ­

â¥, ïª

¯à ¢¨«

§ áâ®á ¢ãcâìáï.

¥æ¨å« ¬¥¯а­з¥в¢¢¨«¢,¥з¨б«а⮬г¯i¤а е®¢гcпввiвмбп஧Aз¨б«£nk«п¤i§ n¯овм п ª®¬¡ii¢ ¯

kPæin¥«C=¥¬nk ¥n§­!

âi¢n ¥­.«¥¦¨¬¥­âi¢i§ n

k ¥«¥¬¥­

.

®¬¡i­ â®à

¨©

­

k

à¥áâ

Ck

â ª¨©: æ¥

ᯠᮡi¢

¢¨¡®àã

i§ n

¥«¥¬¥

â­

­

¥«¥¬¥

­®¢®ª

­ ¦¨­ . ¤®¯®¬®æì ¬ã£®î¦

§ ­ïââi ­âi¢

஧¬ié­

¥à¥ªã७ ­i

á¯i¢ i¤­®è¥

­ï ¤«ï

´

Ck

:

­­ài§

­§¬iáâ¨å ¤ç¨ ­¥®¡åi¤­

¢®«

¤iâç¨á«ài§­

â n

а¨¤®¢¥®¤пвмбп¤¥­­ ж¨е в®в ¦­®á⥩:

­

«iâ

ç­¯i¤¬(§

¤®¯®¬®£®î

à¨ä

â¨ç­ å ®¯¥à æi© ­

ç¨á«®¢¨¬¨

§­

­

¬¨ Ck), ª ¬¡i­

â®à¨¬¨­

(§

¬¥­âi¢ i§

­¨å ¬­®¦¨­), £¥®¬¥âà¨ç­ä®à¬ã«¨(§

¤®¯®¬®£®î

æi

n

ç¨á«

¢¨¡®àãç¨á¥«

¤®¯®¬®£®î ­â¥à¯à¥â¢i¤¯®¢i¤æ æ¨å á¯i¢¢i¤­®è¥­ì ïª

¯'ï⮬ã஧¢'吝ïââi

c

­ç¥ i§ ­

ᯮᮡi¢¦«¨¢¨å ª®¬¡i­

è«ïå

¬

è 客®£® ¬ áâ ).

®¤

áï ¢¨¯ ¤®ª, ®¢ª®«¨ ¥«â¥¬¥à¯à¥­ ¥¨,â ïªi

­ï¬¨. ¯®¯¥à¥

iå §à®§­

£«ï¤âïå

â®à­¨å á¯i¢¢i¤­®è¥­ì { ¡i­®¬

­

â

n

©®£® § áâ®á㢠­­ï.

¡à «¨ ãç áâì

¯¥à¥áâ ­®¢ª

å ç¨ìî⮪ ¬¡i­ æiïå,©¡i«ìè¢ái 㫨 ài§­i. ªé® ¦

¨­¨æ ¬¨,

ài§­

⨯¨

¢i¤¤i«ïîâìáï

®¤¨­ ¢i¤

­®£® ­ã« .

­ïââï 6 ¯à¨á¢'ï祭¥

®¬¡i­ æiï¬ â

¯¥à¥áâ

¬ § ¯®¢ ®à¥­

åi¤­

§¢¥à­ã⨠㢠£ã

¬ ⮤஧è¨ä࣫ï

¢ª¨

ª®¬¡i­ æi© §

¢â®à¥­­

¨

ª ¦­¨© ¯à¥¤¬¥â ¬®¦¥

¡® ­

¬ ⨠¦®¤à®§¢'吝

¨æìå ¢«

á⨢®áâ1 n

©,

¡®æ쮬ãâ¨

¤¥ïªi ¥«¥¬¥­

®¤­

ª®¢i, â® ®âਬãc¬® ¬¥­è¥ ª®¬¡i­

æi© ç¨ ¯¥

áâ

­

¢®ª, ¡® ¤¥ïªi § ­

å §¡i£

î

. à¨

­­

­­

¢i¤¯ ¢i¤­¨å

¤

¥®¡-

§

­ ââï 7

¯à¨§­ 祭

¤«ï ®¢®«

¬¥â®¤®¬ ¢ª«î祭

i

¢¨ª«озовмбп¥­ .

¤®¯®¬®£®î

®á« ¤®¢­

§ ­ã«i¢

®¤¨­

(¥«¥¬¥

¯®§­

®¤

ã ç¨ ªi«ìª

¢«

á⨢®á⥩. ®§­

稬®

N(a a :::a )

{ ªi«ìªiáâì ¯à¥¤

¥å

c N ¯à¥¤¬¥âi¢,

¤¥ïªi § ïª¨å ¬

îâì

¢« áâ

a

; :::; a : à¨

­è¨å

¬¥âi¢,

ïªi ¬

îâì

¢«

aj; a®¤i; :::; ak

(i, ¬®¦«¨¢®,

饥¬)ïªi §

¢®áâi

k

i

j

îâì ¦®¤­® i§ ¢ª -

¢« á⨠®á⥩). ®¤i ªi«ìªiáâì M ¯à¥¤¬¥âi¢, ïªi ­¥ ¬

á⨢®áâi1 <i <:::<i n

k

§ ­¨å ¢« á⨢®á⥩, ¤®ài¢­îcX

(?1)

N(a

a

:::a

):

M = N ?

1

2

k

1

2

k

­ïââï 8

­ 祭

¬¨ ®¡ç

á«¥­­ï © ®¢ià­ -

¤«ï ®¢®« ¤i­­ï

á⥩ ¢¨¯ ¤ª

¯à¨§

¤i©, ïªi ¯®¢'ï§ ­i §i áâ®å áâ¨ç­¨¬¨

¥ªá¯¥

¬¥­â ¬¨

áªi­ç¥­­¨¬ ç¨á«

१ã«ìâ

âi¢. « á¨ç­¬¥â®¤®§­

­ï ©¬®¢ià­®áâi á«i¤

§

áâ®á®¢ã¢

®¢¨åâ¨

⮬¬ã ¢¨¯ ¤ªã, ª®«¨ ¯à®áâià ¥«¥¬ç¥­â à­¨å

¢¨¯ ¤ª®¢¨å

2

гв¢®аоовм¯ài¢­i©®¬®¦«¨¢i¢à᪫客ãîâ¤., c¡âìáï¥§æ ¢à¬ãi§åã¢áªi­ªi«ì­­ç¥ï­­iáâì夫ïïªiáªi«ìª®áâi¥¢¨§«­¥¬­¥­çi§¥¯®¤i©­à¨æi­ï .©¬®¢iࢨ¯¢áiá­ ¥¤ª®¢¨å­«­¥®áâi¬¨¬¨¥­â¢¨¯¯®¤i­¤ª®¢®©¯®¤i, ïªi¬¨

®¡ç

á«

©¬®¢ià­

âi ¢¨¯ ¤ª®¢®

¯®¤i

¤«ï

¥ª

­

c

i,

⮤

ª®¬¡i­

®à¨ª¨. ª®à

á⮢ãî

®¦ ¢« á⨢ áâi

­

¤®§¢®«ïî

®¡ç¨«¨èá â¥

©¬®¢ià­

¯à ⨫¥¦­®

ᯥ¤iਬ, ©¬®¢ià¥

­i

ì

á㬨

¢¨¯ ¤ª®¢¨å

â

­èi. â iáâì⨠⨪¨

ª¨åᢥ« - «ìæ¬ ­ , §

­è⥩­­

, ¥à¬i- ià ª

i«обваговм §¢'п§

ài§­¨å

©¬®¢ià­iᬭ¨å¥â®¤

´-

¥© ¥ªá¯¥

¨¬¥­â㯮¤i©§

ç

¬

¯i¤à å㭪㠪i«ìª®áâi §

­¨å ç á⨭®ª,

ïªi

­ïââï

9. ®§£«ï¤

овмбп ¬¥в®¤¨ ®¡ç¨á«¥­­ï 㬮¢­¨å

­®á⥩,

à¥cáâà

«iç

«ì­¨ª

¬.

îâáì 㬮¢­

¢¨§­ -

c

¤®¤

­говмбп© ®¢iа­iбвм. вª ©¬®¢ià­®áâi ­

ä®à¬ã«

¯®¢­

¬®¢ià­®áâi. ¡ £ âì®å ¢¨¯ ¤ª å ­à臘åi¤©¬®¢iॠ§­ 室¨â¨

ç îâì §

¯®¤i© ¯à¨

¤®¤

®¢i© 㬮¢i, é® ¢i¤¡ã«

¤¥ïª ¯®¤iï , ïª

ä®à¬ã«®î P (A=B) =

P (A\B) ; ïª

¤®§§¨¢®«ïc

¡ç¨á«¨â¨¬¨

㬮¢

âì, ïªé® § ¤ ­

©¬®¢ià­®áâi

å

­iáâì ¯¥à¥â¨­ã

®áâi.

ä®

¬ã«®î

­ ©¬®¢ià­®áâi §

©¬®¢ià­®áâi

©¬®¢ià­iá­

© ¯à®áâià,

­

㬮¢¯®¤i­

ià­

âi.

ç ­¥

â¨

¤ çi § ⥬ ⨪¨ ¯®¯¥à¥ ­iå

§ ­ïâì. i¢¥­ì

᪫®¤ïâì­®áâi

P (B)

©¬®¢ià­iáâ쩬®¢iàc ¢ái ¢« á⨢

A \B: «i¤ § 㢠¦¨â¨, é® ã¬®¢­

®¤i©, ïªé® ¢i¤®¬i ©¬®¢ià­

¯®¢­ £à㯨 ¯®¤i©, ­

ïªi ஧¡¨¢ câìáï

­ïââï 10.

®­â஫ì­

஡®â

.

®¦­ ¬ã áâ㤥­âã

¡à ­i ç®

á¨

¥âà¨ç­

¦¢i¤¯®¢i¤¥­­ ¤¥ïª

ç á⨭¨

¬ ­

£¥®¬­

¥âà¨ç­

¤®¬

­

¥à¥¢¨éãc à ¢¥­ì ᪫

®á®áâi§

ç, ïªi ¡ã«¨ §

¯à®¯®­®¢ ­

è

­ì® ஡®â¨.

овмбп § ¤ зi, пªi ©¬®¦ §¢¥бв¨ ¤®¯i¤ ª®£® ¢¨

§

­ïââi 11

ª« á « ¬ ­¨å

§ ®¡¬¥¦¥

­ï¬¨. ਭ樯 ¤§¥àª

­

­­

«®é¨

.

§£­­«ï¤¯®«ï£ c

¥â

§ ¤ çi ïªà®§£«ï¤«

­ ­ ª®®à¤¨­

câìáï

¤ª®¢®£® ¡«ãª ­­ . á

¯à¨ å

®§¢'ï§

i c

­â¥à-

ã⢮७¨å «

¬ ­¢i¤®¡à¨å ¯®ç

®¢¨¬ ª« ᮬ.

i«ìªi©áâì

­¨åª«

¦¥ï¬®­­ . ਠ¯i¤à

å㥭ïªã ç¨á«

« ¬ ­¨å §

áâ®á

¢ãîâì ª®¬¡i­ ¢i¤¯®¢i¤â®à­ ¬ià

¯à

ã ¢áâ

®¢«

­­i ¢§ c

­

®¤­®§­ ç­

¢ ¤¯®£®

­®áâi

¬i¦

­¨å «¥£ª®

¯®à å㢠â¨, â

âªïª ­

­¨å ¢¦¥ ­

­ ª«

¢i¤®¡аовмбп

ªi ®¡á®¬¥

ªã¢

­­æiïââï 12 ¯à¨§­ 祭¥ ¤«ï ®¢®«®¤i­­ï

¬¥â®¤ ¬¨ ®¡ç¨á«¦­­¥ï

£¥­eà

-

.

3

å â®â®¦. ­ïââﮧ£«ï¤­âià«13 ¬iáâ¨âìcâìáïi­£ .஧¢'離ïáâ®áã¢ä®à¬ã«çi,ª®¬¡i­­ªi ¯®â§£­¥­â®¥i¡ààᮢãcâìá­âà¨å஧¢'¨á ¤«ïç§ã¢¤®¢¤«ï. ¥â¨,¤§¥­­­á¯¨à室¦ª®¬¡i¥îç¨áì­­­ â®à£à­ -

­

æì, ¯à¨¡«¨®á⧭

¥©®

室¦¥

©¬®¢ià­®á⥩. æ쮬㠧 ­ïââi ஧£«ï¤

câìáï

ä®à¬ã«ãª ¦ ¤¥ ª¥ ã§

£

«ì­

­­

­­ïââï

"ä ªâ ài «",

á ¬¥ "£ ¬¬ -äã­ªæiï

ïââi

14

¬

­®¢ã

¯®¢¥àâ c¬®áì ¤®

¢¨¢ç¥­­ ©¬®¢ià­®á⥩. «¥

âà¨á¬¥­

­¨å ¯®¤ ©,

஧£«ï¤

овмбп

¯¥à æi ­ ¤ ­

¬.

áâ ­

âìáï

©«¥à ".

iáâì ¬ ¦

­ ¤ ¯®¤iﬨ

®¯¥à æiﬨ ­ ¤ ¬­®¢«îc¦¨­ ¬¨.

¢

ãâ

câìáï ¢¦¥ ¡i«ìè § £ «ì­

á¨âã æiï. ¢®¤

âì ï

áâià ¥«¥-

¥«¥¬à®¥­§£«ï¤­¨å

¯®¤i© i

­ áâì

¯®¤i

¥

®¢® ¯àאַ

¯à®¯®àæi©

¨­

ª c

楩 ஧¯ ¤i«. «ï §

®¤¨

, ïªi

¬iбвпв즫¨¢¨åâ®â® ­

i, ¯®âài¡­®

¤ª

¤¯®¢i¤

câìáï ¢¨¯ ¤®ª, ª®«

¯à®áâià

¯®¤i©

¬iáâ

âì §«i祭­

ªi«ìª áâì

â¥,

直å

®¬¡i­ â®à­¨åæiﬨ

аªг¢ ­гв¢®аоовм¦­®¬г ª ­ªа¥в­®¬г

ã

®¤i«i¢ { ¡i­

«ì­¨©.©¬®¢ià

®§¢'ï§

­­

¤

.

á«i¤ §¢¥à­ãâ¨

£ã ­

ªi«ìª®áâi

¥«¥¬¥­â

®¯­¨å¥à ¯®¤i©, ïªi

­¨©

¨à §

¯à¥â

æiî

¦­®áâi)®¬¡i

ç­¨© (¢¨ª®¡®¢'離à¨á⮢ãîç¨

­ïââi 15 ஧£«ï­ãâ®

­

­ i§

¬¨å

©¬®¢ià­iá­ å ஧

¢

­®¬ ­iâ­

ä®à¬ã« ®¡¥àâ

ï. à¨(ᯨৢ'ï§ ­­ §

æ쮣®

­ïââï

¨

i 16

ª

­ â®à­¨©

îç¨áì

­

©¬®¢ià­iá­ã¢ i­â¥à-

®§£«ï

¯à®¯®­

«iâ¨

§ ¤ çi ­

®âਬ ­­ï®áâ

¢¨¯

­­

«i¤

¯à £ ஧¢'離¨:â®â®ã ¨å ®à¨áâ㢠â¨áì

¤¢®¬

¬¥â

¬¨. ¥àè © ¯®«ï£ c

ã

i¤-

¤

¢i¤¯®¢i¤­

¡i­®¬i «ì

¨å ©¬ ¢ià­®á ¥©).

ç¨áá⨥«ìáâ®áã­ ài¢­®áâi

áâ ­

¢¨à §i¢ ¤«ï

­¨å ª®¥äiæic­âi¢ ã ¯à ¢ã

ªi

®¢i å à

ïª ¬ ⥬ â¨ç­­

.

஧¢i¤®¬£«ï¤¨á¯¥àáiï.

஧¯®¤­ïââii

19

¬¨ §­®¢ã

àâ c¬®áì ¤® £¥­eà

овмбп

§¢¨ç ©­

(¤¨¢. § ­ïââï¢i¤¯®¢i¤¯®¯12) ¥à¥ªá¯®­¥­æi©­

£¥­¥àâà¨á¨. ®§£«ï¤çi æ쮣®

ài§

­­

â®â®¦­®áâ .

à㣨© { ã §¢¥¤¥

¯¥¢­

¬i­ ¬¨

à

஧¢'ï§

­­i ¡ £

ì®å §

ç æ쮣® § ­ïââï §­á¯®¤i¢¨¬¨­¨ª c ¡i­

«ì

­

17

­ ввп ¢¨¯¤®¢®¤пвмбп,¤ª «¨з¨­

i

овмбп

¢§®âਬc­®¢æi®¡¥à

¥­¨å á¯i¢¢i¤­®è¥­ì, ïªi

¤®

¦¥

å.

¯¥à¥¢¨éãc

à

§

â­¥¢¢®¤¨âìáï¬áª« ­®áâi § ¤ ç, ïªi ¡ã«¨ § ¯à®¯®­®¢ ­¯i¤

¤®¬ è-

â à¨

ç¨á«

ªâ¥à¨á⨪¨,¤­iå § ­ïâì.

i¢¥­ì ᪫

­­¤ ®áâi

ç ­¥

­ïââï 18.

®­

஫ì­

஡®â

. ®¦­®¬ã

®¢ãáâ ¤¥­âã

¡à®¬i­

ç®

©

«, 直© ஧£«

¢áï

­iè¥ ã §

ïââi 15.

­ì® ஡®â¨.

4

­ïââï ¯à¨§­ 祭i ¤«ï ¢¨ ¡«¥­­

¬i­­ï ®¡à 客ã¢

£¥­¥à âà¨á¨

¤¨áªà¢§ài§­c¬¥­â®ç¨á«®£® ¢©¨å¬®¢i୨寮 ­«i¤®¢¯i¢¢i¤iá­

®áâ®è஧¯®¤i¥©­.ì ®§ã¤®¯®¬®£«ï¤£¥câìáï­£¥®îà âࣥ­á®îª âà¨á,. ¬¥â®¤¢i¤®¢¢«¥¤¥

§

­ïââi 20

áâ®áã¢

овмбп­­

¢

¦ ¨¢i

ª« ᨠᯥæi «ì­¨å ç¨á¥«,

§­­ -

室 âì

è¨ ®ª §

ài§­

¤i« å

⥬

â®

. ¥ {

¥«

i

«i­£

§¢'燐ª ¡

.

¦«¨¢¨¬¨

¦

®áâ

­

直å

§ãcâìáï

âì® à®¤ã) ç, c ४ã७⨪¨­i ä

ç¨á«ï¬¨,¤

¥ªá¯®­®¡­¥æi©à ­

(¯£¥¥àè®­

£®âà¨á ¬.

ª®¬¡i­ â®à­¬ã«¨ïªi­â¥à-

ç¨á¥« âià«i­£ .஧ᣫ嵐«¨¢ã 㢤à㣮£á«i¤® ஧¢¥à­ã⨠­

à¥â æiî

ç¨á¥«

âià«i­

. ¥«¨ª

ç á⨭

¤ ç § ­ïââï

¯à¨á¢'ï祭

çi, ïªi ¯®¤

æ쮬ã ஧¤i«i, ¤¥¬®­áâ

஧¢'ï§

ï æ¨å ç¨á¥«

ài§­¨¬ äã ªæiï¬ ¢i¤ æ¨å

«ì­¨å

ç¨á¥« {

®£®ç«¥­ ¬, §¢¨ç ©­¨¬

§¢'吝ïââi 22

¢¨¢ç

ç¨á«

¥à­ «i

¬®¬­®¥£®ç«¥

¤¨áªà¥à¥âã«i.

-

âà¨á

¤«ï æ¨å ¢¨¯

¤ª®¢¨å ¢¥«¨ç¨­.

­ªã ài§­¨å

­âi¢

­¨å ¢¨

¯

­ïââï 21 ¯à

á¢'ï祭ᯥ®¡àæi

åã£

­­

¤ª®¢¨å ¢¥«¨

. ᮡ«¨¢ã ã¢

¯à¨

¤

á«i¤ §¢¥à­ãâ¨

­

­ïââï 23.

¯à¨­æ

¯ iàiå«ãîâì¥

஧ª«

­­ï. ãâì

®ª §­ 祭

ài§­¨å ¬®¬¥­âi¢ ¬i¦ ᮡ®î i §i

­

祭­ï¬¨ £¥­¥à

­®£®ç«¥­i¢ ¤«ï

а¨¬овмбп­­ аi§

¨å á¯i¢¢i¤­®è¥­ì i

¤i¢ äã­ªæi© ã

à廊. ®§£«ï­ãâ®

ª ¦ ä à¬ã«ã ©«¥à -

ª«®àáâ®á㢥­

¢¨ª®à¨áâ ­­ï.

¯à¨­æ¨¯ã

iàiå« ®§£«ï¦­

§à®§ã¬i⨠i§ â

®£® ¯à¨ « ¤ã:áâ®á㢭­¥ ¦«¨¢®

-

¬iáâ¨â¨ n+1 ¯à¥

¥âi¢ ãâ®n ª®¬iઠå â

ª, 鮡

©®ã ª£®¦­i© ª®¬iàæi ¡ã«à®§­¥

¡i«ìè¥ 1-£® ¯à¥¤¬¥â .

5

ਭ樯 ¯®¢­

´

¥¬¬ â¨ç¬­â¨ç® i­1®.

­¤ãªæi. .

ç¨á« ¬¨. ਯãá⨬®,

é® ¢áâ ­®¢« ­® â ¤ãªæi¥:

⢥द¥­­ï T (m) á¯à

¤«¨¢¥;

¥å © c ¯®á«i¤®¢­iáâì⮤

­ì T (n); § ­ã¬¥à®¢ ­¨å ­ âãà «ì­¨¬¨

®¤i á¯à ¢¥¤«¨¢i ¢ái

⢥द¥­­ï T (n) (n m):

1)2 ¯à¨ n m i§ á¯à

¤«¨¢®áâi T (n) ¢¨¯«¨¢ c á¯à ¢¥¤«¨¢iáâì

T (n + 1):

A1.

1. ®¢¥á⨠â®â®¦­®áâi:

n

2

2

2

n(n

2 4 6:::2

< pn+1

; n +1)(2N;

+1)?x

1?x

1?x

¡

13

23

1?x

?x

[n(

6 ]

+

+ ::: + n3

=

;

n ?

¢

(n

n + :::(n + n

= 2n

1 3 5:::

£

8x =6

1)(:

+

4

+ ::: +

2n

=

(2n

:

n+1

x

2)n?

x

2

x

2n?1

x

1);

¢

> n3;

8 10;

a ¤i«¨âìáï ­

ç¨á«® b:

2

3

, é® ç¨á«

3. ®¢¥áâ¨

­¥ài¢­®áâi:

8n Z;

n n 17n; b = 6;

1 3 5:::(2n?1)

+ 1; b = 7; 8n N;

¡

a = 7 + 8

b = 19; 8n 2 N:

2

>

4n

; n >

1;

2n)!

(

!)

n

n

1

n

n

n?1

(a

; a > 0; b > 0:

£) 2

+ b ) > (a + b)

4

騭i ¤®¢i«ì­¨¬ 稭 ¬ ¯à®¢¥ ¥­i n ¯àﬨå. ®¢¥áâ¨, é®

5. ®¢¥áâ¨,

é® äã­ªæiï

â ª § ¬ «î¢ ⨠¯«®é¨ ã,

¡ã¤ì-ïªi

ç®à­®î i ¡i¯«

î ä à¡ ¬¨ ¬®¦­

¤¢i ç

­

ïªi ¬ îâì á¯i«ì­ã áâ®à®­ã, ¡ã¤ãâì ¬ ⨠ài§­¨©é®ª«ià.

T

(x) = cos(n arccosx)

­

n

¢i¤ài§ªã [-1,1] §¡i£ câìáï § ¤¥ïª¨¬ ¬­®£®ç«¥­®¬ á⥯¥­ï n.

6

­¥ ¯6.а «¥бªi«мª¨«м­ ¦®¤з бв¨­i ва¨­ ஧¡¨¢­¥ ¯а®е®¤пвмовм ¯«®é¨ç¥à­ã¥§ n®¤¯àﬨå,­ã â®çªã?§ ïª¨å ¦®¤­i ¤¢i

1

9

(2n?

.

1

B1?2n

â®â®¦­®áâi:

n( +1)(n+2)

4 ) :(1 ?

4

2

? )(1 ?

) =

3

;

;

(1 2 + 2 3 :::

+ (n +

n

n+1

n+1

3 +1

n?1)

+

24

; n > 1;

5 +

45

+ :::

(4

+ 1)5

=n5 :

2

a =

?

3

+

n;

b = 4:

ç¨á«® b:

,

é® ç¨á«

¤i«¨âìáï ­

3. ®¢¥áâ¨

­¥ài¢­®áâi:

;

b = 13;

1 + 3

3n2

+ 9

2

n

3

+ 7

b = 6;

£)

+2 p

+ p

+ ::: + p

< 2

n:

n < 1

¢

4

+4

1

n

;

2

1

13

3

¡

2

n

n

+4) ;

> (n

3

n

p

p

2

1

1

1

câìáï â ª¨¬¨ 㬮¢ ¬¨

4. ®á«i¤®¢­iáâì i¡®­ ççi ¢¨§­ ç

®¢¥áâ¨, é®

a0

= 0; a1

= 1; an+1

= an

+ an?1:

a

n+1

a

n+2

? a

n

a

n+3

= (?1)n:

5

é® ¡ã¤ì-瘟 ç¨á«®, 瘟 ¡i«ìè¥ ­i¦ 7 ¬®¦­ ஧ª« á ¨ ã

6

®¢¥áâ¨,é® ¤«ï ¡ã¤ì-类£® n 2 N; n > 1 ç¨á«® 2

+1 § ­

7.

¯«

­ ¯à®¢¥¤¥­ n

ªi«

ª, é® ª®¦­i ¤¢ § ­¨å ¯¥à¥â¨­ îâìáï

âpi©®ª i

.

2n

áªi«ìª¨çãcá⨭

áã¬ã¤¢®å

â®çª

å¯'ïâip®ª­iïªi âਠ­¥ ¬ îâì á¯i«ì­® â®çª¨.

æ¨äà®î 7.

®é¨¯à

æ쮬㠯«®é¨­ ?

1.

஧i¡'câìáï

1. ®¢¥á⨠­¥ài¢­iáâì

7

2.

x1

+ x2

+n

::: + xn

pn x1x2:::xn;

8i = 1; 2; :::; n : xi

0:

n

®¢¥áâ¨, é® áâ®à®­

¯à ¢¨«ì­®£® ¬­

ãâ­¨ª ,

直© ¬ c 2

áâ®ài­, ¢¨à ¦ câìáï ç¥à¥§ à ¤iãá R ®¯¨á ­®£®

®£®«®ª

ä®à¬ã«®î

a

n

= Rs

2 ? r2 + q2 + ::: + p2

;

2

¤¥ ã ¯à ¢i© ç á⨭i áâ® âì n-1 ª®ài­ì.

k (k = 1; :::; n) i áã¬

3

¥å © ­ âãà «ì­i ç¨á«

a

; :::a

n

â ªi, é® a

k

a +a +a +:::+a

-

à .

1

é® ®¤¨­ i§ ¢¨à §i¢ a a a ::: a

®«ì®à¨

â

é® ¡ ¤ì-ïªi ¤¢ ®¢ªàã¥á⨣

, ïªi ¤®âªаг£овмбп¨

¡

ãâì ¯

ä à¡®¢ ­i

®¡'c¬ã ( ) ª,直©¢¨¯ãª«­ ¡ ¥

¬iáâ¨â¨

¤¨

¦®¤­ ¢i¤¬i祭 â®çª¨.

n

¤

1

2

3

n

1

2

3

ài¢­îc 0.

ªàã£i¢ ®¤­ ª®¢®£® ஧¬iàã

஧¬i饭 ­

«®é¨­i, é®

4

¢ ài§­i i«ìª®«ì à¨.

¤iâì, é®

¬®¦­

n

­iïªi ¤¢

­

¯¥а¥в¨­ овмбп.

஧ä à¡ã¢ ⨠¢ 4

â®çª¨. ®¢¥¤iâì,

é®

­ ®£®

¬®¦­

ª

­ã¬¥à¢¨¯ãª«¨©® ­

­®£®£p

¨ª

6.

®«i ஧¬i饭

4k â®çª , ïªi

­¨¬

稭­®¬

5

á¥à¥¤¨­

®£®

­®£ £p ­­

®¡'c¬ã

1

3(2

? 1)

ç¨á«

1,2,...,4k. ®¢¥¤iâì,

é®

ài§­ © ஧áâ ­®¢æi ­®¬¥ài¢ ¬®¦­

§'c¤­

1

n

¢i¤ài§ª ¬¨, ïªi

®¯¢б¤®¢i«м­­¥а¥ ¯¥а¥в¨­ овмб冷¢i«маi§­¨жп з¨б¥«

¬¨â

2

­¥

¯¥à¥¢¨éãc 3k-1.

­ ªi­æïåâ®çª¨¦­®£® ¢i¤ài§ª

8