9.1. Аплікація

Аплікація A в B це бінарне відношення, що має наступну властивість: кожний елемент x ( A перебуває у відношенні з одним і лише одним елементом y ( B.

Можемо інтерпретувати аплікацію наступним чином: область визначення відношення R співпадає з A і будь які дві пари мають різні перші координати. Перша координата x називається аргументом, друга координата (образ) називається функцією. В аплікації заданій за допомогою формули

f = {(x, y) ( A B: y = f(x) }

аргумент х називають незалежною змінною, а функцію у залежною.

Nota 1. Часто функцією називають не другу координату у, а саму аплікацію. Крім того, називають функцією сам символ аплікації, наприклад, функція синус (мається на увазі y = sіn x). Таким чином термін функція має три значення, різні, але зв’язані між собою:

Аплікація

Залежна змінна

Символ функції

Для того щоб уникнути непорозумінь, треба запам’ятати раз і назавжди:

Визначити функцію є:

Вказати область визначення A ;

Вказати область значень В;

Представити функцію (аплікацію) як бінарне відношення – не має значення, як множину пар або якимось іншим способом.

В цьому розумінні поняття функції і аплікації являються ідентичними і ми будемо вживати їх з однаковою частотою. Але, правду кажучи, термін аплікація провокую менше непорозумінь ніж термін функція. Коли ми говоримо про аплікацію, то наводимо всі перераховані вище її атрибути. Говорячи ж про функцію, ми часто вказуємо одну лише формулу, наприклад, y = sіn x, або навіть одну назву функції - синус. Що являється функцією або аплікацією A в B це

f = {(x,y) ( A B: y = sіnx}.

І що є ще більш важливим, при A = [0, (], B =[0, 1], f = {(x,y) ( A B: y = sіnx} є одна функція, а при A=[-(, ( ] , B =[-1, 1], f = {(x,y) ( A B: y = sіnx} є вже інша функція. Вживаючи термін аплікація це розуміється само собою, а вживаючи термін функція ми часто про це забуваємо, так як у школі звикли поводитися з функціями вільно.

Можна сказати, що аплікація A в B встановлює однозначну відповідність між множиною A і якоюсь підмножиною множини B. Символ же функції є лише іменем алгоритму, що дозволяє кожному x ( A знайти відповідне значення y ( B. Часто це може бути формула, наприклад,

,

яка говорить: для того, щоб знайти значення функції, що відповідає x ( A треба додати до х одиницю і результат розділити на 2. Але не виключені і сюрпризи. Таким сюрпризом для вас буде добре знайомий синус. Щоб знайти значення sin x, треба обрахувати суму декількох членів нескінченого ряду

і чим більше членів візьмемо, тим точніше буде значення.

Що стосується інших методів представлення функцій, то вони ті ж самі, що і для бінарних відношень: діаграми, таблиці, графи, графіки, формули. Працюючи з нескінченими множинами можна використовувати лише два останні методи.

Nota 2. Елементи області визначення аплікації не обов’язково є числа, це можуть бути будь які об’єкти, наприклад вектори, матриці, множини або навіть самі функції.

Приклад 1. Нехай вектор в просторі R³. Модуль вектора

є аплікація R³ в R⁺₀ . Кожен елемент області визначення є множина трьох дійсних чисел – координат вектора. Така аплікація може бути названа функцією трьох змінних.

Приклад 2.

є аплікація множини всіх інтегрованих на сегменті [0, 1] функцій в R. Така аплікація називається функціоналом.

Nota 3. Не тільки область визначення аплікації може бути множиною будь яких об’єктів, таким же може бути і множина значень (образів). Особливий інтерес представляє випадок коли образи елементів множини А теж є множини.

Приклад 3.

Нехай G є множиною всіх людей і R = {(p, f) ( (G G: f є сином або дочкою p }.

Є чи ні R аплікація G в G? Відповідь є негативна, тому що не кожна людина має дітей, отже, не виконується перша вимога означення аплікації. Якщо ми модифікуємо проблему позначивши через P ( G множину всіх батьків,

R = {(p, f) ( (P G: f e filho de p}

також не буде аплікацією, цього разу не виконується друга вимога означення – батьки можуть мати декількох дітей.

Нарешті, модифікуємо проблему наступним чином. Нехай

R = {(p, f) ( (P P(G): f є множина всіх дітей p},

де P, як і раніше, множина всіх батьків, а P(G) є множина всіх підмножин G. Елементом останньої множини може бути населення всієї країни, група студентів і т. п. Серед них і множина дітей одних батьків. В цьому випадку R є аплікація.

В інформатиці значеннями функції можуть бути дані будь якого типу, в тому числі і власного типу програміста – записи. Процедуру можна вважати частковим випадком функції, коли область значень є пуста множина. В мові програмування C++ якраз і реалізована ця ідея. В ній немає процедур, існують лише функції. А функції, що не повертають ніякого значення, позначаються символом void(пусто). Це службове слово і вказує на те, що цій функції в других мовах програмування відповідає процедура.

Символіка, що використовується в мовах програмування для позначення функцій, не завжди співпадає з математичною символікою і до цього треба буде призвичаїтися.