9.2. Множина потенція

В прикладі 3 ми вжили поняття множини всіх підмножин даної множини А. Така множина називається потужністю множини А і позначається Р(А). Наприклад,

A = { x, y, z }. P(A) = {(, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}

Порівняємо число елементів множин А і Р(А). Ї відповідно 3 і 8. Цікаво, що 8 = 2³ . Випадково це чи ні? Розглянемо це питання більш детально.

Означення. Нехай А деяка скінчена множина. Число елементів цієї множини називається її кардинальним числом. Кардинальне число множини А позначається як #A.

Небайдужий студент може заперечити, що немає ніякої потреби вживати різні терміни для одного й того ж поняття, це тільки приводить до зайвої плутанини. Ситуація проясниться лише набагато пізніше, коли в математиці будуть розглядати нескінчені множини. Для таких множин поняття числа елементів не існує, але кардинальні числа існують. Тільки розуміють під ними дещо інше, ніж для скінчених множин. Але навіть для скінчених множин це поняття, в першу чергу символ кардинального числа #A, є дуже зручним, що ми й покажемо зараз. Отже, в попередньому прикладі

#A = 3, #P(A) = 8, тобто

Цікаво, це випадковий збіг обставин, чи загальне правило? Міркуємо наступним чином. Кожна підмножина є комбінація к елементів (k = 0, 1, 2, …, ) з n елементів множини А. Число таких комбінацій обчислюється по формулі

,

яку, можливо, ви знаєте – в противному разі доведемо пізніше. З другої сторони, по формулі бінома Ньютона (хто не знає – не хвилюйтесь, доведемо)

Підставляючи сюди a = b = 1 одержимо

Якщо тепер ретельно звести в одне ціле попереднє міркування, з нього і буде слідувати формула

Приклад 4.

Нехай A = R , B = P( R ) і f: А ( В визначена як f(x) = {y ( R: y² < x}. Знайти f(2).

Перш за все звертаємо вашу увагу ще на одну символіку, вживану для позначення аплікації, треба звикати до цієї різноманітності позначень в різних математичних дисциплінах. Щоб краще зрозуміти природу даної функції розглянемо параболу х = у². Координати точок, що знаходяться всередині параболи, задовольняють умові

y² < x

Y

(2

X

O 2

- (2

Fig. 1

і для будь якого не від’ємного x визначають інтервал (-(x, (x). Значить,

f(2) = (-(2, (2).

Зверніть увагу, значеннями функції є не числа, а множини. Функція визначена і при x < 0. Цим значенням відповідають пусті множини, наприклад f(-2) = (.

9.3. Ін’єктивні аплікації

В аплікації цього типу різним об’єктам відповідають різні образи. Іншими словами, для будь якого y ( B рівняння

має не більше одного розв’язку.

Приклад 1.

Нехай A = R\{-1} і f: A (R визначена як Довести, що f є інєкція.

Доведення.

Нехай a₁ ( a₂ , a₁(A, a₂ (A.

Приклад 2. Перевірити, чи f: A(B визначена як f(a) = a² + 1, A = Z, B = N є ін’єкція.

Розглянемо рівняння y = a² + 1. Для будь якого y ( N це рівняння в Z має два корені, а саме

для y = 5, 10, 17, etc. Це вступає в протиріччя з означенням ін’єкції. Однак, досить взяти А = N⁰, щоб аплікація стала ін’єкцією.