2. Группировочный статистический ряд.

Этот ряд даёт представление о том, как распределены результаты измерений между максимальным и минимальным значением. Для того чтобы дать строгое определение группированного статистического ряда, рассмотрим его построение.

Пусть N – число элементов выборки, x0– минимальный элемент выборки, xN – максимальный элемент выборки. Разобьем отрезок [x0, xN ] на n равных частей, где

n =1+3.31 lg N (формула Старджесса)

Таким образом, получим набор непересекающихся промежутков

Δ1 = [x0, x1), Δ2 = [x1, x2), …, Δn -1 = [ xn -2, xn - 1), Δn = [ xn - 1, xN]

Длина каждого промежутка (шаг) Δk = [ xk-1, xk ), где k = 1, 2, …, n, вычисляется по формуле

Найдём число элементов выборки, попадающих в каждый из промежутков. Пусть mk – число элементов выборки, попавших в промежуток Δk. Это число также называют абсолютной частотой попадания в промежуток Δk.

Группировочный статистический ряд характеризуется также:

относительной частотой – отношение числа элементов выборки, попавших в промежуток Δk к общему числу элементов, т.е. mk / N

Совокупность промежутков и соответствующих им частот (абсолютных и относительных) называют группированным статистическим рядом. Обычно сами промежутки заменяют их серединами, которые вычисляются по формуле , а в качестве частот берут приведённые частоты.

Графическое представление группированного статистического ряда.

Существует несколько способов графического изображения рядов (гистограмма, полигон, кумулята), выбор которых зависит от цели исследования и от вида вариационного ряда.

Гистограмма служит только для представления интервальных вариационных рядов и имеет вид ступенчатой фигуры из прямоугольников с основаниями, равными длине интервалов Δ, и высотами, равными mk абсолютным частотам.

Полигон представляет собой ломаную, соединяющую точки плоскости с координатами: первая - середина промежутка, вторая – абсолютным частотам mk или относительная частота mk / N

Эмпирическая функция распределения

Полигон частот иногда называют эмпирической функцией плотности вероятностиРис.1. Эмпирическая функция плотности вероятности, а функцию плотности, которая в действительности соответствует нашему процессу и которую мы оцениваем f(x) – генеральной функцией плотности вероятности.

Смысл этой функции заключён в следующем :площадь фигуры, ограниченной графиком функции плотности вероятности f(x), снизу осью абсцисс Ох, слева – прямой x=a, справа прямой x=b равна вероятности P того, что измеряемая величина, значения которой мы получаем в ходе эксперимента, примет значения от a до b:

Функцию F(x) называется генеральной функцией распределения, а кривая, ее оценивающая и получающаяся из выборки, называется эмпирической функцией распределения. Для построения эмпирической функции распределения нужно вычислить накопленные частоты для каждого промежутка группированного статистического ряда wx:

Пусть х некоторое число. Тогда количество вариант mk значения которых меньше х, называется накопленной частотой, т.е.

Для первого промежутка эта частота равна 0, для для второго - относительной частоте попадания в первый промежуток, для третьего– сумме относительных частот попадания в первый и второй промежутки, для четвертый – сумме относительных частот попадания в первый, второй и третий промежутки и т.д. Кумулянта есть графическое изображение вариационного ряда, когда на вертикальной оси откладываются накопленные частоты или частности, а на горизонтальной - значения признака или середину промежутка. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений N называется относительной накопленной частотой или накопленной частостью wk / N.Ломанная, соединяющая точки, первая координата которых – середина промежутка, а вторая равна относительной накопленной частоте и будет эмпирической функцией распределения.