- •Лекція 9 Евклідові простори
- •§1. Основні поняття
- •А) Скалярний добуток
- •Б) Ортонормований базис
- •В) Скалярний добуток в координатах
- •§2. Лінійні перетворення в евклідовому просторі
- •Властивості:
- •Властивості:
- •Властивості:
- •Лекція 10 Білінійні і квадратичні функції (форми)
- •§1. Лінійна функція (форма)
- •§2. Поняття білінійної та квадратичної функції
- •§3. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
- •§4. Закон інерції квадратичних форм
- •§5. Класифікація квадратичних форм
- •§6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
- •§7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
- •Виконаємо лінійне перетворення
§6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
Теорема. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису є ортогональною.
Доведення. Нехай e1, e2,…, en та e1’, e2’,…, en’ - два ортонормовані базиси в евклідовому просторі V і С– матриця переходу. Тоді
Розглянемо лінійне перетворення С з матрицею С в базисі e1, e2,…, en. Отримаємо
Але лінійне перетворення С , яке переводить ортонормований базис в ортонормований, є ортогональним (див. розділ 9, §2,в). Отже, С – ортогональна матриця.▲
Нехай тепер в евклідовому просторі V вибраний ортонормований базис e1, e2,…, en і нехай дана білінійна функція А(х, у), яка в цьому базисі подається білінійною формою
А(х, у)
де . Розглянемо лінійне перетворенняА з тією ж матрицею А в тому ж базисі e1, e2,…, en. При переході до нового базису e1’,e2’,…,en’ з матрицею переходу С матриця А білінійної форми перейде в
В=,
a матриця лінійного перетворення А перейде в , тобто взагалі ці матриці перетворюються неоднаково. Однак, якщо новий базисe1’, e2’,…, en’ - теж ортонормований, то матриця переходу С ортогональна, і . В цьому випадку матриця білінійної форми А(х, у) і матриця лінійного перетворення А змінюється однаково. Таким чином, в евклідовому просторі кожній білінійній функції відповідає цілком визначене лінійне перетворення (яке має ту саму матрицю в довільному ортонормованому базисі).
Якщо А(х, у) – симетрична білінійна функція, то відповідне лінійне перетворення А буде самоспряженим. Але матриця самоспряженого перетворення в деякому ортонормованому базисі має діагональний вигляд:
.
В цьому ж базисі білінійна форма А(х, у) зведеться до вигляду
,
а відповідна квадратична форма А(х, х) зведеться до суми квадратів:
,
тут – власні значення лінійного перетворенняА.
Приклад. З допомогою ортогонального перетворення звести квадратичну форму в евклідовому просторі до суми квадратів.
Розв’язання.Запишемо характеристичний многочлен матриці цієї форми .
Його корені: .
В новому базисі (який складається із власних векторів, що відповідають власним значення і)
А(х, х) =.
Спосіб відшукання власного базису вже розглядався.
§7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
Одним із важливих і цікавих застосувань теорії квадратичних форм є задача спрощення рівняння кривих і поверхонь другого порядку. По суті, ця задача належить до числа тих, які і визначили постановку основних питань теорії квадратичних форм.
Для прикладу коротко розглянемо зведення до канонічного вигляду загального рівняння поверхні другого порядку у тривимірному просторі:
. (1)
Розглянемо спочатку суму членів другого степеня в лівій частині рівняння. Легко помітити, що це є квадратична форма з симетричною матрицею
A = .
Відомо, що існує ортогональне перетворення простору з матрицею С, яке переводить дану квадратичну форму до суми квадратів
,
де – характеристичні корені матриці А, - прообрази вектора при цьому перетворенні.
Після цього ортогонального перетворення рівняння (1) матиме вигляд
. (2)
Принаймні одне із чисел відмінне від нуля, бо інакше матриця
була б нульовою, і задане рівняння (1) було б лінійним. Припустимо, що . Тоді можна позбутися члена зу рівнянні (2) за допомогою наступного перетворення координат:
(*)
Дійсно, підставивши ці вирази до (2), отримаємо рівняння
. (3)
Якщо також і, то, двічі виконуючи перетворення, аналогічні останньому, отримаємо рівняння вигляду
. (4)
Рівняння (4) називається канонічним рівнянням центральної поверхні другого порядку. Тип поверхні та її властивості залежать від значення коефіцієнтів.
Якщо =0, то маємо рівняння конуса
,
який у випадку вироджується в точку.
При рівнянню (4) можна надати форму
,
де . Ясно, що.
Якщо всі коефіцієнти – додатні, то поверхню називають еліпсоїдом, якщо два додатні –однопорожнинним гіперболоїдом, якщо один додатний - двопорожнинним гіперболоїдом.
Отже, у випадку, коли всі характеристичні корені матриці відмінні від нуля (або ранг квадратичної форми рівний 3), завжди можна звести загальне рівняння (1) до канонічного рівняння (4) центральної поверхні другого порядку.
До такої ж форми можна звести рівняння (1) в окремих випадках і тоді, коли один чи два характеристичні корені матриці дорівнюють нулю. Так, рівняння (3) прийме форму (4), якщо одночасно звиявиться, а одночасно збуде. В цих“вироджених” випадках дістаємо рівняння циліндричних поверхонь.
Отже, в зазначених випадках отримуються рівняння вигляду (3), в якому число квадратів рівне рангу матриці . Відповідні поверхні називаютьцентральними в зв’язку з тим, що для них існує центр симетрії. Справді, рівняння (3) не змінюється при перетворенні симетрії відносно точки .
Залишається розглянути випадки, коли одне з чисел або обидва дорівнюють нулю, а відповідні коефіцієнтивідмінні від нуля.
Нехай спочатку . Тоді рівняння (3) можна звести перетворенням типу (*) до вигляду:
.
Далі, виконаємо перетворення
і отримаємо рівняння
, (5)
або ,.
Це рівняння еліптичного (при чигіперболічного (при )параболоїда. Подібний результат дістаємо при .
Нехай, нарешті, , але хоч одне з чиселвідмінне від нуля. Рівняння (3) набуде вигляду:
.