Лекція 3

Загальна афінна та прямокутна декартова системи координат. Координати точки. Поділ відрізка у даному відношенні.

План.

1. Поняття загальної афінної системи координат. Координати точки.

2. Прямокутна декартова системи координат. Відстань між двома точками.

3. Поділ відрізка у даному відношенні.

4. Теорема Чеви.

5. Приклади.

1. Розглянемо на площині деяку точку та відкладемо від неї векторидовільного базису. Тепер для довільної точкиплощини можна побудувати вектор(так званийрадіус-вектор точки ), який розкладається за базисними векторами. Нехай.

Трійку елементів називаютьзагальною афінною системою координат. Точку називаютьпочатком координат.

П

рямі, які проходять через початок координат паралельно до векторівта, називають координатними осями – осями абсцис та ординат відповідно. На даних осях (їх часто позначають та) за допомогою стрілки вказують додатній напрям, який відповідає напрямку відповідного базисного вектора, а також відмічають одиницями кінці базисних векторів. Таким чином, довжини базисних векторів стають одиницями вимірювання на кожній із осей (рис.1). Після таких позначень базисні вектори на системі координат не зображають.

Числа тау розкладі вектораназиваютькоординатами точки (відповідноабсцисою та ординатою) і записують .

Розклад єдиний, оскільки координати вектора відносно зафіксованого базису визначаються однозначно. Тому координати кожної точки відносно вибраної системи координат теж визначаються єдиним способом.

Аналогічно, як і у випадку площини, вводиться поняття загальної афінної системи координат в тримірному просторі. Для цього довільно вибирають точку (початок координат) та через неї проводять три прямі (координатні осі), які паралельні векторам деякого базису. На даних осях (їх часто позначають,та називають осямиабсцис, ординат та аплікат відповідно) стрілками вказують додатні напрямки, які відповідають напрямкам відповідних базисних векторів, а також відмічають одиницями кінці базисних векторів. Одержуємо загальну афінну систему координат в тримірному просторі (рис.2). Тепер для довільної точкипростору, побудувавши її радіус - векторта розклавши його за базисними векторами, дістаємо. Зауважимо, що даний розклад єдиний.

Числа таназивають координатами точки(абсцисою, ординатою та аплікатою відповідно) та записують .

2. Якщо базис ортонормований, то систему координат, яка визначається точкою (початком координат) та базисом називаютьпрямокутною декартовою системою координат у просторі. Нехай у такій системі задані дві точки та. Знайдемо співвідношення, яке виражає відстань між цими точками. Оскільки координати точок співпадають з координатами їхніх радіус-векторів, то,, тому. Знайшовши довжину вектора, яка дорівнює довжині відрізка, дістаємоформулу відстані між двома точками:

.

У випадку площини, коли система координат визначається точкою (початком координат) та базисом , її називають прямокутною декартовою системою координат на площині. Оскільки в цьому випадку точки та вектори визначаються двома координатами:,, то формула відстані між двома точками набуває виду

.

3. Нехай на прямій вибрана точка, яка ділить відрізоку деякому відомому відношенні. Розглянемо задачу, як, знаючи координати заданих точок та число, обчислити координати точки.

Означення. Говорять, що точка ділить відрізоку відношенні , якщо виконується рівність

. (1)

Відмітимо, що точкане обов’язково повинна належати відрізку, а може лежати на прямійі поза ним. Очевидно, що якщо точкалежить всередині відрізка, тоі число>0. Якщо точка лежить поза відрізком, то, тому<0. Оскільки , то приі точкалежить на прямійпоза точкою. При, тому точкалежить на прямійпоза точкою. Приточкає серединою відрізка. Приточкитаспівпадають. Випадокнеможливий, оскільки тоді з рівності (1) випливає, що кінці відрізка співпадають.

Нехай задані точки таа також відношення, в якому точкаділить відрізок. Вважатимемо, що точкає початком координат (рис. 3). Тоді вектори,тамають такі ж координати, як точки, тому, скориставшись рівністю (1), дістаємо, звідки

.

Прирівнюючи відповідні координати векторів в обох частинах одержаної рівності, дістаємо . Остаточно,

, ,. (2)

Одержані співвідношення називають формулами поділу відрізка у даному відношенні. Нагадаємо, що при точкає серединою відрізка. Тому рівності

, ,.

задають координати середини відрізка . Зауважимо, що рівності (2) стосуються довільної афінної системи координат, а також, що у двомірному випадку (тобто у випадку, коли точки та вектори задаються двома координатами) в одержаних рівностях просто не розглядають вирази, які містять змінну.

Знайдемо координати точки перетину медіан трикутника, вершини якого знаходяться в точках . Нехай– середина відрізка,- шукана точка. Оскільки,, то, скориставшись рівностями (2) при(у такому відношенні, рахуючи від вершини трикутника, ділить медіани точка їх перетину), дістаємо

, ,,

тобто координати центра маси трикутника рівні середнім арифметичним відповідних координат вершин трикутника.

4. Розглянемо довільний трикутник та візьмемо на його сторонахтаточкивідповідно. Нехай. Вірне наступне твердження.

Теорема (теорема Чеви). Відрізки таперетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли виконується рівність.

Д

Рис. 4

оведення. Введемо в розгляд афінну систему координат, вибравши за початок координат точку А та базис (рис. 4). У цій системі точки матимуть наступні координати:,,. Нехай відрізкитаперетинаються у точці. Тоді із колінеарності векторівта, а також векторівтадістаємо систему, звідки. Якщо відрізокпроходить через точку, то із колінеарності векторівта, дістаємо, звідки.

Із одержаних співвідношень також випливає те, що якщо , то векторитаколінеарні, тобто, що відрізокпроходить через точкуперетину двох інших відрізків.

Теорема доведена.

5. Наведемо приклади розв’язання деяких задач.

Задача 1. Задано прямокутник . Довести, що для довільної точкивиконується рівність.

Доведення. Введемо прямокутну систему координат наступним чином: точку виберемо початком координат, пряму- віссю, а пряму- віссю. Нехай. Тепер кожна точка матиме свої координати:,. Скориставшись формулою відстані між двома точками, дістаємо

, ,

що і доводить потрібну рівність.

Задача 2. У трикутній піраміді вершини сполучено з центрами протилежних граней. Довести, що утворені відрізки перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні 3:1, рахуючи від вершини.

Розв’язання. По-перше, зауважимо, що дану задачу ми уже розглядали в лекції 2 та розв’язали її векторним методом. Зараз ми скористаємось координатним методом. Введемо в розгляд загальну афінну систему координат, вибравши точку початкомкоординат та взявши базис . Тоді вершини піраміди матимуть наступні координати:. Нехай точкита- точки перетину медіан трикутниківтавідповідно. Використавши результати пункту 4, знаходимо координати точокта:. Нехай точкиділять відрізкитау відношенні 3:1, рахуючи від точоктавідповідно. Скориставшись формулами поділу відрізка у даному відношенні при, дістаємо,. Оскільки точкитаспівпадають, то твердження доведено.