Лекція 6

Зв'язок між координатами точки в різних системах координат. Поняття порядку лінії та поверхні.

План.

1. Зв'язок між координатами точки в різних системах координат на площині.

2. Зв'язок між координатами точки в різних системах координат у тривимірному просторі.

3. Поняття порядку лінії.

4. Поняття порядку поверхні.

5. Приклади.

1

Рис. 1

. Розглянемо на площині дві довільні системи координат, перша з яких задається точкою та базисом , а друга – точкоюта базисом. Нехай деяка точкав першій системі має координатита, а у другій -та.Знайдемо зв'язок між числамита. При цьому будемо вважати, що точка має координати , а також відомі розклади векторівчерез базис:. Коефіцієнтибіля базисних векторів утворюють матрицю, яку називаютьматрицею переходу від базису до базису. Зауважимо, що дана матриця невироджена, тобто її визначник не дорівнює нулю. Справді, якщо, то виконувалася б рівність, звідки випливає пропорційність координат векторівта. А це суперечить тому, що векториталінійно незалежні. Із векторної рівності(рис. 1) дістаємо

,

звідки після прирівнювання коефіцієнтів біля базисних векторів випливає, що

(1)

Одержані співвідношення виражають зв'язок між координатами точки в різних системах координат.

При із формул (1) дістаємо

Це так звані формули паралельного перенесення. За цими співвідношеннями змінюються координати точки при переміщенні системи координат, яке не змінює напрямку координатних осей (рис. 2).

Розглянемо випадок прямокутної декартової системи координат. Вважатимемо також, що точки таспівпадають. Позначимо кут між векторамитачерез. Тоді, очевидно,

.

30