Найдем функцию распределения случайной величины Х .

x		1			x		( x a)2
F(x) f (x)dx					e		2 2
			2

dx

Сделаем замену переменной:

x a

t

x t a

dx dt

x a

t 2

x a

t 2

1

e

2 dt

e

2 dt

2

2

Последний интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию (так называемый интеграл вероятностей):

		1		x	t2
Ф* (x)				e	2 dt
		2

Эта функция представляет собой функцию распределения нормальной случайной величины с параметрами a=0, σ=1.

Функция Ф*(х) называется нормальной функцией распределения.

Ее значения приведены в таблицах.

Но большее распространение имеет функция Лапласа

	Ф(x)			1						x	t2
										0 e 2 dt
					2
Так как				1				0			t 2
	Ф* (0)							e			2 dt 1
				2							2

То	Ф(x) Ф* (x)	1
		2

		a			a
p( x ) Ф			Ф

Значения функции Лапласа также находятся по таблице.

Функция Лапласа является нечетной. Ее график имеет вид:

1	Ф(x)
2

12

x

Моменты нормального распределения

•Выведем общие формулы для центральных моментов любого порядка. По определению

•Делая замену переменной

получим:

(1)

Моменты нормального распределения

•Применяя формулу интегрирования по частям, получим

•Из формулы (1) имеем следующее выражение для

•Сравнивая правые части вышеприведенных формул,

можем записать

Моменты нормального распределения

•Для чётных s из этой формулы вытекают следующие выражения для последовательных моментов

•Для асимметрии и эксцесса для нормального закона имеем

Пусть Х - нормально распределенная

случайная величина с параметрами

a, σ. Тогда

p(a 3 X a 3 ) 1

Действительно,

a 3 a
p(a 3 X a 3 ) Ф

a 3 a			Ф 3 Ф 3
Ф

Ф 3 Ф 3 2Ф 3 2 0.498 1