Событие А называется |
независимым от события |
В, если вероятность |
события А не зависит от |
того, произошло событие В |
или нет. |
В противоположном случае события |
А и В будут называться |
зависимыми. |
В урне находятся 2 белых и один черный шар. Пусть событие А - вынуть из урны белый шар, и
событие В - тоже вынуть белый Пока не произойдет событие В,
шар.
вероятность события А будет равна Р(А)=2/3.
Если событие В уже случилось, то Р(А)=1/2.
События А и В будут зависимыми.
Вероятность события А, вычисленная пр условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А:
Р(А/В).
В примере:
Р(А)=2/3; Р(А/В)=1/2.
Если события независимы, то Р(А)=Р(А/В).
Вероятность произведения двух событий |
А и В равна произведению вероятности |
одного из этих событий на условную |
вероятность другого, вычисленную |
при условии, что первое событие |
имело место: |
P(AB)=P(A)P(B|A) |
Пусть все возможные исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В - k случаев.
Так как мы не предполагали, что события А и В несовместны, то существуют случаи, благоприятные
событиям А и В вместе (l случаев).
n
m l k
Тогда P( AB) nl ; P( A) mn
Вычислим условную вероятность события В: Р(В/А).
Известно, что если событие А произошло, то из ранее возможных n случаев, остаются только те m случаев, которые благоприятны
событию А. Из них событию В будут |
||||||
|
l |
|
l |
|
l |
m |
благоприятны l случаев. |
|
|||||
Р(В / А) |
|
|
|
|
|
n |
m |
n |
m |
||||
Получили тождество.
Следствие 1. |
Если событие А не зависит от события |
то и событие В не зависит от события |
Следствие 2. |
Вероятность произведения двух |
независимых событий равна |
произведению вероятностей этих событи |
Р(АВ)=Р(А)Р(В) |
Тогда теорему об умножении вероятностей можно обобщить на случай n независимых событий:
n |
n |
P(П Ai ) П P( Ai ) |
|
i 1 |
i 1 |
Студент сдает в сессию три экзамена. |
Вероятность воспользоваться шпаргалко |
на первом, втором и третьем |
экзамене равна соответственно, |
0.4, 0.5, 0.7. Найти вероятность того, |
что на всех экзаменах студенту |
удастся списать. |