матан.1курс.2сем.экз

1. Перечислите все геометрические образы уравнение второй степени с двумя неизвестными

Если ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ матрицы 2х2 РАВЕН НУЛЮ, то это ПАРАБОЛА. Параболического типа: парабола, пара параллельных прямых, одна прямая, пустое множество

Если ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ матрицы 2х2 БОЛЬШЕ НУЛЯ, то это ЭЛЛИПС.

Эллиптического типа: эллипс, окружность, точка, пустое множество

Если ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ матрицы 2х2 МЕНЬШЕ НУЛЯ, то это ГИПЕРБОЛА.

Гиперболический тип: гипербола, пара пересекающихся прямых

Матрица квадратичная форма

|А11 А12| det(Q)= A11*A22 – A12*A21=

|А21 А22| <0 гипербола=0 парабола >0 эллипс

2. 

3. Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел  в некоторое множество  : 

Примеры числовых последовательностей: а) неограниченная, не имеющая предела n*(-1)ⁿ

б) неограниченная с пределом 1/n

в) ограниченная, не имеющая предела (-1) ⁿ

г) Бесконечно малая (большая) последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю (бесконечности).

Если у последовательности  существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при ). В противном случае –расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Необходимый признак сходимости последовательности: сходящаяся последовательность ограничена.

4. Признак Даламбера

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если p<1, а если p>1 — расходится.

Замечание. Если p=1, то признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

5. Предельная точка множества - это точка в любой окрестности (маленькой и большой), в которой есть еще одна точка этого множества.

Граничная точка - в окрестности этой точки есть еще одна точка, как из множества, так и вне его.

6. Сформулируйте определение компактного множества в Rⁿ

Компактное множество в Rⁿ - это множество, каждая бесконечная последовательность элементов (точек) которого имеет хотя бы одну предельную точку. (1;2)

Любые замкнутые и ограниченные множества в Rⁿ компактны.

Открытое множество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. (отрезок без границ (1;2) )

7. Как связаны между собой линии уровня и график функции двух переменных?

Линия уровня t - линия образованная пересечением графика z=f(x,y) и плоскостью z=t

Определяется уравнением: f(x,y) =t

Как выглядят линии уровня линейной функции двух переменных?

Ответ: прямая или точка.

8. Сформулировать определение непрерывности функции в точке

На множестве:

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.