8.3. Приближенная нелинейная теория резонансных генераторов

8.3.1. Основные допущения, рабочие уравнения

Приближенная нелинейная теория является достаточно общей и применима практически к любым монотронным генераторам с длительным взаимодействием электронов с высокочастотным полем [35–39].

Рассмотрим режим стационарной нелинейной генерации электромагнитного сигнала в системе, представляющей собой распределенный резонатор, пронизываемый электронным пучком.

Ограничимся построением кинематической теории, пренебрегая влиянием сил пространственного заряда на процессы группирования электронного потока и его взаимодействия с ВЧ полем.

Будем, как и ранее, предполагать, что собственное колебание в анализируемой системе имеет вид стоячей волны между двумя отражающими элементами, расположенными на расстоянии L друг от друга.

Для определения амплитуды стационарных колебаний в генераторе на основе распределенного резонатора воспользуемся соотношением, выражающим баланс активных мощностей в произвольной точке вдоль длины пространства взаимодействия

; (8.66)

, (8.67)

гдеР_пот– определяется соотношением (8.22), т. е. активная составляющая мощности, отдаваемой электронным пучком ВЧ полю, частично идет на покрытие омических потерь в стенках резонатора, а частично – в нагрузку.

Считая добротность резонансной замедляющей системы достаточно высокой, для определения генерируемой частоты воспользуемся соотношением, которое получается из баланса реактивных мощностей

; (8.68)

, (8.69)

где _г =_г –₀;₀ – собственная частота распределенного резонатора без электронного потока;_г– частота генерируемых колебаний;Q– нагруженная добротность распределенного резонатора;i– амплитуда гармоники тока пучка на частоте_г.

Таким образом, в уравнениях (8.66) и (8.68), служащих для определения энергетических и частотных характеристик прибора, неизвестными являются лишь активная Р_еа и реактивная P_er составляющие мощности взаимодействия электронного пучка с ВЧ полем.

8.3.2. Расчет электронной мощности взаимодействия электронного потока с СВЧ электромагнитным полем

Величина сгруппированного в плоскостиzтокаiможет быть определена из закона сохранения заряда

(8.70)

гдеi(0,t₁) – ток на входе в пространство взаимодействия;t₁ – время влета электронов в пространство взаимодействия.

Таким образом, задача об определении сгруппированного тока сводится к интегрированию уравнения движения

, (8.71)

определению времени пролета электронов (t–t₁) и последующему вычислению производнойdt₁/dt(еиm– заряд и масса электрона соответственно).

Зная ток и поле, можно найти активную (8.67) и реактивную (8.69) составляющие электронной мощности взаимодействия, а затем с помощью (8.66) и (8.68) определить амплитуду стационарных колебаний и частоту генерации в системе. Решение будем искать методом последовательных приближений, задавая в качестве нулевого приближения поле невозмущенной попутной с электронным потоком волны.

Уравнение движения в этом приближении имеет вид

. (8.72)

В качестве исходного варианта выбираем невозмущенное движение электроновz=v₀(t –t₁). Тогда

, (8.73)

где ,,.

Интегрируя уравнение (8.73) при начальных условиях

, (8.74)

и вводя обозначения,,,, в первом приближении получим

. (8.75)

Подставляя найденное значение zв уравнение (8.72), интегрируя его при тех же начальных условиях (8.74) и ограничиваясь членами порядка³, получим следующее уравнение:

(8.76)

Решение этого трансцендентного относительно Ф уравнения будем искать в виде ряда по степеням

(8.77)

После соответствующих преобразований легко найти Ф, производную dt₁/dtи, наконец, сгруппированный ток пучка, который запишется в виде

(8.78)

Выражение для поля, стоящее в правой части уравнения (8.72), преобразуем, подставляя найденное значение Ф из (8.75) и раскладывая поле в ряд по степеням. Тогда

, (8.79)

где .

Вычисляя далее интегралы в правых частях (8.67) и (8.69), получим следующие выражения для активной и реактивной составляющих электронной мощности взаимодействия:

; (8.80)

, (8.81)

где ;

;

;

;

;

Графики функцийf_a1,f_a2,f_r1,f_r2в зависимости от Ф₀приведены на рис. 8.8.

Рис. 8.8. Графики функций:1 – f_a1(Ф₀)100; 2 – f_a2(Ф₀)10000; 3 – f_r1(Ф₀)100000; 4 – f_r2,(Ф₀)100

Если определить электронный КПД прибора из соотношения

, (8.82)

гдеI₀ – полный постоянный ток на входе в пространство взаимодействия;U₀ – постоянное, ускоряющее электроны напряжение, то, используя (8.80), имеем

. (8.83)

При малых значениях КПД с хорошей точностью определяется первым членом в (8.83). При больших значенияхвторой член в (8.83) может стать сравнимым с первым. Из графиковf_a1иf_a2видно, что когдаf_a1< 0, то в этой же области изменения Ф₀функцияf_a2> 0. Следовательно, существует максимальное значение_эл =_{эл макс}, которое достигается при некотором оптимальном значении

, (8.84)

являющимся решением уравнения d_элd= 0.

Подставляя (8.84) в (8.83), имеем

. (8.85)

Поделив левую и правую части соотношения (8.85) на величину, получим

, (8.86)

где = 2CN.

8.3.3. Расчет амплитуды стационарных колебаний выходной мощности и КПД резонансного генератора

Подставляя в уравнение баланса активных мощностей (8.66) значенияР_потиР_еа из (8.80), найдём амплитуду стационарных колебаний в следующем виде:

. (8.87)

Подставив (8.87) в выражение для мощности, идущей в нагрузку и поделив правую и левую части получившегося соотношения на величинуС, приходим к следующему выражению для электронного КПД:

. (8.88)

Решая уравнение _эл0, находим оптимальный коэффициент отражения

, (8.89)

при котором достигается максимальное значение КПД, определяемое следующим выражением:

. (8.90)

Для удобства дальнейшего анализа предположим сначала, что потери в замедляющей системе отсутствуют. Тогда (8.88) и (8.89) переходят соответственно в выражения

; (8.91)

. (8.92)

При этом_{эл.макс}/Сопределяется соотношением (8.86). Зависимость оптимального коэффициента отражения от Ф₀приведена на рис. 8.9.

На рис. 8.10 представлена зависимость_эл/Сот Ф₀для нескольких значенийи Г.

Обращает на себя внимание ассиметрия областей колебания резонансного генератора, подобная наблюдаемой в отражательном клистроне. Зависимость КПД от коэффициента отражения Г для разныхприведена на рис. 8.11.

Рис. 8.9. Графики зависимости максимального КПД от Ф₀ для различных величин  = 2CN

Рис. 8.10. Графики зависимости КПД от Ф₀ для случая нулевых потерь при различных значениях Г. Сплошные кривые соответствуют  = 1, пунктирные соответствуют  = 1,5

Рис. 8.11. Графики зависимости КПД от коэффициента отражения Г для различных  при нулевых потерях

8.3.4. Расчет частотных характеристик генератора

Для нахождения диапазона электронной перестройки частоты, генерируемой генератором с распределенным резонатором в режиме стационарных колебаний, используя соотношения (8.68), (8.80) и (8.81), получим

. (8.93)

Подставляя в (8.93) выражение для амплитуды стационарных колебаний (8.87), будем иметь

.(8.95)

В случае оптимального коэффициента отражения (8.90) выражение (8.95) примет вид

. (8.96)

В отсутствие потерь выражения (8.95) и (8.96) становятся более простыми:

; (8.97)

. (8.98)

На рис. 8.12 и 8.13 представлены результаты расчетов нормированной частоты генерации для различных длин пространства взаимодействия и различных величин коэффициента отражения

Рис. 8.12. Зависимость диапазона электронной перестройки частоты генерации от Ф₀ для  = 1 (сплошные кривые) и  = 1,5 (пунктирные кривые) при разных коэффициентах отражения Г. Потери нулевые

Рис. 8.13. Зависимость диапазона электронной перестройки частоты генерации при оптимальном коэффициенте отражения (пунктирные кривые) и зависимость оптимального коэффициента отражения Г_опт (сплошные кривые) от Ф₀ для различных величин  . Потери нулевые

Графики зависимости генерируемой частоты от угла пролета электронов относительно волны Ф₀для разных величин распределенного затухания при оптимальном коэффициенте отражения представлены на рис. 8.14. Увеличение полосы электронной перестройки с ростом распределенного затухания объясняется уменьшением добротности замедляющей системы в виде распределенного резонатора. На рис. 8.14 представлены также графики зависимости оптимального коэффициента отражения от величины Ф₀при различных затуханиях в системе. Оптимальный коэффициент отражения увеличивается с ростом затухания, так как все большая часть передаваемой пучком высокочастотному полю энергии должна тратиться на покрытие омических потерь в колебательной системе и на поддержание колебаний.

Рис. 8.14. Зависимость диапазона электронной перестройки частоты генерации при оптимальном коэффициенте отражения (сплошные кривые) и зависимость оптимального коэффициента отражения Г_опт (пунктирные кривые) от Ф₀ для различных величин распределенного затухания

Таким образом, попытка совместить в одном электровакуумном устройстве высокую эффективность приборов с сосредоточенным взаимодействием и широкополосность приборов с длительным взаимодействием привела к созданию гибридных устройств, из которых наибольшее распространение получили клистроны с распределенным взаимодействием и генераторы на их основе.

Методы расчета гибридных электровакуумных СВЧ приборов базируются на развитых ранее физических и математических моделях работы «классических» ЭВП.

Сочетание в одной модели элементов расчетных методик, характерных для приборов с длительным и сосредоточенным взаимодействием, приводит к созданию своеобразной «гибридной» методики проектирования.

Такая методика позволяет определить параметры электродинамической системы, характеристики усиления, стартовые условия самовозбуждения, амплитудные и частотные характеристики сигнала, требования к электронному пучку и КПД прибора в целом.