Математика(шифр 03)
.docx№1 Решить дифференциальное уравнение первого порядка
Решение:
Ответ:
№2 Решить дифференциальное уравнение методом понижения порядка
Решение:
Сделаем замену
Подставим в исходное уравнение
Получили уравнение с разделяющимися переменными
Ответ:
№3 Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
Решение: 1)Выпишем характеристическое уравнение данного линейного уравнения:
Корнем данного уравнения является: .
Тогда:
Общее решение однородного уравнения:
2)Ищем частное решение уравнения по виду правой части: . Частное решение ищем в виде:
.
Подставим и и в исходное уравнение:
Итак, частное решение:
Общее решение данного неоднородного уравнения:
Ответ:
№4 4 Найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости
Решение: Составим положительный ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:
С общим членом . По признаку Даламбера полученный ряд сходится, если предел существует и удовлетворяет условию ,
Отсюда получим , что равносильно . Получили интервал сходимости .
Изучим поведение ряда на концах полученного интервала. На правом конце (x=-1)
получаем числовой ряд .
– сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2, тогда исходный ряд также сходится.
На левом конце интервала (x=-5) получается ряд: .
Применим признак Лейбница. Так как
, то первое условие признака Лейбница выполнено. Далее, т.к.
, то . Теперь выясним, сходится ли этот ряд абсолютно. Для этого исследуем сходимость ряда, составленного из абсолютных величин.
– сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2. Значит исходный ряд сходится абсолютно.
Ответ: .
№5 Разложить функцию в ряд Маклорена , определить область сходимости ряда.
Решение:
Воспользуемся тригонометрическим разложением
Воспользуемся известным разложением:
В разложении вместо x подставляем 4
Область сходимости: .
№6 Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования.
Решение: Переменная в области D изменяется в промежутке: , т.е. область D заключена между вертикальными прямыми: . Пределы интегрирования по переменной показывают, что снизу область D ограничена линией , а сверху - линией .
D2
D1
Теперь поменяем порядок интегрирования, приняв за внешнюю переменную не , а . Разобьем область D горизонтальной прямой на области D1 и D2 . Тогда
№7 Найти массу пластины, заданной неравенствами: если ее плотность .
Решение:
D
D1
D2
Массу M, рассматриваемой пластины будем находить по формуле:
Разобьем область D горизонтальной прямой на области D1 и D2 . Тогда
(
№8 Вычислить криволинейный интеграл по кривой
где отрезок , где
Решение:
Поскольку отрезок задается уравнением , то получим