Методы опримальных решений Трофимов

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Перечень вопросов и задач к экзамену по дисциплине

Теоретические вопросы:

1. Необходимое условие безусловного минимума 1-го порядка для функции одной переменной

2. Достаточное условие безусловного минимума 2-го порядка для функции одной переменной

3. Необходимое условие безусловного минимума 1-го порядка для функции нескольких переменных

4. Определение градиента функции нескольких переменных. Свойства градиента.

5. Задача линейного программирования (ЛП). Целевая функция и ограничения задачи ЛП. Множество допустимых решений. Оптимальное значение и оптимальное решение задачи ЛП.

6. Задача ЛП для модели оптимального распределения ресурсов.

7. Задача ЛП для модели оптимального распределения капитала.

8. Двойственная задача ЛП. Правило построения двойственной задачи ЛП. Теорема двойственности.

9. Теорема чувствительности оптимального значения задачи ЛП к возмущению правых частей ограничений.

10. Теорема чувствительности оптимального значения задачи ЛП к возмущению всех параметров задачи.

11. Теневые цены ресурсов. Связь между теневыми и рыночными ценами ресурсов. Характеристика товара с нулевой теневой ценой.

12. Формула численного дифференцирования для нахождения 1-ой производной функции одной переменной.

13. Формула численного дифференцирования для нахождения градиента функции нескольких переменных.

14. Геометрический способ решения задачи ЛП. Многогранник допустимых решений задачи ЛП. Линии уровня целевой функции.

15. Метод градиентного спуска с постоянным шагом для задач безусловной оптимизации функции нескольких переменных.

16. Формула массива в Excel. Их отличие от обычных функций Excel. Примеры формул массива для работы с матрицами.

17. Сервисная функция «Поиск решения» в Excel. Настройка параметров сервиса: выбор метода, не отрицательность переменных, получение теневых цен.

18. Создание и использование пользовательских функций Excel. Модули VBA.

19. Решение задачи о выборе срока депозита на условиях простой процентной ставки при наличии инфляции.

20. Решение квадратной системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера.

21. Классификация задач принятия оптимальных решений.

Задачи

1. Найти безусловный минимум функции двух переменных 2x₁²+2x₁x₂+x₂²-2x₁+3x_2. Проверить решение с помощью Excel.

2. Найти безусловный минимум функции двух переменных 2x₁²+x₁x₂+x₂²-2x₁+3. Проверить решение с помощью Excel.

3. Решить систему Ax = b линейных уравнений 4-го порядка методом обратной матрицы в Excel, где

A= [1 3 2 4; 2 -1 -3 -5; 2 1 3 -1; 3 2 1 0],

b = [2 1 4 -1]

Решить систему Ax = b линейных уравнений 4-го порядка методом Крамера в Excel

A= [1 3 2 4; 2 -1 -3 -5; 2 1 3 -1; 3 2 1 0],

b = [2 1 4 -1]

Выполнить матричные операции в Excel: |A|, A*B, A^-1 , (A*B)^T

A= [1 3 2; -1 -3 -5; 1 3 -1],

B= [1 2 4; 2 -1 -5; 0 3 -1; 3 1 0].

4. Найти производную функции f(x)=x³-x+cos(3x-2) в точке x₀=2. Проверить ответ с помощью численного дифференцирования в Excel, при этом принять шаг дифференцирования eps=0,0001.

5. Найти градиент функции f(x₁, x₂)=(x₁+x₂)/(x₁²+1)в точке x⁰=(1,1). Проверить ответ с помощью численного дифференцирования в Excel , при этом принять шаг дифференцирования eps=0,0001.

6. Цех производит 4 продукта, используя 3 ресурса. Запасы ресурсов b = (30, 20, 50). Технологическая матрица производства A = [3 5 4 2; 2 1 4 3; 6 1 4 3]. Найдите оптимальный план производства x, если цены на продукты равны c = [3 2 4 1]. Найдите оптимальный доход цеха. Найдите теневые цены ресурсов u_i , i=1,2,3. Определите, как изменится оптимальный доход, если объем запасов изменится на величину Δb = (1, -1, 0.5). Используйте сервисную функцию «Поиск решения» MS Excel.

7. Цех производит 5 продуктов, используя 3 ресурса. Запасы ресурсов b = (30, 20, 50). Технологическая матрица производства A = [3 5 4 2 2; 2 1 4 3 3; 6 1 4 3 1]. Найдите оптимальный план производства x, если цены на продукты равны c = [3 2 4 1 3]. Найдите оптимальный доход цеха. Найдите теневые цены ресурсов u_i , i=1,2,3. Определите, как изменится оптимальный доход, если объем запасов изменится на величину Δb = (1, -1, 0.5). Используйте сервисную функцию «Поиск решения» MS Excel.

8. Имеется рейтинговая функция f(x₁, x₂)=(x₁+x₂)/(x₁²+1), которую надо максимизировать, и начальная точка x⁰=(1,1). Используя метод наискорейшего спуска с постоянным шагом найти в малой окрестности точки x⁰ новую точку

x¹ = x⁰ +  * ∂f(x⁰). Параметр =0.1. Вектор ∂f(x⁰) является градиентом функции f в точке x^0.

9. Имеется рейтинговая функция f(x₁, x₂)=(x₁+x₂)/(x₁²+1), которую надо максимизировать, и начальная точка x⁰=(1, 2). Используя метод наискорейшего спуска с постоянным шагом найти в малой окрестности точки x⁰ новую точку x¹ = x⁰ +  * ∂f(x⁰). Параметр =0.1. Вектор ∂f(x⁰) является градиентом функции f в точке x^0.