ВЫЧ.МАТ. Лекции и задания / ИНТЕРПОЛЯЦИЯ пособие

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Пусть дана функция и фиксированная величина приращения аргумента . Конечной разностью первого порядка функции y называется выражение. Конечной разностью второго порядка называется: . Kонечной разностью n-го порядка называется . Конечные разности обладают следующими свойствами :

1. ;

2. ;

3. .

Для малых h можно приближенно заменять производные через конечные разности: , ().

Таблица разностей.

Часто приходится рассматривать функции у=f(x_,), заданные табличными значениями y_i=f(x_i,) для системы равноотстоящих точек x_i (i=0,1,2,…), где

конечные разности последовательности y_i определяются соотношениями

Пример. Построить конечные разности для функции с шагом .

Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной (таблица 3.1) или диагональной (таблица 3.2)

Горизонтальная таблица разностей Таблица 3.1.

….	…	…	…	…	…

Диагональная таблица конечных разностей:

Диагональная таблица конечных разностей Таблица 3.2.

Постановка задачи интерполирования

Пусть функция задана на отрезке в точках ,

i=0,1,2..n

где - узлы интерполяции.

Нам нужно провести интерполирующую функцию определенного класса, проходящую через точки: , т.е. в узлах интерполяции i=1,2..n. Пусть - это многочлен степени не выше n. В такой постановке задача имеет единственное решение. Полученную формулу

y=F(x)

используют для вычисления приближенного значения функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Эта операция называется интерполирование.

Интерполирование в узком смысле, если ,и экстраполирование (интерполирование в широком смысле). если

Интерполяционная формула Ньютона №1

Пусть точки будут равноотстоящими. Дано: отрезок , , .

Тогда: , , - шаг интерполяции.

Требуется: подобрать полином, степени не выше n , принимающий в точках значения или .

Идея Ньютона находить решение в виде полинома :

где .

Для практического использования удобно положить , тогда . …

Получим:

- первый многочлен Ньютона.

Полученную формулу выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения x₀, где q мало по абсолютной величине.

При n=1 получим формулу линейного интерполирования

Остаточный член первой интерполирующей формулы Ньютона имеет вид:+

,

где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .

При наличии дополнительного узла на практике пользуются более удобной приближенной формулой:

.

Интерполяционная формула Ньютона №2

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть имеем систему значений функции для равноотстоящих значений аргумента , где . Построим интерполирующий полином следующего вида.

,где

. Подставляя эти значения в формулу и, полагая

получим:

.

- второй многочлен Ньютона.

Остаточный член второй интерполирующей формулы Ньютона имеет вид:

,

где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .

Для неограниченной таблицы значений функции y число n в интерполяционной формуле может быть любым, поэтому практически его выбирают так, что бы разность была постоянной с заданной степенью точности.

Если таблица значений функции конечна, то число n не может быть больше числа значений функции у минус единица

Пример.

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью первого или второго интерполяционного многочлена Ньютона . Вычислить остаточный член.

.

x	y
1.215	0.106044
1.220	0.106491
1.225	0.106935
1.230	0.107377
1.235	0.107818
1.240	0.108257
1.245	0.108696
1.250	0.109134
1.255	0.109571
1.260	0.110008

Требуется определить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента

x₁ = 1.2173; x₂ = 1.253; x₃ = 1.210; x₄ = 1.270.

Составим таблицу конечных разностей.

i	xi	yi	yi	^2yi	^3yi
1	1.215	0.106044	0.000447	-0.000003	0,000001
2	1.220	0.106491	0.000444	-0.000002	0,000001
3	1.225	0.106935	0.000442	-0.000001	-0,000001
4	1.230	0.107377	0.000441	-0.000002	0,000002
5	1.235	0.107818	0.000439	0	-0,000001
6	1.240	0.108257	0.000439	-0.000001	0
7	1.245	0.108696	0.000438	-0.000001	0,000001
8	1.250	0.109134	0.000437	0
9	1.255	0.109571	0.000437	-
10	1.260	0.110008	-	-

При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х = 1.2173 и х = 1.210 пользуемся формулой Ньютона для интерполирования вперед:

где q = (x-x₀)/h.

Если x = 1.2173, то q = (1.2173-1.215)/0.005= 0.46;

P₁(1.2173)=0.106044+0.46·0.000447=0.106044+0.0002056=0.106250

Если x = 1.210, то q = (1.210-1.215)/0.005= -1;

P₁(1.210)= 0.106044+(-1)·0.000447=0.105597

P₂(1.210)= P₁(1.210)+ R₁=0.105600

При x = 1.253 и x = 1.270 пользуемся второй формулой Ньютона для интерполирования назад:

где q = (x-x_n)/h.

Если x = 1.253, то q = (1.253 - 1.250)/0.005 = 0.6;

P₁(1.253)=0.109134+0.6·0.000438=0.109134+0.000263=0.1093968

Если x = 1.270, то q = (1.270 - 1.260)/0.005 = 2;

P₁(1.270)=0.110008+2·0.000437=0.110008+0.000874=0.110882

Ответ: f (1.2173) 0.106250; f (1.253) · 0.109397; f (1.210) 0.105597;

f (1.270) 0.110882.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: , и известны для функции . Нам нужно построить многочлен .

Решим сначала частную задачу, построив полином такой, что .

Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках , то он имеет вид:

, ()

где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле и учитывая, что , получим:

.

Отсюда .

Вернемся к выражению ():

.

Тогда полином Лагранжа имеет следующий вид: .

Докажем единственность полинома Лагранжа.

Предположим противное. Пусть - полином, отличный от , степени не выше n и такой, что . Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в n+1 точках , т.е. . Следовательно, .

При равноотстоящих многочлен Лагранжа совпадает с многочленом Ньютона такой же степени.

Вычисление лагранжевых коэффициентов:

- (1) Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (2)

где .

Формула Лагранжа при этом имеет вид .

Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности следующим образом:

Обозначим произведение элементов первой строки через D₀, второй – D₁ и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что

.Следовательно,

.

Пример выполнения в Маткаде

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.

Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны ). Действительно, положив в формуле (1):

, , ,

после сокращения числителя и знаменателя на a, получим:

или

,

где , что и требовалось доказать.

В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.

В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда

и

.

Тогда ,

где . Отсюда можно записать:

(2)

где

. Пример выполнения в Маткаде

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы

Остаточный член формулы Лагранжа

Остаточный член равен: . Для него справедлива следующая оценка:

,

где на отрезке .

Схема Эйткина

Если требуется найти не общее выражение , а лишь его значения при конкретных x и при этом, значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, то удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткина. Согласно этой схеме последовательно вычисляются многочлены:

.

Интерполяционный многочлен степени «n», принимающий в точках x_i значения , запишется следующим образом:

.

Вычисления по схеме Эйткена удобно расположить в такой таблице: