Розв’язання:

Граф повинен мати 2 стани: А₁ і А₂. З матриці  знаходимо інтенсивності переходів і відмічаємо поряд з відповідними стрілками.

Складаємо рівняння Колмогорова. Шукані ймовірності будуть:

Тоді маємо Фінальні ймовірності не залежать від часу, тому .

Перемноживши матриці в правій частині матричного рівняння і прирівнявши елементи отриманої матриці відповідним елементам рядкової матриці в лівій частині отримаємо:

Для знаходження стаціонарного розподілу в одержаній системі замінимо , а похідні Тоді

Отже фінальний розподіл такий:

Відповідь:

19. Марковський ланцюг задано генератором . Побудувати граф станів і знайти фінальний розподіл ймовірностей станів.

Розв’язання:

Граф повинен мати 2 стани: А₁ і А₂. З матриці  знаходимо інтенсивності переходів і відмічаємо поряд з відповідними стрілками.

Складаємо рівняння Колмагорова. Шукані ймовірності будуть:

Тоді маємо

Фінальні ймовірності не залежать від часу, тому .

Перемноживши матриці в правій частині матричного рівняння і прирівнявши елементи отриманої матриці відповідним елементам рядкової матриці в лівій частині отримаємо:

Це система диференціальних рівнянь Колмагорова. Для знаходження стаціонарного розподілу в одержаній системі замінимо , а похідні Тоді

q₂ =3q₁

q₁+3q₁=1

q₁=

q₂=3q₁=

Отже фінальний розподіл такий:

Відповідь:

20. Знайти радіус та інтервал збіжності степеневого ряду

Рішення:

Інтервалом збіжності степеневого ряду є інтервал (-R;R).

Із умови маємо

Оскільки радіус збіжності , то інтервал збіжності буде .

Відповідь:

21. Пасажири, що стають в чергу за квитками в залізничну касу, утворюють найпростіший потік, в якому інтервал часу між моментами прибуття пасажирів є випадкова величина Х з показниковим законом розподілу:

Знайти числові характеристики М(X), D(X) і побудувати функцію f(t).

Рішення:

За умовою маємо щільність розподілу показникового закону, параметр якого дорівнюює . За цим законом М(X). Оскільки D(X)=σ²; D(X)=2²=4

Функція розподілу в загальному виді:

Підставляємо значення:

f(t)

0,5

_t

Рисунок 1– Графік функції f(t)

Відповідь: M(X)=2; σ=2; D(X)=4

22. Пасажири, що стають в чергу за квитками в залізничну касу, утворюють найпростіший потік, в якому інтервал часу між моментами прибуття пасажирів є випадкова величина Х з показниковим законом розподілу:

Знайти числові характеристики М(X), D(X) і побудувати функцію f(t).

Рішення:

За умовою маємо щільність розподілу показникового закону, параметр якого дорівнюює . За цим законом M(X)=; . Оскільки

Функція розподілу в загальному виді:

f(t)

0,3

_t

Рисунок 1– Графік функції f(t)

Відповідь: M(Х)= ; σ=; D(Х)=

23. Число вагонів в прибуваючому для розформування поїзді є випадковою величиною Х, яка розподілена за нормальним законом . Знайти математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення і дисперсію і побудувати f(x).

Рішення:

Щільність розподілу нормального закону має вид: ,

де а – математичне сподівання,

- середнє квадратичне відхилення.

Із заданої умови маємо:

Відповідь: а=20, =2, D(x)=4

24. Витрати електроенергії електровозу, який прямує в голові поїзду, є випадковою виличиною, розподіленою за нормальним законом зі щільністю ймовірності f(x)=. Знайти математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення σ і дисперсію.

Рішення:

Щільність розподілу нормального закону має вид: f(x)=

Де а – математичне сподівання,

 – середнє квадратичне відхилення.

Із заданої умови маємо: а=60, =3,

Відповідь: а=60, =3, D(x)=9

25. Число вагонів, що прибувають щодоби на сортувальну станцію, є випадковою величиною Х, яка розподілена за нормальним законом

. Знайти математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення σ і дисперсію і побудувати f(x).

Рішення:

Щільність розподілу нормального закону має вид:

Де а – математичне сподівання,

 – середнє квадратичне відхилення.

Із заданої умови маємо: а=50, =5,

Відповідь: а=50, =5, D(x)=25

26. Автоматична система управління продажем залізничних квитків, складена з двох паралельно працюючих СМО, за час t описується диференціальним рівнянням p″-8p′+16p=2e^5t. Знайти загальний розв’язок рівняння.

Рішення:

p″ -8p′+16p=0

Загальний розв’язок має вид: . Складемо характеристичне рівняння:

k² – 8·k+16=0; (k – 4)² =0

k₁=k₂=4

Корні дійсні та рівні, отже рішення має вид:

Оскільки права частина вихідного диференціального рівняння має вид:

, то частинне рішення цього рівняння знаходимо у виді:

Підставимо z, z′ і z″ у вихідне рівняння:

25·А· е^5t - 40·А· е^5t +16·А· е^5t = 2е^5t

; А=2

Таким чином, отримуємо частинне рішення:

Тоді загальне рішення вихідного рівняння має вигляд:

+2·e^5t

Відповідь: +2·e^5t

27. Тенденцій випуску із ремонту піввагонів на вагоноремонтному заводі У по роках Х описується диференціальним рівнянням: . Розв’язати це рівняння.

Рішення:

у″+6·у′+5·у=0

Загальний розв’язок має вид: . Складемо характеристичне рівняння:

k²+6·k+5=0; (k+5) · (k+1) =0

k₁= -5; k₂= -1

Корні дійсні та різні, отже рішення має вид:

Оскільки права частина вихідного диференціального рівняння має вид:

, то частинне рішення цього рівняння знаходимо у виді:

Підставимо z, z′ і z″ у вихідне рівняння:

16·А· е^4x +24·А· е^4x +5·А· е^4x = е^4x

; 45·A=1;

Таким чином, отримуємо частинне рішення:

Тоді загальне рішення вихідного рівняння має вигляд:

+

Відповідь: у=С₁·е ^-5х +С₂·е ^–х +

28. Густота перевезень вантажів на ділянках залізниці є випадкова величина Х, яка розподілена за показниковим законом з щільністю ймовірностей:

. Знайти математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення σ і дисперсію, побудувати графік f(x).

Рішення:

За умовою маємо щільність розподілу показникового закону, параметр якого дорівнюює . За цим законом М(X). Оскільки D(X)=σ²; D(X)=20²=400

Функція розподілу в загальному виді:

f(t)

0,05

_t

Рисунок 1– Графік функції f(x)

Відповідь: M(x)=20; σ=20; D(x)=400

29. На залізничній станції є два касові апарати. Процеси їх виходів із строю є марківськими. Матриця перехідних ймовірностей для станів касового апарату має вигляд . Побудувати граф станів і знайти матрицю перехідних ймовірностей за два кроки.

Рішення:

Побудуємо для матриці перехідних ймовірностей граф станів:

Матриця ймовірностей через 2 кроки матиме вигляд:

Перевіримо правильність розрахунків:

Відповідь: Р(2)=

30. Знайти об'єм тіла, одержаного обертанням кривої , навколо осі ОХ.

Рішення:

3

2

1

0

x

10 У подачі порожніх вагонів з ймовірністю Р=0,2 кожний з них вимагає очищення. Знайти ймовірність того, що в подачі з 4-х вагонів очищення вимагатимуть більше двох вагонів.

Розв’язок:

Застосовуємо формулу Бернуллі:

q=1-P;

q=1-0.2=0.8

Очищення вимагатимуть ,більше двох вагонів, тобто або 3 або 4 вагона:

Відповідь: