2. Кинематика

2.1 Задание к.1. Определение скорости и ускорения материальной точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным координатным способом уравнениям x=f(t); y=f(t) движения материальной точки М установить вид ее траектории и для момента времени t_0,5 найти положение M точки на траектории, ее скорость , полное , касательное и нормальное ускорения, а также радиус ρ кривизны и кривизну K траектории. Необходимые для решения данные приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Исходные данные к заданию К.1

Номер вари- анта	Уравнения движения		Момент времени
	x=f(t), см	y=f(t), см	t, с
1	-2·t2 + 3	-5t	0,5
2	4cos2(π·t/3) +2	4sin^2(π·t/3)	1
3	-cos(π·t/3) +3	sin(π·t/3) -1	1
4	4/t + 4	-4/(t +1)	2
5	2sin(π·t/3)	-3соs(π·t/3) + 4	1
6	3·t^2 + 2	-4t	0,5
7	3·t^2 -t + 1	5·t^2 - 5· t/3 - 2	1
8	7·sin(π·t/6) + 3	2-7·cos(π·t/3)	1
9	-3 /(t + 2)	3·t + 6	2
10	-4·cos(π·t/3)	-2·sin(π·t/3) - 3	1
11	-4t^2 + 1	-3·t	0,5
12	5·sin^2(π·t/6)	-5·cos^2(π·t/6) -3	1
13	5·cos(π·t/3)	-5·sin(π·t/3)	1
14	-2·t - 2	-2/(t+1)	2
15	4·cos(π·t/3)	-3·sin(π·t/3)	1
16	3·t	4·t^2 + 1	0,5
17	7·sin^2(π·t/6) -5	-7·cos^2(π·t/6)	1
18	1+3·cos(π·t/3)	З·sin(π·t/3) + 3	1
19	-5·t^2 - 4	3·t	1
20	2 - 3·t - 6·t^2	3 – 3·t/2 – 3·t^2	0
21	6·sin(π·t/6) - 2	6·cos(π·t/6) + 3	1
22	7·t^2- 3	5·t	0,25
23	3 - 3·t^2 + t	4 - 5·t^2 + 5·t/3	1
24	-4·cos(π·t/3) - 1	-4·sin(π·t/3)	1
25	-6·t	-2·t^2 - 4	1
26	8·cos^2(π·t/6) + 2	-8·sin^2(π·t/6) - 7	1
27	-3 -9·sin(π·t/6)	-9·cos(π·t/6) + 5	1
28	-4·t^2 + 1	-3·t	1
29	5·t^2 + 5·t/3 - 3	3·t^2 + t + 3	1
30	2·cos(π·t/3) - 2	- 2·sin(π·t/3) + 3	1

Пример выполнения задания.

Уравнения движения материальной точки: x=4·t, см; y=16·t²-1, см. Момент времени: t_0,5=0,5 c.

Решение.

1. Выразив время t=x/4 из уравнения для абсциссы x и подставив его в уравнение для ординаты y, получим уравнение у = х²-1, уравнение траектории движения точки – уравнение параболы (рисунок 2).

Определим местоположение М материальной точки на траектории в заданный момент времени, положив текущее время t в уравнениях движения равным заданному: t=t_0,5=0,5 c,

x_0,5=4·0,5=2 см; y_0,5=16·0,5²-1=3 см.

Определим местоположение М₀ материальной точки на траектории в момент начала движения, положив текущее время t в уравнениях движения равным начальному: t=t₀=0 c,

x₀=4·0=0 см; y₀=16·0²-1=-1 см.

Траекторией движения материальной точки является правая ветвь параболы с началом в положении М₀, уходящая в бесконечность.

2. Скорость движения материальной точки определим, найдя ее горизонтальную и вертикальную составляющие.

Для этого найдем ее (их) проекции v_x и v_y на оси декартовой системы координат дифференцированием уравнений движения.

; v_x = х^’ = 4 см/с; v_y = y^’ = 32·t=32·0,5=16 см/с.

Модуль скорости: см/с.

3. Ускорение материальной точки определим, найдя его горизонтальную и вертикальную составляющие.

Для этого найдем его (их) проекции и на оси декартовой системы координат повторным дифференцированием уравнений движения.

a_x= х^’’= v_x^’ = 4^’=0 см/с²; a_y= y^’’= v_y^’ = (32·t)^’=32 см/с².

Модуль ускорения: см/с².

4. Проекцию ускорения точки на касательную найдем по формуле

см/с².

Знак «+» соответствует ускоренному движению материальной точки в данном положении M на траектории в данный момент t_0,5 времени.

5. Проекцию ускорения точки на нормаль найдем по формуле

см/с².

6. Радиус ρ кривизны траектории движения точки в рассматриваемом положении определим по формуле см.

7. Кривизна K траектории движения точки в рассматриваемом положении равна: см^-1.

Модуль нормального ускорения для случая движения точки по траектории постоянной кривизны (окружность, прямая), когда радиус кривизны известен, следует определить по формуле

, ρ=R для окружности радиуса R, ρ=∞ для прямой.

Тогда модуль касательного ускорения в случае движения по окружности следует определить так: .

На рисунке 2 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор построен по составляющим и , причем этот вектор должен совпадать с касательной к траектории. Вектор построен по составляющим и , затем разложен на составляющие и . Знаки величин и , вычисленных аналитически, должны соответствовать направлениям составляющих и .

Рисунок 2 – Траектория движения материальной точки, ее скорость и ускорение,

его касательная и нормальная составляющие

Результаты вычислений для заданного момента времени t_0,5 = 0,5 с приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Кинематические параметры материальной точки в заданный момент времени

Координаты точки, см		Проекции скорости и скорость точки, см/с			Проекции ускорения и ускорение точки, см/с^2					Радиус кривизны траектории, см
x	y	vx	vy	v	ax	ay	a	a	an	ρ
2,0	3,0	4,0	16,0	16,5	0	32,0	32,0	31,0	7,8	35,0