3.3 Задание д.10. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано в таблице 12. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1–3, 5, 6, 8–12, 17–23, 28–30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6–9, 11, 13–15, 20, 21, 24, 27 и 29), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m₁ = m, m₂, m₃ и m₄ – массы тел 1, 2, 3 и 4; R₂, r₂, R₃, r₃ – радиусы больших и малых окружностей тел 2 и 3; i_2x, i_3 – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести;   – углы наклона плоскостей к горизонту; t – коэффициент трения скольжения;  – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 13. Блоки и катки, для которых радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 12 – Схемы механизмов к заданию Д.10

Продолжение таблицы 12

Продолжение таблицы 12

Таблица 13 – Исходные данные к заданию Д.10

Вариант					R2	R3	i2x	i3			f	 см	s, см	Примечание
					см				град
1	1	4	1/5	4/3	–	–	–	–	–	60	0,10	–	2
2	1	1/2	1/3	–	–	30	–	20	30	45	0,22	0,20	2
3	1	1	1/10	1	–	–	–	–	45	–	0,10	–	2
4	1	2	40	1	20	40	18	–	–	–	–	0,30	0,1	Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь
5	1	2	1	–	20	15	18	–	60	–	0,12	–	0,28	Массой водила пренебречь
6	1	3	1	–	–	28	–	–	30	45	0,10	0,28	1,5
7	1	2	2	–	16	25	14	–	30	–	–	0,20	2
8	1	1/2	1/3	–	–	30	–	–	30	45	0,15	0,20	1,75
9	1	2	9	–	–	30	–	20	30	–	0,12	0,25	1,5
10	1	1/4	1/4	1/5	–	–	–	–	60	–	0,10	–	3
11	1	1/2	1/4	–	–	30	–	25	30	45	0,17	0,20	2,5
12	1	1/2	1/5	1	30	–	20	–	30	–	0,20	–	2,5
13	1	2	5	2	30	20	26	–	30	–	–	0,24	2
14	1	1/2	5	4	–	25	–	–	–	–	–	0,20	2	Массы каждого из 4-х колес одинаковы
15	1	1/2	4	1/2	20	15	18	–	60	–	–	0,25	1,5
16	1	1/10	1/20	1/10	10	12	–	–	–	–	–	–	0,05	Массой водила пренебречь
17	1	1/4	1/5	1/10	20	–	15	–	60	–	0,10	–	0,16	Шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень
18	1	3	1	–	35	15	32	–	60	–	0,15	–	0,2	Массой водила пренебречь
19	1	1/3	1/10	1	24	–	20	–	60	–	0,15	–	1,5
20	1	2	20	–	20	15	16	–	30	–	0,10	0,20	0,2	Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь
21	1	1	2	–	20	20	16	–	30	45	0,20	0,32	1,2
22	1	1/2	1/4	–	20	10	–	–	60	–	0,17	–	0,1	Массой водила пренебречь
23	1	1	1/10	4/5	20	–	18	–	30	–	0,10	–	1
24	1	3	20	–	20	30	18	–	–	–	–	0,60	0,08	Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь
25	1	1/3	1/4	–	16	20	–	–	–	–	–	–	0,04	Массой водила пренебречь
26	1	1/2	1	1/3	30	–	20	–	–	–	–	–	0,6	Массы и моменты инерции блоков 2 и 5 одинаковы. Шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень
27	1	1	6	1/2	20	20	16	–	30	–	–	0,20	2
28	1	2	3	–	20	–	14	–	60	–	0,10	–	0,1	Шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень
29	1	1/4	1/8	–	–	35	–	–	15	30	0,20	0,20	2,4
30	1	1/2	3/10	3/2	26	20	20	18	30	–	0,12	–	2

Пример выполнения задания.

Даны механическая система в начальном положении (рисунок 11а) и следующие исходные данные: m₁/m = 1; m₂/m = 0,5; m₃/m = 0,2; m₄/m = 1,4; R₂ = 25 см; R₃ = 20 см; r₂ = 0,5R₂; r₃ = 0,5R₃; i_2x = 20 см; i_3 = 20 см; f = 0,15;  = 30°; s = 2 м.

Найти скорость груза 1 ₁ в конечном положении.

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы. Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных абсолютно гибкими, нерастяжимыми нитями (идеальными внутренними связями):

, (27)

где T и Т₀ – кинетическая энергия системы в конечном и начальном положении соответственно;

–сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное.

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀ = 0. Тогда уравнение (27) принимает вид:

. (28)

Для определения кинетической энергии Т и суммы работ внешних сил изобразим механическую систему в конечном положении, когда тело 1 пройдет путь s (рисунок 11б).

Составим кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорость и перемещение груза 1.

Скорость нити, соединяющей тела 1 и 2, равна искомой скорости груза 1 ₁. Она же является вращательной скоростью для точек обода барабана 2:

,

откуда угловая скорость барабана 2

.

Скорость нити, соединяющей тела 2 и 3, равна

.

Тогда

,

откуда

.

С другой стороны, для блока 3 , откуда угловая скорость блока 3

.

Скорость груза 4, центра масс блока 3 и нити, соединяющей их, равна

.

Теперь рассмотрим перемещения тел 3 и 4 в зависимости от перемещения тела 1 на величину s. Барабан 2 испытывает только вращательное движение. Для барабана 2 , откуда угол его поворота .

Рисунок 11 – Схема механизма (а) и расчетная схема (б)

Перемещение нити, соединяющей тела 2 и 3: .

Угол поворота блока 3 относительно неподвижной нити равен:

.

Тогда величина подъема груза 4 и центра масс блока 3 составит:

.

Итак, при перемещении груза 1 на величину s барабан 2 повернется на угол , а блок 3 – на угол . При этом блок 3 и груз 4 поднимутся на величину .

Теперь вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении Т как сумму кинетических энергий тел 1–4:

. (29)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

. (30)

Для барабана 2, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, кинетическая энергия определится, как

, (31)

где – момент инерции барабана относительно оси его вращения:

. (32)

Теперь формула (31) с учетом уравнения будет выглядеть:

. (33)

Кинетическая энергия блока 3, совершающего плоское движение, , где – момент инерции блока относительно оси, проходящей через его центр масс: .

Тогда, с учетом полученных выше выражений, получим:

. (34)

Для груза 4, движущегося поступательно:

. (35)

Итак, кинетическая энергия системы в конечном положении с учетом формул (30), (33)–(35) определится, как

или

. (36)

Теперь вычислим сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении. Силы, действующие на систему, показаны на рисунке 11б.

Работа силы тяжести груза 1: . (37)

Работа силы трения скольжения груза 1:

. (38)

Работа сил тяжести блока 3 и груза 4 на их общем перемещении :

. (39)

Тогда сумма работ внешних сил определится с учетом формул (37)–(39), как

или

. (40)

Теперь формула (28) с учетом уравнений (36) и (40) примет вид:

,

откуда искомая скорость груза 1 в конечном положении:

м/с.