Динамика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бийский технологический институт (филиал АГТУ им. Ползунова)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика методичка.doc

Скачиваний:

638

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

5.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Динамика

3.1 Задание д.1. Вторая (обратная) задача динамики материальной точки

Варианты 1–5 (таблица 9, схема 1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, в течение  с. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке В тело покидает плоскость со скоростью v_B и попадает со скоростью vc в точку С плоскости BD, наклоненной под углом β к горизонту, находясь в воздухе T с.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано:  = 30°; v_A = 0 м/с; f = 0,2; l=10 м; β = 60°. Определить  и h.

Вариант 2. Дано:  = 15°; v_A = 2 м/с; f = 0,2; h = 4 м; β = 45°. Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано:  = 30°; v_A = 2,5 м/с; f ≠ 0; l = 8м; d = 10 м; β = 60°. Определить v_B и .

Вариант 4. Дано: v_A = 0;  = 2 с; l = 9,8м; β = 60°; f = 0. Определить  и T.

Вариант 5. Дано:  = 30°; v_A = 0; l = 9,8 м;  = 3 с; β = 45°. Определить f и v_С.

Варианты 6–10 (таблица 9, схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом а к горизонту и имеющего длину l, со скоростью v_A. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется  с; в точке В со скоростью v_B он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью v_С вточке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано:  = 20°; f = 0,1;  = 0,2 с; h = 40 м; β = 30°. Определить l и V_c.

Вариант 7. Дано:  = 15°; f =0,1; v_A = 16 м/с; l = 5 м; β = 45°. Определить v_B и Т.

Вариант 8. Дано: v_A = 21 м/с; f = 0;  = 0,3 с; v_B = 20 м/с; β = 60°. Определить а и d.

Вариант 9. Дано:  = 15°;  = 0,3 с; f =0,1; h = м; β = 45°. Определитьv_B и v_A.

Вариант 10. Дано: =15°; f =0; v_A=12 м/с; d = 50 м; β = 60°. Определить  и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Варианты 11–15 (таблица 9, схема 3). Имея в точке А скорость v_A, мотоцикл поднимается  с по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол . При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость v_B и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе T с и приземляясь в точке С со скоростью v_С . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна т.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.

Вариант 11. Дано:  = 30°; Р ≠ 0; l = 40 м; v_A = 0: v_B = 4,5 м/с; d = 3 м; Определить  и h.

Вариант 12. Дано:  = 30°; Р = 0; l = 40 м; v_B = 4,5 м/с; h = 1,5 м. Определить v_A и d.

Вариант 13. Дано:  = 30°; т = 400 кг; v_A = 0;  = 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано:  = 30°; т = 400 кг; Р = 2,2 кН; v_A = 0; l = 40 м; d = 5м. Определить v_B и v_С.

Вариант 15. Дано:  = 30°; v_A = 0; Р = 2 кН; l = 50 м; h = 2 м; d = 4 м. Определить Т и т.

Варианты 16–20 (таблица 9, схема 4). Камень скользит в течение  с по участку АВ откоса, составляющему угол  с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f . Имея в точке В скорость v_B, камень через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано:  = 30°; v_A = 1 м/с; l = 3 м; f = 0,2; d = 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано:  = 45°; l = 6 м; v_B = 2·v_A;  = 1 с; h = 6 м. Определить d и f.

Вариант 18. Дано:  = 30°; l= 2 м; v_A = 0; f = 0,1; d = 3 м. Определить h и .

Вариант 19. Дано:  = 15°; l = 3 м; v_B = 3 м/с, f ≠ 0;  = 1,5 с; d = 2 м. Определить v_A и h.

Вариант 20. Дано:  = 45°; v_A = 0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Определить l и .

Варианты 21–25 (таблица 9, схема 5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения равен f. Через  с тело в точке В со скоростью v_B покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью v_С;при этом оно находится в воздухе Т с.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать силы сопротивления движению.

Вариант 21. Дано:  = 30°; f = 0,1; v_A = 1 м/с;  = 1,5 с; h = 10 м. Определить v_B и d.

Вариант 22. Дано: v_A = 0;  = 45°; l =10 м;  = 2 с. Определить f и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f =0; v_A = 0; l = 9,81 м;  = 2с; h = 20 м. Определить  и Т.

Вариант 24. Дано: v_A=0;  =30°; f=0,2; l = 10 м; d = 12 м. Определить  и h.

Вариант 25. Дано: v_A = 0;  = 30°; f = 0,2; l=6 м; h=4,5 м. Определить  и v_С.

Варианты 26–30 (таблица 9, схема 6). Имея в точке А скорость v_A, тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение  с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f . Со скоростью v_B тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью v_С, находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: v_A = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h =20 м. Определить d и v_С.

Вариант 27. Дано: v_A = 4 м/с; f = 0,1;  = 2 с; d = 2 м. Определить v_B и h.

Вариант 28. Дано: v_B = 3 м/с; f =0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить v_A и Т.

Вариант 29. Дано: v_A = 3 м/с; v_B = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f =0,25; l =4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить v_A и .

Таблица 9 – Рисунки к заданию Д.1

Пример 1 выполнения задания (рисунок 6).

При строительстве железных дорог для защиты кюветов от попадания в них каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость v_A = 0, определить наименьшую ширину полки b и скорость v_C , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса длиной l под углом  к горизонту камень движется  с.

Рисунок 6 – Рисунок к примеру 1 задания Д.1

При решении задачи считать коэффициент f трения скольжения камня на участке АВ постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: v_A = 0;  = 60°; l = 4 м;  =1 с; f ≠ 0; h = 5 м; β = 75°.

Определить b и v_C .

Решение.

Рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, отобразим (рисунок 7) действующие на него силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения. Запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения несвободной материальной точки на участке АВ, обозначив x₁через x:

Рисунок 7 – Расчетная схема: участок АВ – а), участок BC – б)

Проекция ускоренияна осьAx₁ по определению равна: . Тогда .

Отсюда с учетом :

. (7)

Так как f <1, то проекция ускоренияна осьAx₁ положительна и постоянна, т. е. (при этом), то прямолинейное движение на участке AB – равноускоренное.

Запишем, зная, что по определению , уравнение (7) в дифференциальной форме.

Разделяя переменные интегрирования, получим

Интегрируя правую и левую части уравнения совместно, получим.

Константу C₁ интегрирования найдем по начальным условиям, зная, что в момент начала движения:

, , . (НУ_AB)

. Откуда .

Физический смысл константы: – проекция начальной скорости точки на ось Ax. Тогда

. (8)

Запишем, зная, что по определению , уравнение (8) в дифференциальной форме:. Разделяя переменные интегрирования, получим.

Интегрируя правую и левую части уравнения совместно, получим.

Константу интегрирования найдем поначальным условиям (НУ_AB).

. Откуда .

Физический смысл константы: м – начальная абсцисса точки.

Тогда

. (9)

Совокупность уравнений (7)–(9) – уравнения прямолинейного равноускоренного движения несвободной материальной точки на участке AB. Положив ,,в уравнениях (8) и (9), получим:

,(8*)

,(9*)

и определим: f, v_В.

Из уравнения (9*) найдем:

Решая уравнение (8*), получим:

Участок движения BC.

Для движения свободной материальной точки на участке BC запишем основное уравнение динамики в проекциях на осиBx и By в дифференциальной форме в общем виде:

По определению ,. Тогда:,,

(10)

Так как a_x= 0 – const, a_y= g – const, то движение:

– по горизонтали на всем участке BC – равномерное,

– по вертикали – на всем участке BC равнопеременное – равноускоренное.

Мгновенное, истинное, полное ускорение материальной точки равно:

(10*)

Так как ускорение постоянно и по величине, и по направлению, а угол между касательнойm к траектории и ускорением переменный, то проекция a_ ускорения на касательную переменна по величине

Поэтому движение материальной точки по кривой BC не есть равнопеременное. На участке BC движение – ускоренное (a_>0 – var.).

Запишем, зная, что по определению ,, уравнения (10) в дифференциальной форме:

Разделяя переменные интегрирования, получим: , .

Интегрируя ,правую и левую части уравнений совместно, получим:,.

Константы C₃ и C₄ интегрирования найдем по начальным условиям, зная, что в момент начала движения с,м,м,

, (НУ_BC)

, .

Откуда ,. Физический смысл констант интегрирования:,– проекции начальной скорости на осиBx и By. Тогда

(11)

(12)

Запишем, зная, что по определению ,, уравнения (11) и (12) в дифференциальной форме:

Разделяя переменные интегрирования, получим: ,.

Интегрируя ,правую и левую части уравнений совместно, получим:,.

Константы и интегрирования найдем по начальным условиям (НУ_BC): ,. Откуда,. Физический смысл констант интегрирования:м,м – начальные координаты материальной точки. Тогда:

(13)

(14)

Совокупность уравнений (11)–(14) – уравнения движения свободной материальной точки на участке BC.

Положив ?c, ? м/с,? м,5 м в уравнениях (12)–(14), получим:

, (12*)

, (13*)

(14*)

и определим: s, _s, v_C.

Из уравнения (14*) найдем:

с.

Решая уравнения (12*) и (13*), получим: м/с,м.

Тогда наименьшая ширина полки равна:

м.

Скорость падения материальной точки на землю равна:

м/с.

Пример 2 выполнения задания (рисунок 8).

Стопятидесятидвухмиллиметровая артиллерийская система посылает семидесятивосьмикилограммовый снаряд в цель.

Длина ствола 4 м. Угол наклона ствола к горизонту 45. Давление пороховых газов в канале ствола 500 МПа. Сопротивление движению снаряда в канале ствола учтено, как трение скольжения (коэффициент трения скольжения равен 0,05).

Определить время движения снаряда в канале ствола и скорость движения снаряда на выходе из ствола.

Определить дальность, продолжительность, наибольшую высоту полета и скорость падения снаряда в цель, а также время подъема снаряда на наибольшую высоту.

Считать силы, действующие на снаряд постоянными, и не учитывать сопротивление движению снаряда в воздухе.

Рисунок 8 – Рисунок к примеру 2

Дано: m=78 кг; l=4 м; =45; d=152 мм; p=500 МПа; f=0,05. Определить: _l , v_В, s, _s, h, v_C, _h

Решение.

Сила давления пороховых газов на снаряд (движущая сила) по величине равна произведению давлениягазов на площадь поперечного сечения снаряда (канала ствола) диаметром:

Н.

Далее решим задачу, не принимая во внимание размеры и форму снаряда (твердого тела) и рассматривая его как материальную точку массой m.

Построим расчетную схему (рисунок 9). Отметим на схеме текущее положение материальной точки на участке AB и на участке BC, построим скорость и ускорениеточки и действующие на нее силы.

Движение несвободной материальной точки на прямолинейном участке AB обусловлено действием сил:. На криволинейном участкеBDC свободная материальная точка движется по горизонтали по инерции; по вертикали – снизу вверх по инерции, преодолевая действие силы тяжести на участке BD, и только под действием силы тяжести сверху вниз на участкеDC.

Участок движения AB. Запишем основное уравнение динамики (закон пропорциональности силы и ускорения в проекции на ось Ax) в дифференциальной форме в общем виде: .

Рисунок 9 – Расчетная схема: для участка AB – a); для участка BДC – б)

Проекция ускорения на осьAx по определению равна: . Тогда.

Отсюда с учетом ,:

, (15)

.(15*)

Так как проекция ускорения на ось Ax постоянна (при этом), то прямолинейное движение на участке AB – равноускоренное.

Запишем, зная, что по определению , уравнение (15) в дифференциальной форме

Разделяя переменные интегрирования, получим:

Интегрируя правую и левую части уравнения совместно, получим.

Константу C₁ интегрирования найдем по начальным условиям, зная, что в момент начала движения:

, ,, (НУ_AB)

. Откуда . Физический смысл константы:– проекция начальной скорости точки на осьAx. Тогда

. (16)

Запишем, зная, что по определению , уравнение (16) в дифференциальной форме:. Разделяя переменные интегрирования, получим.

Интегрируя правую и левую части уравнения совместно, получим.

Константу интегрирования найдем поначальным условиям (НУ_AB).

. Откуда . Физический смысл константы:– начальная абсцисса точки. Тогда

. (17)

Совокупность уравнений (15)–(17) – уравнения прямолинейного равноускоренного движения несвободной материальной точки на участке AB.

Положив ,,в уравнениях (16) и (17), получим:

, (16*)

(17*)

и определим: , v_В.

Из уравнения (17*) найдем

Решая уравнение (2*), получим:

=957 м/с.

Участок движения BDC. Для движения свободной материальной точки на участке BDC запишем основное уравнение динамики в проекциях на оси Bx и By в дифференциальной форме в общем виде:

По определению ,. Тогда:,,

(18)

Так как a_x= 0 – const, a_y= -g – const, то движение:

– по горизонтали на всем участке BDC – равномерное;

– по вертикали – на всем участке BDC равнопеременное (на участке BD – равнозамедленное, на участке DC – равноускоренное).

Истинное, полное ускорение материальной точки равно:

, м/с² – const. (18*)

Внимание: направления стрелок у символов векторов и(орта оси ординат и ускорения свободного падения)разные.

Так как ускорение , м/с², – постоянно и по величине, и по направлению, а угол между касательной m к траектории и ускорением переменный, то проекция a_ ускорения на касательную переменна и по величине, и по знаку, т. е.

Поэтому движение материальной точки по кривой BDC не есть равнопеременное. На участке BD – движение замедленное (a_<0 – var.), на участке DC – ускоренное (a_>0 – var.). В наивысшем положении D движение материальной точки – равномерное (локальное, на мгновение равномерное a_^D=0).