- •Федеральное агентство по образованию
- •«Алтайский государственный технический университет
- •Содержание
- •Введение
- •1 Статика
- •1.1 Задание с.1. Определение реакций опор твердого тела
- •Кинематика
- •2.1 Задание к.1. Определение скорости и ускорения материальной точки по заданным уравнениям ее движения
- •2.2 Задание к.3. Кинематический анализ плоского механизма
- •2.3 Задание к.7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
- •Динамика
- •3.1 Задание д.1. Вторая (обратная) задача динамики материальной точки
- •3.2 Задание д.6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки
- •3.3 Задание д.10. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
- •Аналитическая механика
- •4.1 Задание д.16. Применение принципа Даламбера к определению динамических реакций связей (опор)
- •Литература
2.2 Задание к.3. Кинематический анализ плоского механизма
Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Необходимые для расчета исходные данные приведены в таблице 5, а схемы механизмов приведены в таблице 6.
Таблица 5 – Исходные данные к заданию К.3
Вариант
|
Размеры, см
|
OA, рад/с |
1, рад/с |
OA, рад/с2 |
А, см/с |
аА, см/с2 | |||
OA |
r |
AB |
AC | ||||||
1 |
40 |
13 |
– |
9 |
2 |
– |
3 |
– |
– |
2 |
30 |
13 |
– |
9 |
3 |
– |
3 |
– |
– |
3 |
– |
45 |
– |
– |
– |
– |
– |
50 |
100 |
4 |
35 |
– |
– |
40 |
4 |
– |
7 |
– |
– |
5 |
25 |
– |
– |
15 |
1 |
– |
2 |
– |
– |
6 |
40 |
20 |
– |
8 |
1 |
1,5 |
0 |
– |
– |
7 |
35 |
– |
75 |
55 |
5 |
– |
8 |
– |
– |
8 |
– |
– |
20 |
12 |
– |
– |
– |
40 |
20 |
9 |
– |
– |
45 |
25 |
– |
– |
– |
20 |
10 |
10 |
25 |
– |
80 |
15 |
1 |
– |
3 |
– |
– |
11 |
– |
– |
30 |
20 |
– |
– |
– |
10 |
0 |
12 |
– |
– |
30 |
18 |
– |
– |
– |
20 |
20 |
13 |
25 |
– |
55 |
45 |
2 |
– |
5 |
– |
– |
14 |
45 |
20 |
– |
9 |
3 |
10 |
0 |
– |
– |
15 |
40 |
20 |
– |
9 |
1 |
– |
2 |
– |
– |
16 |
55 |
15 |
– |
– |
2 |
– |
4 |
– |
– |
17 |
– |
35 |
– |
15 |
– |
– |
– |
80 |
50 |
18 |
10 |
– |
10 |
7 |
2 |
– |
5 |
– |
– |
19 |
20 |
13 |
– |
8 |
1 |
2 |
0 |
– |
– |
20 |
– |
– |
20 |
7 |
– |
– |
– |
10 |
15 |
21 |
30 |
– |
60 |
20 |
3 |
– |
7 |
– |
– |
22 |
35 |
– |
60 |
35 |
4 |
– |
8 |
– |
– |
23 |
– |
– |
60 |
15 |
– |
– |
– |
5 |
10 |
24 |
25 |
– |
35 |
10 |
2 |
– |
2 |
– |
– |
25 |
20 |
– |
70 |
25 |
1 |
– |
3 |
– |
– |
26 |
20 |
13 |
– |
8 |
2 |
1 |
0 |
– |
– |
27 |
– |
13 |
– |
8 |
– |
– |
– |
60 |
30 |
28 |
20 |
– |
50 |
20 |
1 |
– |
2 |
– |
– |
29 |
12 |
– |
35 |
10 |
4 |
– |
5 |
– |
– |
30 |
40 |
– |
– |
15 |
5 |
– |
8 |
– |
– |
Примечание – OA и OA – угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА при заданном положении механизма; 1 – угловая скорость колеса I (постоянная); А и аА – скорость и ускорение точки А. Качение колес происходит без скольжения |
Таблица 6 – Схемы механизмов к заданию К.3
Продолжение таблицы 6
Продолжение таблицы 6
Пример выполнения задания.
Даны схема механизма в заданном положении (рисунок 3а) и следующие исходные данные: ОА = АВ = 30 см; АС = 15 см; OA = 4 рад/с; OA = 8 рад/с2.
Решение.
1. Определение скоростей точек и угловой скорости звена (рисунок 3б). Вычислим модуль скорости точки А кривошипа ОА в заданном положении. Так как кривошип испытывает вращательное движение вокруг неподвижной точки О, то
см/с.
Рисунок 3 – Схема механизма (а) и схема для определения скоростей (б)
Вследствие вращения кривошипа вектор скорости точки А перпендикулярен кривошипу и направлен в соответствии с OA. Вектор скорости точки В ползуна направлен вдоль прямой ОВ. Зная скорость точки А и направление скорости точки В (принадлежащих звену АВ), можно определить мгновенный центр скоростей РАВ шатуна АВ. Он находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и В по отношению к направлениям их скоростей.
Модули скоростей точек В и С определятся соответственно:
; . (1)
Угловую скорость звена АВ можно определить как
. (2)
Подставив выражение для AВ в уравнения (1), получим:
; . (3)
Расстояния APAB, BPAB и CPAB определяются из рассмотрения треугольников АBPAB и АCPAB:
см; см; см.
С учетом этого
рад/с; см/с; см/с.
Вектор скорости точки С направлен перпендикулярно отрезку CPAB в направлении вращения звена АВ.
Скорости точек В и С можно установить и с использованием теоремы об алгебраическом равенстве проекций скоростей точек на ось, проведенную через эти точки.
В качестве прямой возьмем направление шатуна АВ. Тогда
.
Из рисунка 3б видно: , откуда через известную А определяем неизвестные В и С: см/с и см/с.
2. Определение ускорений точек и углового ускорения звена (рисунок 4). Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений:
; ; .
Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры для ускорения точки В имеем
, (4)
где и – вращательная и центростремительная составляющие ускорения точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А; .
Рисунок 4 – Схемы для определения ускорений
С учетом имеющихся данных определяем модули составляющих ускорений:
см/с2; см/с2; см/с2.
Вектор направлен к центру вращения: от А к О. Вектор перпендикулярен и направлен с учетом направления . Составляющая направлена от В к полюсу А.
Для ускорения точки В и его вращательной составляющей известны только линии действия этих векторов: направлен вдоль линии движения ползуна ОВ; – перпендикулярно АВ.
Зададимся произвольно их направлениями (пунктирные стрелки на рисунке 4). Определим эти ускорения из уравнений проекций векторного равенства (4) на координатные оси. Знак в ответе должен показать соответствие истинного направления вектора направлению, принятому в расчете.
Выберем направление осей х и у, как показано на рисунке 4, и составим уравнения проекций:
, (5)
. (6)
Из уравнения (6) найдем см/с2. Истинное направление ускорения совпадает с ускорением, построенным на рисунке 4.
Из уравнения (5) получим см/с2, то есть действительное направление противоположно показанному на рисунке 4.
Теперь определяем угловое ускорение звена АВ: рад/с2.
Направление углового ускорения АВ определяется направлением вращательного ускорения .
Далее определяем ускорение точки С. Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры:
; ; .
Модули вращательного и центростремительного ускорения точки С во вращательном движении АВ вокруг полюса А соответственно:
см/с2; см/с2.
Направления и показаны на рисунке 2.
Ускорение точки С находим способом проекций (см. рисунок 4):
см/с2; см/с2;
см/с2.
Векторы ускорений и точек В и С соответственно показаны на рисунке 4.