2.8.3 Задачи для самостоятельного решения

1. На пять сотрудников выделены три путевки. Сколькими способами их можно распределить, если все путевки различны?

2. Та же задача при условии, что все путевки одинаковы.

3. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, используя цифры 1 и 2?

4. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделить двух человек для дежурства, если один из них должен быть старшим?

5. Та же задача, только старшего быть не должно.

6. На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

7. Во взводе три сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?

8. Автомобильные номера состоят из трёх букв (всего используется 30 букв) и трех цифр (всего используется 10 цифр). Сколько автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два автомобиля не имели одинакового номера?

9. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «зебра», «водород»?

10. На конференции должны выступить докладчики А, Б, С, Д. Сколькими способами можно установить очередность выступления?

11. Та же задача при условии, что Б не может выступать раньше А.

12. Та же задача при условии, что Б выступает сразу после А.

13. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

14. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4 ?

15. В наряд выделено три офицера, пять сержантов и 30 солдат. Патруль состоит из одного офицера, двух сержантов и трех солдат. Сколько существует способов возможной организации патрулей?

16. Сейф запирается на замок, состоящий из пяти дисков, на каждом из которых изображены цифры 0, 1,…, 9. Замок открывается, если на дисках набрана одна определенная комбинация цифр. Хватит ли 10 дней на открытие сейфа, если «рабочий день» продолжается 13 часов, а на набор одной комбинации цифр уходит пять секунд?

17. Сколькими способами можно выбрать ровно два верных номера в лотерее 5 из 36?

18. Та же задача при условии не менее двух верных номеров.

19. Сколькими способами можно дать клички четырем щенкам, имея семь возможных вариантов, при условии, что щенки могут быть названы одинаково?

20. Та же задача при условии, что щенки должны быть названы по-разному.

21. Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на девять частей, четырьмя цветами так, чтобы в первый цвет были окрашены три части, во второй – две части, в третий – три части, в четвёртый – одна часть?

22. Сколькими способами группу из 25 человек можно разбить на семь коалиций: две – по пять человек, одна – семь человек, четыре – по два человека?

23. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают значения 4, 5, 6, 7?

24. Сколько можно построить различных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?

25. В бригаде четыре женщины и трое мужчин. Среди членов бригады разыгрываются четыре билета в театр. Сколькими способами можно провести такой розыгрыш? В скольких случаях среди обладателей билетов окажутся двое мужчин и две женщины?

26. Сколькими способами на скамейке могут разместиться пять человек?

27. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 1, 1, 2, 2, 2?

28. Сколькими способами можно разбить m+n+pпредметов на три группы так, чтобы в одной группе былоmпредметов, в другой –n, в третьей –pпредметов?

29. В детском наборе имеется по три одинаковые буквы a,b,c,d, е. Сколькими способами можно выбрать три из этих пятнадцати букв?

30. Пять девушек и трое юношей собираются играть в городки. Сколькими способами можно их распределить на две команды, если в каждой из них должно быть не менее одного юноши?

31. В киоске продают пять видов конвертов и четыре вида марок. Сколькими способами можно купить конверт и марку?

32. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

33. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова конверт?

34. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

35. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного короля, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

36. Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком. Сколько осмысленных предложений можно составить, вычёркивая некоторые слова этого предложения? (Во все предложения обязательно должны входить подлежащее «Игорь» и сказуемое «мчался»)

37. Сколько различных (не обязательно осмысленных) слов можно получить, переставляя буквы слов: а) крот; б)математика; в)наполеононенавистничество?

38. Сколькими способами восемь человек могут встать в очередь к театральной кассе?

39. Сколько существует девятизначных чисел, цифры которых расположены в порядке убывания (то есть каждая следующая меньше предыдущей)?

40. Начальник транспортного цеха пригласил несколько человек на совещание. Каждый участник совещания, входя в кабинет, пожимал руки всем присутствующим. Сколько человек участвовали в совещании, если было всего 78 рукопожатий?

41. Сколько семизначных чисел не содержат цифры 2?

42. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

43. Крыса бежит по лабиринту, который устроен так, что сначала она должна выбрать одну из двух дверей, затем одну из трёх дверей, а за каждой из них её ожидают четыре двери. Пройдя дверь, крыса не может вернуться через неё обратно. Сколькими различными путями крыса может пройти лабиринт от начала до конца?

44. Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры чисел: а) 133; б) 9854; в) 3213; г) 98561; д) 32123?

45. Каких чисел больше среди первого миллиона: тех, в записи которых есть цифра 7, или тех, в записи которых её нет?

46. Сколько существует трёхзначных чисел, в запись которых входит ровно одна цифра 5?

47. Среди выпускников факультета иностранных языков 30 знают английский, 20 – немецкий, 15 знают оба языка. Сколько всего выпускников?

48. Среди абитуриентов, выдержавших экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 человек, по физике – 37 человек, по русскому языку – 42 человека; по математике или физике – 75 человек, по математике или русскому языку – 76 человек, по физике или русскому языку – 66 человек, по всем трем предметам – четыре человека. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько среди них получивших только одну пятёрку?

49. На занятии по философии преподаватель решил узнать, кто из 40 студентов группы читал книги А, В, С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читало 25 человек, книгу В – 22 человека, книгу С – 22. Книгу А или В читали 33 студента, А или С – 32, В или С – 31; все три книги прочли 10 студентов. Сколько студентов прочли только по одной книге? Сколько студентов не читали ни одной из трёх книг?

50. Каждый из студентов группы в зимние каникулы ровно два раза был в театре. При этом спектакли А, ВиСвидели соответственно 26, 12 и 24 студента. Сколько студентов в группе? Сколько из них видели спектаклиАиВ,АиС,ВиС?

51. Экзамены по математике сдавало 250 абитуриентов. Оценки меньше «5» получили 150 человек. Всего сдало экзамены 200 человек. Сколько абитуриентов сдало экзамены на «3» или «4»?

52. В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько ребят умеют плавать и играть в шахматы?

53. В течение недели в кинотеатре демонстрировались фильмы А, В, С. Из 40 студентов, каждый из которых посмотрел либо все три фильма, либо один из трёх, фильм А видели 13, фильм В – 16, фильм С – 19 студентов. Сколько студентов посмотрели все три фильма?

54. В поход ходили 80 % учеников класса, а на экскурсии было 60 % учеников класса, причём каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?

55. В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в математическом кружке, 11 — в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколько ребят занимаются и математикой, и биологией?

56. На дискотеке 80 % времени был выключен свет, 90 % времени играла музыка и 50 % времени шёл дождь. Какую наименьшую долю времени всё это обязано было происходить одновременно?

57. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Сколько человек заведомо знают все три языка?

58. Каких натуральных чисел от 1 до 1993 больше: тех, которые кратны 8, но не кратны 9, или тех, которые кратны 9, но не кратны 8?

59. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не кратны ни 2, ни 5? А не кратных ни 2, ни 3, ни 5?

60. Вычислить .

61. Найти nиз уравнения.

62. Найти коэффициент многочлена при.

63. Получить полиномиальную формулу для .

64. Получить биномиальную формулу для .

65. Доказать свойства сочетаний:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .