2.4.3 Задачи для самостоятельного решения

1. Какие множества замкнуты относительно: а) сложения; б) вычитания; в) умножения; г) деления; д) извлечения квадратного корня? Рассмотреть следующие множества: N,Z,Q,I,R.

2. Являются ли коммутативными и ассоциативными бинарные арифметические операции?

3. Проиллюстрировать на примерах некоммутативность возведения в степень.

4. Доказать свойства операций (композиция, объединение и пересечение соответственно) на множестве бинарных отношений:

а) ;

б) ;

в) .

5. Какими свойствами обладают операции * и , заданные таблицами Кэли:

*	a	b
a	a	a
b	b	a

	a	b
a	b	a
b	a	b

6. Какие из логических операций (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, сложение по модулю два) являются ассоциативными и коммутативными?

7. Являются ли коммутативными и ассоциативными бинарные операции над множествами (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность)?

8. Пусть и- бинарные отношения, заданные на множестве. Показать на примереинекоммутативность композиции отношений, если- «быть меньше»,- «быть больше по крайней мере на 2».

9. Какими свойствами обладает операция наQ:, гдеаиb– некоторые рациональные числа.

2.5 Практическое занятие № 10. Гомоморфизмы

2.5.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Множество М(Ø) вместе с конечным набором конечноместных операций,, где- арность операции, называетсяалгебраической структурой,универсальной алгеброй или простоалгеброй , здесь

М–основноемножество(несущеемножество,основа,носитель);

вектор арностей – тип;

множество операций –сигнатура.

Если в качестве допускаются не только функции, но и отношения, то множествоМвместе с набором операций и отношений называетсямоделью.

Отображение называетсягомоморфизмомалгебрыв алгебру, если выполняется условие:.

Проверка условия гомоморфизмазаключается в следующем:

а) в соответствии с левой частью условия сначала над элементами должна быть выполнена операция *, а затем результатвыполнения операции * отображается изАво множествоВ;

б) в соответствии с правой частью условия гомоморфизма требуется сначала выполнить отображения элементов а и bиз множества А в В, т.е. найтии, а затем надвыполнить операцию(заданную на множестве В), т.е.или;

в) условие гомоморфизма будет выполнено, если совпадет с.

Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Если А=В,то гомоморфизм называетсяэндоморфизмом, а изоморфизм –автоморфизмом.

Алгебры иназываютсягомоморфными, если существует гомоморфизм. Аналогично определяются изоморфные алгебры.

2.5.2 Примеры решения задач

Задача 1.Доказать, что мультипликативная группа положительных действительных чисел изоморфна аддитивной группе всех действительных чисел.

Решение.Алгебрыиизоморфны, так как существует биекция (всюду определенное, сюръективное, функциональное и инъективное соответствие)такая, что.

Задача 2. Доказать, что при изоморфизме единичный элемент переходит в единичный.

Решение. Обозначим черезенейтральный элемент в алгебре, которая изоморфна алгебре. Для любого элементаимеем:. Таким образом,. Это указывает на то, что–нейтральный элемент в группе.