- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
1.Несобственные интегралы и их свойства.
Опр.: Пусть ф-ция определена на промежуткеи интегрируема на любом отрезке содержащемся в этом промежутке. Величина, если указанный предел существует, называется несобственным интегралом Римана от ф-циипо промежутку(НИ-1)
Опр.: Пусть ф-ция определена на промежуткеи интегрируема на любом отрезке. Величина, если указанный предел существует, называется несобственным интегралом от ф-циипо промежутку(НИ-2)
Теорема 1: Пусть ифункции определенные на промежутке, интегрируемы на любом отрезке, и для них определены несобственные интегралы.
Тогда 1) Если и, то значения интегралапонимаемого как в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают.
2)При любых функцияинтегрируема в несобственном смысле наи справедливо равенство
3) Если , то
4) Если - гладкое, строго монотонное отображение, причем ипри, то несобств. интеграл от функциисуществует и справедливо равенствоДок-во: 1) Следует из непрер. Функции Ф(b)= ∫ab f(x)dx на отрезке [a;ω].
2) следует из того, что при b ϵ [a; w)
3) Следует из равенства
Справедливого при любых b,c ϵ [a; w).
4) Следует из формулы
замены переменной в определенном интеграле.
Теорема 2. Если f,g €C1[a; w) и существует предел lim(f(x)•g(x))(x→w), то функции f•g' и f'•g одновременно интегрируемы или не интегрируемы в несобственном смысле на [a; w) и в случае интегрируемости справедливо равенство
= f (x)•g(x)|wa-,где f(x) • g(x)|wa = lim f (x)•g(x) - f(a)•g(a) (x→w).
2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
Сходимость несобственного интеграла равносильна существованию предела функции
при
Теорема: Если функция определена на промежуткеи интегрируема на любом отрезке, то интегралсходится тогда и только тогда, когда для любогоможно указатьтак, что при любыхтаких, что, имеет место соотношение
Доказательство: Поскольку , то выписанное условие есть критерий Коши существования предела функциипри
3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
Опр.: Несобственный интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл(2). Функции, для которых интегралабсолютно сходится, называются абсолютно интегрируемыми на промежутке с концами
Теорема: Абсолютно сходящийся несобственный интеграл является сходящимся.
Доказательство. Ввиду того, что задан несобственный интеграл (1), сужение функцииинтегрируемо по Риману на любом отрезке. Отсюда по св-ву модуля определенного интеграла устанавливаем, что. Несобственный интегралсходится. Тогда по критерию Коши сходимости несобственного интеграла
Из приведенных выше соотношений по критерию Коши следует, что несобственный интеграл сходится.
Следствие 1: Если НИ (1) расходится, то расх и НИ (2).
Опр: Если НИ (1) сходится, а НИ (2) расх, то НИ (1) называется условно сходящимся.
Теорема 5. Если функция f(x) определена на [a;w), интегрируема на каждом отрезке [a;b] €[a;w)иf(x)>=0 на [a;w), то несобственный интеграл (1) сходится тогда и только тогда, когда функция ограничена[a;w).
Доказательство. Действительно, если f(x)>= 0на [a;w),то функция неубывающая на[a;w)и потому она имеет предел при b→w,b€[a;w)если и только если она ограничена. □
Теорема 6 (признак сравнения). Пусть функции f(x),g(x) определены на промежутке [a;w), неотрицательны и интегрируемы на любом отрезке [a;b] €[a;w). Если функция f(x) ограничена по сравнению с функцией g(x) при x→w, то:
а) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла;
б) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла.
Док-во: То, что f(x)=O(g(x)) при x→w, означает наличие некоторого числа ῆ ϵ [a;w), при котором справедливо соотношение f(x)≤L g(x), A xϵ [ῆ; w), где L – нек. пол.пост.
Определенные интегралы F(b)=и G(x)=
где bϵ[ῆ;w) на основании свойств интегрирования неравенств и линейности, а также оценки f(x)≤L g(x), A xϵ [ῆ; w) связаны соотношением f(b)≤L g(b), A bϵ [ῆ; w).
а) Пусть интеграл сходится. А значит и сходится интеграл . Сужение функцииg(x) на промежуток
[ῆ; w) знакоположительно на нем, и по теореме 5 функция G(b) ограничена сверху на [ῆ; w). Учитывая, что L - вещ. полож. число, из неравенства f(b)≤L g(b), A bϵ [ῆ; w) следует ограниченность на [ῆ; w) знакоположительной функции F(b). Следовательно (на осн.теоремы5) несобственный интеграл сходится. Поскольку
= +,
а интеграл определенный, заключаем, чтосходится.
б) Пусть несобственный интеграл расходится. Допустим противное, что интеграл сходится. Однако, если интегралсходится, то по доказанному выше несобственный интегралявляется сходящимся. Получили противоречие.