42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей

Теорема8. Пусть ф-ции ,n=1,2,…непрерывны на Е и функциональный ряд равном.сход. к суммеS(x) на Е. Тогда этот ряд можно почленно интегрировать по любому отр-ку , причем имеет место рав-во

(1)

Доказательство. Имеем , где. ФункцияS(x) – непрерывна на Е. Т.к. , непр. на Е, тонепрер. на Е, откуда следует непрер.на Е и

или

(2)

где . Посколькуна Е, тона Е. Это озн., что∃ℕ:n>N,вып. нерав.

Тогда

т.е. Поэтому, переходя в (2) к пределу при, получим (1)

43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.

Теорема9.Пусть функции непр. дифференцируемы на пром-ке Е и ряд, составленный из производных

равномерно сходится на Е. тогда, если функц. ряд сх. к суммеS(x), то ф-я S(x)непр. дифференцируема на Е и

(1)

т.е. ряд можно почленно дифференцировать.

Док-во. В силу усл-я теоремы, ф-я непрерывна на Е, а сам рядможно почленно интегрировать:

, где , т.е.(2)

Дифференцируя (2), получим ,. Подставляя значениеполучим (1).

44. Степенной ряд, радиус сходимости.

Опред: Ряд вида , где, наз степенным рядом, а числаназ коофициентами степенного ряда. Приполучим(1)

Теорема 10(Первая теорема Абеля): Если степенной ряд

(1) Сходится при , то он сходится и притом абсолютно, при любом, для которого.Доказательство.Пусть ряд сходится. Тогда егоn-й член стремится к нулю при. Поэтому последовательность {} ограничена, т.е. сущ. такая пост. М>0, что ||М. В силу этого, дляn-го члена ряда (1) имеет местоЕсли, то ряд, являясь суммой геом. прогр. со знаменателем , сходится. Поэтому согласно призн. сравн., сх. и ряд, а это озн. абс. сходимость ряда (1)

Опр.: Пусть дан степенной ряд ЕслиR – неотрицательное число или обладает тем свойством, что при всехz, для которых ряд сходится, а при всехz, для которых , ряд расходится, то рядR называется радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема 11.У всякого степенного ряда существует радиус сходимостиR. Внутри круга сходим., т.е. при любом , для которого, рядсход.абсолютно. На любом круге, гдеr<R, ряд сх. равномерно.

Док-во. Обозначим ч-з А мн-во всех неотр. чисел, при которых ряд сх. Приz=0 этот ряд сх., поэтому мн-во А не пусто и, след-но, имеет конечную или бесконечную верхнюю грань. Покажем, что supA=R.

Действительно, пусть Cи . Существует такое. В силу определения мн-ва А, дляуказ.xряд сход., след-но, согласно первой т-м Абеля, в выбр. точкесх. абс. ряд.

Если |z|<R, то выберем такое действит. число х, что R<x<|z|; тогда снова, в силу опр. мн-ва А, ряд в такой точке х расх. Поэтому для выбранногоzрасх. и ряд .

Итак, R является радиусом сходимости.

44. Если теперь 0<r<R, то , по доказанному, ряд приz=r абс. сх., т.е. сх. числ. ряд . А т.к. для любой точки zкруга |z|r имеем , то согласно призн. Вейерштрасса, на этом круге рядсх. равномерно.

Т3(Вторая теорема Абеля): Если ряд (1) сход при z=R, то он сход равномерно на отр [0,R].

45. Формула Коши-Адамара

Теорема: Пусть R – радиус сходимости степенного ряда . тогда

(1)

Формула (1) называется формулой Коши-Адамара.

Доказательство: Положим . Рассмотрим сначала случай. Покажем, что в этом случае ряд сходится при любом. Возьмем к.-л.и такое, чтоТогда, что, отсюда по призн. сравнения следует, что рядсходится абсолютно, а значит, и просто сходится при данномz, а т.к. z было произвольно, то это означает, что R=. Возьмем случай. Покажем, что в этом случаеряд расходится при любом. Действительно, если, то существует подпоследовательность, такая, что. Поэтому каково бы ни было, существует такой номер, что приk>имеем. Таким обр., не выполняется необх. усл-е сходимости ряда – стремление к нулюn-го, поэтому при данном ряд расх., а т.к.- произвольно, то это означает, чтоR=0.

Пусть . Покажем, что при всякомz таком, что ряд сходится. Выберемтак, чтобы. Тогда число, определяемое равенством, будет удовлетворять неравенству. Согласно свойству верхнего предела, что прибудет, и поэтому. След-но и в этом случае не выполняетя необх. усл-е сходимости ряда, и поэтому для рассматриваемогоz ряд расх.

Таким обр. ряд сходится, если, а это и означает, что