23

1.Показники безвідмовності відновлюваних об’єктів. Математичні моделі безвідмовності.

1.1. Поняття потоку відмов

Відновлюваний об'єкт у процесі тривалої експлуатації може перебувати в кожен момент часу в одному з станів: працездатному (е₀) або непрацездатному (е₁). Графік стану такого об'єкта й тимчасова діаграма його функціонування зображені на рис. 2.5, де ,,- відповідно наробіток об'єкта (i-1)-м й i-ми відмовами й час його відновлення після i-ї відмови.

Під потоком відмов розуміють послідовність моментів виникнення відмов, що чергуються з моментами відновлень (рис. 2.5). Він може характеризуватися властивостями ординарності, стаціонарності й відсутності післядії.

Рис. 2.5

Ординарність потоку означає, що поява одночасно двох і більше відмов неможливі. У математичній формі цю умову записують так:

,

де - імовірність появи двох і більше відмов га інтервалі.

Стаціонарність потоку полягає в тому, що імовірність виникнення деякого числа відмов у проміжку часу не залежить від положення цієї ділянки на осі часуt, а залежить лише від довжини проміжку. Математично умову стаціонарності можна записати в такий спосіб:

.

Відсутність післядії означає, що ймовірність виникнення деякого числа відмов у проміжку часу , не залежить від того, скільки відмов виникло до моменту часув проміжку часу, тобто

.

Це означає, що ймовірність появи відмов у проміжку часуй – у проміжку .

Потік відмов, що володіє одночасно властивостями ординарності й відсутності післядії, називається Пуасонівським. Якщо, крім того, він є стаціонарним, то такий потік називається найпростішим. Найпростіші потоки широко використаються в теорії надійності й масового обслуговування.

Використовуючи поняття потоку відмов, розглянемо основні показника безвідмовності відновлюваних об'єктів: параметр потоку відмов і середній наробіток на відмову.

1.2. Параметр потоку відмов

Як характеристику потоку відмов використають провідну функцію потоку , що визначається як математичне очікування числа відмов за часt, тобто, деr(t) – число відмов за час t.

Згідно до ДСТУ 2860-94. параметр потоку відмов - це відношення математичного очікування числа відмов відновлюваного об'єкта за досить малий його наробіток до значення цього наробітку.

Відповідно до наведеного визначення

де – математичне очікування числа відмов в інтервалі;

–імовірність появи в інтервалі (t, t+Δt) точно k відмов.

На практиці в більшості випадків можна вважати, що потік відмов об'єкта є ординарним. Тоді вираз для параметра потоку відмов приймає наступний вид:

,

де – нескінченно мала величина більш високого порядку малості, ніж .

З формули (2.15) видно, що параметр потоку відмов пов'язаний із провідною функцією потоку співвідношенням

.

Якщо випадкові значення наробітку об'єкта між відмовами мають той самий закон розподілу із густиною , то параметр потоку відмов виражається через густинанаступним рівнянням [7]:

.

Це рівняння не завжди вдається вирішити до кінця. Тут доцільно використати метод послідовних наближень, відповідно до якого роблять послідовні обчислення за формулою

доти, поки значення йне будуть збігатися. Як нульове наближеннярекомендується вибирати інтенсивність відмов .

На рис. 2.6 проведена залежність при нормальному розподілі наробітку об'єкта між відмовамиТ.

Рис.2.6.

З рисунку видно, що спочатку параметр потоку відмов робить ряд коливань, а потім прагне до деякого значення, що встановилося:

. (2.16)

Тривалість коливань обернено пропорційна середньому квадратичному відхиленню випадкової величали T. Помітно, що вираз (2.16) справедливий при будь-якому законі розподілу .

Якщо випадкова величина T підлягає експонентному закону з параметром λ, то неважко показати, що .

Статистична оцінка параметра потоку відмов може бути визначена за формулою

, (2.17)

де – число об'єктів, що беруть участь у випробуваннях;

–число відмов -го об'єкта, що виникли в проміжку .