58 Глава 4. КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Известно, что возможно построение равновероятных булевых функций с нелинейностью, удовлетворяющей неравенствам 2n−1 − 2n2 ≤ Ng < Nmax и

2n−1 − 2(n−1)2 ≤ Ng < Nmax для четного и нечетного n соответственно.

4.2. Критерии распространения и корреляционная иммунность

Криптографическая практика показывает, что булевы функции, используемые для построения генераторов гаммы, кроме равновероятности и высокой нелинейности должны обладать рядом более тонких свойств, ослабляющих связи между выходами функций и последовательностями соответствующих аргументов [11].

Для формулировки соответствующих определений используются понятия подфункции булевой функции и ее производной.

Назовем производной булевой функции	f (x) по направлению	u GF n ,
		2

u ≠ 0, функцию вида Du f (x)= f (x) f (x u). Введем также обозначение Du,t f (x)= Du f (x), при ограничении 1 ≤ wt(u)≤ t .

Подфункцией булевой функции f (x1, x2 ,K, xn ), полученной фиксацией k

переменных на местах 1≤ i1 < i2 <K< ik ≤ n с помощью вектора значений

a = (a ,a	2	,Ka	k	), называется функция f a (x), определяемая строками таблицы
1						I
x1, x2 ,Kxn , f (x1, x2 ,K, xn ), для которых xi j = a j ,							j =1,K,k .
В каждой такой строке аргументами функции							fIa (x) являются аргументы
f (x) с номерами,					не принадлежащими множеству I ={i1,i2 ,K,ik }, а значение
f a (x) равно f			(x , x ,K, x ).
I				1	2	n

Изучение свойств булевых функций в связи с задачей конструирования преобразований, используемых при построении блочных шифров, привело к идее строгого лавинного критерия (Strict Avalanche Criteria, SAC).

Критерии распространения и корреляционная иммунность 59

Подобные критерии, в той или иной мере, отражают свойство непредсказуемости поведения функции f при модификации (неизвестных) аргументов. Например, требуется, чтобы минимальное отклонение от истинного значения аргумента приводило к максимально быстрому, лавинному, распространению ошибок в рекуррентной последовательности

xn+1 = f (x1, x2 ,K, xn ).

	Булева функция		f (x) удовлетворяет строгому лавинному критерию SAC,
если	D	f (x) - равновероятная функция для любого u GF n .
	u,1		2
	Обобщением SAC является SAC(k) - строгий лавинный критерий порядка k,
1 ≤ k < n . Функция			f (x) удовлетворяет SAC(k), если любая ее подфункция

fIa (x), полученная фиксацией k переменных, удовлетворяет обычному критерию SAC.

Заметим, что в самом SAC переменные не фиксируются, поэтому для критерия SAC часто используется обозначение SAC(0).

В критерии SAC(k), по определению, допускается модификация произвольного, но только одного из аргументов.

Модификация нескольких аргументов рассматривается в т.н. критерии распространения PC(l) степени l (Propagation Criterion).

Функция f (x) удовлетворяет критерию распространения PC(l) степени l,

если любая ее производная Du,l f (x), u GF2n , равновероятна.

В случае, если известно, что Du,l f (x) равновероятна для конкретного вектора u, говорят, что f (x) удовлетворяет критерию распространения PC(l)

степени l относительно вектора u.

Общий случай приводит к формулировке критерия распространения степени l, порядка k.

x = x1,K, xn .

60 Глава 4. КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Функция

f (x) удовлетворяет критерию распространения PC(l,k) степени

l,

порядка k,

1<l ≤n,

1≤k <n,

если

для любой ее

подфункции fIa (x),

полученной фиксацией k

переменных,

все производные

D

f a (x),

u GF n ,

u,l

I

2

равновероятны.

Для таких функций, в частности, нецелесообразно при известной

последовательности ur = xr

x ,

ur , xr

GF n , искать в короткой гамме вида

i

i+1

i

i

i

2

γ

i

= f (xr ) номера тактов,

для

которых

биты гаммы зависимы. Причем это

i

верно, даже если k битов аргумента x1 , а значит k битов для всех xi , известны.

		В самом деле,			если функция удовлетворяет PC(l,k), то при фиксации
соответствующих					k	переменных	зависимые	биты	гаммы		γi ,
γ	j	= f (x (x	j	x ))могут появиться лишь в том случае, когда					wt(xr x	j	)> l .
		i		i					i
Очевидно, при заданном u , вероятность повторения векторов вида ur = xi										xj ,

содержащих l единиц на фиксированных местах, уменьшается с возрастанием l. Поэтому, чем больше l, тем длиннее требуется отрезок гаммы для появления зависимых битов.

Формулировки критериев распространения показывают, что подфункции булевых функций, приемлемых для соответствующих криптографических приложений, должны обладать специальными свойствами.

Со свойствами подфункций связано также понятие корреляционной иммунности порядка m, которое отражает отсутствие статистической зависимости между значениями функции f (x) и подмножествами мощности m

переменных, входящих в состав полного аргумента

Функция f (x) удовлетворяет критерию корреляционной иммунности порядка m, если для любой совокупности I ={i1,i2 ,K,im } номеров m

Критерии распространения и корреляционная иммунность 61

переменных		1≤ i1 < i2 <K< im ≤ n		и	для	любых	наборов
a = (a ,a ,Ka	m	) GF m	выполняется равенство wt(f a )= wt(f ) 2m .
1 2		2			I

Рассмотрим случай m = n. Таблица, определяющая каждую подфункцию, состоит в этом случае из одной строки.

Свободных переменных нет, элемент вектора значений может равняться нулю или единице. Таким образом, подфункция fIa = const и wt(fIa ) {0,1}.

Если критерий выполняется,		wt(f ) {0,2n }, т.е. функция f (x) постоянна.
Оказывается, что только две функции достигают корреляционного
иммунитета	степени	m=n−1:	f (x1,K,xn )=x1 K xn	и

g(x1,K,xn )=1 x1 K xn .

Заметим, кроме того, что не все корреляционно иммунные функции, отличные от констант, являются равновероятными.

В случае, когда функция f (x) равновероятна, wt(f )=2n−1. Для каждой пары a,I таблица, определяющая подфункцию, состоит из 2n-m строк, количество переменных равно n-m. В этом случае критерий корреляционной иммунности

приобретает вид					wt(fIa )= 2n−m−1 , т.е. соответствующая подфункция должна
быть равновероятной.
Критерий корреляционной иммунности эквивалентен следующему
определению в вероятностных терминах.
Функция f (x1,K, xn ) является корреляционно иммунной порядка m, если
для любой			совокупности			I ={i1,i2 ,K,im }		номеров m	переменных
1≤i1 <i2 <K<im ≤ n ,						1≤ m ≤ n ,	при	любых	значениях
a = (a ,a	2	,Ka	m	) GF m выполняется соотношение
1					2

c(m,a, I )= P xi j = aj f (x)= 0, j =1,Km = 21m .