- •Задачи на классическое определение вероятности
- •Задачи на геометрическое определение вероятности
- •Задачи на формулу Бернулли
- •Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задачи на теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа)
- •Случайные процессы
- •Задачи на классическое определение вероятности
- •Задачи на геометрическое определение вероятности
- •Задачи на формулу Бернулли
- •Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задачи на теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа)
Задачи на теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа)
Задача 1: В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между m1 и m2. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди n и его соответствующую вероятность. n = 6400, m1 = 3120, m2 = 3200.
Решение: Используем интегральную теорему Лапласа: , где n = 6400, p = 0.5, q = 1-p = 0.5, m1 =3120, m2 = 3200, Ф - функция Лапласа (значения берутся из таблиц). Подставляем:Найдем наивероятнейшее число включенных ламп среди n из неравенства: Отсюда m0=3200. Найдем вероятность по локальной теореме Лапласа: Ответ: 0,4772; 3200; 0,0099752..
Задача 2: Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов. р= 0,024, m=6.
Решение: Используем локальную теорему Лапласа: . Здесь n=1000, k =6, p=0,024, q= 1-p = 0,976, значения функции берутся из таблицы. Подставляем: Ответ: 0,000084
Задача 3: Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами n = 200, p = q = 1/2 (вероятность выпадения орла/решки). Так как число n достаточно велико, будем использовать интегральную теорему Лапласа для подсчета вероятности: , где m1 =90, m2 = 110, Ф - функция Лапласа (значения берутся из таблиц). Подставляем: Ответ: 0,8414.