2.2. Перевод чисел из одной системы в другую
ДЛЯ ПЕРЕВОДА ЦЕЛОГО ЧИСЛА N, представленного в системе счисления с основанием R, в систему с основанием Q необходимо данное число делить на основание Q по правилам системы с основанием R до получения целого остатка, меньшего Q. Полученное частное снова необходимо делить на основание Q до получения нового целого остатка, меньшего Q, и т.д., до тех пор, пока последнее частное будет меньше Q. Число N в системе с основанием Q представится в виде не упорядоченной последовательности остатков деления в порядке, обратном их получению (иными словами, старшую цифру числа N дает последнее частное).
Таблица 1
-
q=10
q=2
q=8
q=16
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
Примеры:
Перевести целые десятичные числа А(10) = 22 в двоичную систему счисления и В(10) = 8625 в шестнадцатиричную систему счисления.
-
22
2
22
11
2
0
10
5
2
1
4
2
2
1
2
1
0
направление записи
22(10) =10110(2)
-
8625
16
80
539
16
62
48
33
16
4859
32
2
145
48
1
144
11
1
направление записи
8625(10) =21В1(16)
ПЕРЕВОД ПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ, представленной в системе с основанием R, в систему с основанием Q заключается в последовательном умножении этой дроби на основание Q по правилам системы счисления с основанием R, причем перемножают только дробные части. Дробь N в системе с основанием Q представляется в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. (Иными словами, старший разряд является первой цифрой произведения). Количество последовательных произведений определяет количество цифр в полученном числе.
Пример. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,7243.
Основание исходной системы счисления R=10. Основание новой системы счисления Q=2.
Согласно приведенного правила исходное число 0,7243 надо умножать на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с). Выполним серию умножений до получения, например, шести цифр в двоичном числе:
Искомые цифры дроби:
0,7243 * 2 = 1,4486 1 -> старшая цифра
0,4486 * 2 = 0,8972 0
0,8942 * 2 = 1,7944 1
0,7944 * 2 = 1,5888 1
0,5888 * 2 = 1,1776 1
0,1776 * 2 = 0,3552 0
0,3552 * 2 = 0,7104 0
Искомое представление число 0,7243 в двоичной системе счисления -> 0,101110.
Обратите внимание, что для получения шести цифр дроби выполнено семь умножений. Это связано с необходимостью выполнить округление, чтобы представить дробь заданной длины более точно.
Из последнего примера, конечная дробь в одной системе счисления может стать бесконечной в другой. Это утверждение справедливо для всех случаев, когда одна система счисления не может быть получена возведением в целую степень основания другой.
ПЕРЕВОД СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ. Оба описанные ранее правила используются совместно, т.е. целая часть числа переводится по первому правилу, а дробная - по второму, и затем каждая часть числа записывается на своем месте.
Пример: Перевести десятичное число А (10) = 22,125 (10) в двоичную систему счисления.
А(10) = 22 (10) = 10110 (2); А(10) = 0,125 (10) =0,001(2);
А (10) = 22,125 (10) =10110,001(2).
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ И НАОБОРОТ. Выполняется тетрадами (16=24). Тетрада - четырехразрядное двоичное число. При переводе в двоичную систему счисления каждый шестнадцатиричный символ записывается соответствующей тетрадой согласно таблицы 2.
Таблица 2
|
Q=10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Q=16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
тетрада |
0000 |
0001 |
0010 |
0011 |
0100 |
0101 |
0110 |
0111 |
|
Q=10 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
Q=16 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
тетрада |
1000 |
1001 |
1010 |
1011 |
1100 |
1101 |
1110 |
1111 |