Загальна фізика / Практичні заняття / Методичні вказівки до практичних занять з фізики №3

Фаза коливання дорiвнює аргументу функцiї sin в рiвняннi (12)

ϕ = ω t

r

!

=

2π

t

r

! .

(19)

T

− v

− v

Звiдки

ϕ =

2 · 3, 14

4

−

45

!

5, 24 [рад.].

(20)

15

1, 2

≈

Змiщення точки шнура знайдемо з рiвняння хвилi, коли t = 4 c; r = 45 м

X(r, t) = A sin ω t

−

r !

= 2

·

10−2

·

sin 5, 24

≈ −

1, 73

·

10−2

[м]. (21)

v

Вiдповiдь: λ = 18 м, ϕ ≈ 5, 24 рад., X ≈ −1, 73 · 10−2м.

Задача №3. Двi точки знаходяться на вiдстанi вiдповiдно 6 i 12 м вiд джерела коливань. Знайти рiзницю фаз коливань цiх точок, якщо перiод коливань становить 0,04 с, а швидкiсть їх розповсюдження дорiвнює 300 м/с.

r1	=	6 м
r2	=	12 м
T	=	0, 04 c

v= 300 м/с

ϕ= ?

Рiвняння коливань двох точок мають вигляд:

X1,

2 = A sin ω

t

−

r1, 2

! ,

(22)

v

або, враховуючи, що ω =

2π

,

T

X1, 2 = A sin

2π

t

−

r1, 2

! .

(23)

T

v

Звiдки фази коливань в двох точках дорiвнюють

ϕ1, 2 =

2π

t

−

r1,

2

! ,

(24)

T

v

а рiзниця фаз коливань в цих точках є

ϕ =

2π

t

r1

!

t

r2

!! =

2π

(r2

r1).

(25)

T

− v

−

− v

T v

−

11

Остаточно маємо
ϕ =	2 · 3, 14	(12	−	6) = π [рад.].	(26)
	0, 04 300

·

Тобто хвилi приходять у цi точки в протифазах.

Вiдповiдь: ϕ = π рад.

Задача №4. Коливальний контур, який складається з повiтряного конденсатора з двома пластинами по 100 см2 кожна i котущки з iндуктивнiстю 1 млГн, резонує на довжинi хвилi 10 м. Визначити вiдстань мiж пластинами конденсатора.

S	=	100 см2	S	=	1	·	10−2 м2
L	=	1 мкГн	L	=				6	Гн
					1 · 10−
λ	=	10 м	λ	=			10 м
d	=	?	d	=			?

Вiдстань мiж пластинами конденсатора знаходимо за формулою електроємностi C плоского конденсатора

C =	ǫ0 ǫ S	d =	ǫ0 ε S	,	(27)
	d		C

S – площа однiєї пластини конденсатора;

d – вiдстань мiж пластинами конденсатора;

ǫ0 = 8, 85 · 10−12 Ф/м,

ǫ – вiдносна дiелектрична проникнiсть середовища (для вакууму ǫ = 1).

Електроємнiсть конденсатора знаходимо за допомогою формули Томсона

√			T 2
T = 2π L C		C =		.	(28)
			4π2 L

Перiод коливань, який знайдемо за допомогою визначення довжини хвилi λ = c · T (де c = 3 · 108 м/с – швидкiсть свiтла у вакуумi)

			T =	λ	.		(29)
				c
використаємо для знаходження d пiсля пiдстановки вир. (74) в вир. (73)
	ǫ0 S		ǫ0 S c2 4π2 L			= 3, 14 · 10−3 [м].
d =		=					(30)
	C		λ2

Вiдповiдь:

d = 3, 14 · 10−3 м.

12

3.2 Iнтерференцiя та дифракцiя свiтла

Оптична довжина шляху свiтлової хвилi

L = n l,

(31)

де l – геометрична довжина шляху свiтлової хвилi в ссередовищi з показником заломлення n.

Оптична рiзниця ходу двох свiтлових хвиль

= L1 − L2 = l1nn − l2n2.

(32)

Умова спостереження iнтерференцiйного максимуму

= ±k λ (k = 0, 1, 2, . . .),

(33)

де λ – довжина хвилi.

Умова спостереження iнтерференцiйного мiнiмуму

= ±(2 k + 1)	λ	(k = 0, 1, 2, . . .).	(34)
	2

Оптична рiзниця ходу свiтлових хвиль, яка виникає при вiдбиттi монохроматичного свiтла вiд верхньої та нижньої поверхонь тонкої плiвки

λ

= 2 d qn2 − sin2 i ±

,

(35)

2

або

λ

= 2 d n cos r ±

,

(36)

2

де d – товщина плiвки; n – показник заломлення

матерiалу плiвки; i i r – вiдповiдно кути падiння

та заломлення свiтла у плiвцi.

Радiус свiтлих rсв i темних rтемн кiлець Нью-

тона у вiдбитому свiтлi

rсв = v

(k = 1,

2,

3, . . .),

(37)

(2 k

1) R λ

u

−

2

u

t

rтемн = √

R k λ

(k = 1, 2,

3,

. . .),

(38)

Рис. № 2:

де k – номер кiльця, R – радiус кривини лiнзи.

13

Умова спостереження дифракцiйних максимумiв вiд однiєї щiлини – дифракцiї Фраунгофера

	a sin ϕ = (2 k + 1)			λ		(k = 0, 2, 3, . . .),	(39)
			2
Умова спостереження дифракцiйних мiнiмумiв вiд однiєї щiлини
a sin ϕ = 2 k	λ	(k = 0, 2, 3,	. . .),			(40)
2
де a – ширина щiлини; ϕ – кут вiдхилення про-
менiв дифракцiї; k – порядок дифракцiйного
максимуму або мiнiмуму.
Умова спостереження головних максимумiв вiд
дифракцiйної решiтки
d sin ϕ = k λ		(k = 0, 2, 3,	. . .),			(41)

де d = a + b – перiод решiтки; a – ширина щiлини; b – ширина промiжку мiж щiлинами; ϕ –

кут вiдхилення промiнiв дифракцiї; k – порядок Рис. № 3: головного максимуму.

Роздiльна здатнiсть R дифракцiйної решiтки визначається за формулою:

R =		λ		= k N,	(42)
		λ
де N – повне число щiлин решiтки;				λ – найменша рiзниця довжин хвиль

двох сусiднiх спектральних лiнiй λ i λ + λ, при якiй цi лiнiї можуть бути видимими роздiльно в спектрi, який одержується за допомогою даної решiтки.

Задача №5. На мильну плiвку з показником заломлення n = 1, 33 падає вздовж нормалi монохроматичне свiтло з довжиною хвилi λ = 0, 6 мкм. Вiдбите свiтло внаслiдок iнтерференцiї має найбiльшу яскравiсть. Яка може бути найменша товщина плiвки ?

n	=	1, 33	n	=	1, 33
λ	=	0, 6 мкм	λ	=	1 · 10−5 м
i	=	0	i	=	0
dmin	=	?	dmin	=	?

14

Оптична рiзниця ходу вiдбитих променiв свiтла вiд верхньої та нижньої по-

	верхонь плiвки:			λ
	= 2 d qn2 − sin2 i −				,	(43)
				2

де d – товщина плiвки; i – кут падiння променiв на плiвку; n – показник заломлення речовини плiвки.

	Умова спостереження iнтерференцiйного максимуму: = 2 k							λ	приводить до
								2
	виразу
				λ		λ
	2 d qn2 − sin2 i −				= 2 k		(44)
				2		2

	або
				λ
	2 d qn2 − sin2 i = (2 k + 1)				, (45)
				2
	де k (k = 0, 1, 2, . . .) – порядок
	iнтерференцiйного максимуму.

Товщина плiвки буде мiнiмальною dmin, якщо k = 0. Тому, беручи до уваги, що i = 0, отримаємо рiвняння для dmin

	2 dmin n =	λ	.		(46)
		2
	Звiдки				0, 6 · 10−6
	dmin =		λ	=
			4n
					4 · 1, 33

Вiдповiдь: dmin ≈ 0, 113 · 10−6 м.

Рис. № 4:

≈ 0, 113 · 10−6 [м].

(47)

Задача №6. На щiлину шириною 0,1 мм падає паралельний пучок свiтла вiд монохроматичного джерела (λ = 0, 6 мкм). Визначити кут ϕ вiдхилення променiв, якi вiдповiдають першому дифракцiйному максимуму.

a = 0, 05 мм

a = 0, 05

·

10−3 м

λ

=

0, 6 мкм

λ

=

6

м

1 · 10−

k

=

1

k

=

1

ϕ1

=

?

ϕ1

=

?

Умова спостереження максимуму свiтла при дифракцiї на щiлинi

a sin ϕ = (2 k + 1)

λ

,

(48)

2

15

де a – ширина щiлини; ϕ – кут дифракцiї (вiдхилення); λ – довжина хвилi свiтла; k – порядок дифракцiйного максимуму.

Звiдки		λ
	(2k + 1)
ϕ = arcsin		2		(49)
	a

Перший дифракцiйний максимум буде спостерiгатися пiд кутом ϕ1, коли в вир. (42) k = 1

ϕ1	= arcsin	(2 · 1	+ 1) · 0, 6 · 10−6	= 1o 12′.	(50)
		2	· 0, 05 · 10−3

Вiдповiдь: ϕ1 = 1o 12′

Задача №7. На дифракцiйну решiтку у напряму нормалi до її поверхнi падає монохроматичне свiтло. Перiод решiтки дорiвнює 2 мкм. Який найбiльший порядок дифракцiйного максимуму дає ця решiтка у випадку червоного свiтла (λ = 0, 7 мкм).

d	=	2 мкм	d	=	2	·	10−6		м
λ	=	0, 7 мкм	λ	=			10−	6	м
					7 ·
kmax	=	?	kmax	=			?

Умова спостереження головних максимумiв вiд дифракцiйної решiтки

d sin ϕ = k λ (k = 0, 2, 3, . . .),

(51)

де d – перiод решiтки; ϕ – кут вiдхилення промiнiв дифракцiї; k – порядок головного максимуму; λ – довжина хвилi монохроматичного свiтла, яке падає на решiтку.

Оскiльки sin ϕ не може бути бiльше, нiж 1, то k не може бути бiльше, нiж λd . Тобто

	k	≤	d	≤	2 · 10−6					= 2, 86.	(52)
			λ						6
					0, 7	·	10	−
	Враховуючи те, що порядок максимумiв є цiле число, то
					kmax = 2.						(53)
	Вiдповiдь: kmax = 2.

16

Задача №8. Радiус r2D другого темного кiльця Ньютона у вiдбитому свiтлi дорiвнює 0,4 мм. Визначити радiус кривини R плоскоопуклої лiнзи, яка взята для дослiду, якщо вона освiтлюється монохроматичним свiтлом з довжиної хвилi λ = 0, 64 мкм.

rD

= 0, 4 мм

rD

= 0, 4

·

10−3 м

2

=

0, 64 мкм

2

6

м

λ

λ

= 0, 64 · 10−

k

=

2

k

=

2

R

=

?

R

=

?

Радiус темних кiлець Ньютона у вiдбитому свiтлi:

rkD = √

k R λ,

(54)

де k – номер кiльця; R – радiус кривини плоскоопуклої лiнзи; λ – довжина хвилi монохрроматичного вiдбитого свiтла.

Звiдки				rkD 2
			R =		.			(55)
				k λ
Виходячи з умови задачi (k = 2), отримаємо
R =	r2D 2	=	0, 42 · 10−6			6	= 0, 125 [м].	(56)
Вiдповiдь: R = 0, 125	2 λ		2 · 0, 64 · 10−
	м.

3.3Закон Малюса

Закон Малюса визначає iнтенсивнiсть I свiтла, яке проходить через аналiзатор T2, якщо на поляризатор T1 приходить прироодне свiтло, iнтенсивнiсть якого дорiвнює I0, за формулою

I = I0 cos2 α, (57)

де α – кут мiж площиною плоскополяризованого свiтла, яке пройшло через поляризатор.

17

Задача №9. Визначити, в скiльки разiв зменшиться iнтенсивнiсть природного свiтла, яке проходить крiзь два поляризатори, розташованi так, що кут мiж їх головними плоскостями дорiвнює 45o, а в кожному з нiколей витрачається 5 % iнтенсивностi свiтла, яке падає на нiколь.

6	α	=	45o	6	α	=	45o
η		=	5 %	η		=	0,05
Iпр/I2		=	?	Iпр/I2		=	?

Через поляризатор (або перший нiколь), пройде свiтло, iнтенсивнiсть I1 якого дорiвнює:

I1 = (1/2) · (1 − η) Iпр, (58)
де Iпр - iнтенсивнiсть природ-
ного свiтла. Формула (52) вра-
ховує те, що при проходжен-
нi свiтла крiзь нiколь, витра-
чається η = 0, 05 частка iн-
тенсивностi природного (депо-
ляризованого) свiтла, а iнтен-
сивнiсть свiтла, яке проходить
крiзь нiколь пропорцiйна ве-
личнi (1 − η) = 0, 95.
Крiзь аналiзатор (другий по-
ляризатор) пройде свiтло, iн-
тенсивнiсть I2 якого визна-	Рис. № 6:
чається за законом Малюса
I2 = I1 · (1 − η) cos2 α,		(59)

де враховано, що тiльки (1 −η) = 0, 95 частка свiтла проходить i крiзь другий нiколь.

Iнтенсивнiсть свiтла, яке проходить крiзь два нiколi дорiвнює

	1			2		1		2	2
I2 =		· (1	− η) Iпр · (1	− η) cos	α =		· (1	− η)	Iпр cos α.	(60)
	2					2

Для отримання вiдповiдi задачi треба знайти вiдношення Iпр/I2, яке вiдповiдає на питання, в скiльки разiв зменшиться iнтенсивнiсть свiтла, яке пройде крiзь два нiколi

Iпр	=	1			(61)
		(1/2) · (1 − η)2	Iпр cos2
I2				α

18

Остаточно отримаємо
	Iпр	=	1		= 44, 44	(62)
			0, 5 · 0.952	· 0, 712
	I2

Вiдповiдь: Iпр/I2 = 44, 44.

3.4Закон Брюстера

Закон Брюстера визначає кут iБрст падiння свiтла, при якому вiдбитий вiд дiелектрика з вiдносним показником заломлення n21, стає повнiстю поляризованим

tg iБрст = n21.

(63)

Задача №10. Кут максимальної поляризацiї при вiдбиттi свiтла вiд кристала кам’яної солi дорiвнює 57o. Визначити швидкiсть поширення свiтла цьому кристалi.

iБр = 57o

v = ?

Для визначення швидкостi свiтла в кристалi необхiдно знати показник заломлення кристала.

Згiдно iз законом Брюстера тангенс кут максимальної поляризацiї для вiдбитого свiтла дорiвнює вiдносному показнику заломлення кристала i оточуючого середовища:

tan iБр = n21	=	n2	.	(64)
		n1

Якщо кристал знаходиться в повiтрi, то абсолютний показник заломлення повiтря n1 = 1 i формула закону Брюстера спроститься

tan iБр = n21 = n2			(65)
Вiдомо, що абсолютний показник заломлення кристала n2 дорiвнює
n2 =	c	,	(66)
	v

де c – швидкiсть свiтла в вакуумi; v – швидкiсть свiтла в кристалi.

Звiдки

v =	c	=	c	=	3 · 108	= 1, 91	·	108	[м/с].	(67)
			tan iБр
	n2				1, 54

Вiдповiдь: v = 1, 91 · 108 м/с.

19

3.5Кут повороту площини поляризацiї свiтла

Кут повороту площини поляризацiї ϕ монохроматичного свiтла при проходженнi його крiзь шар оптично активної речовини товщиною d:

– для кристалiв i чистих рiдин

ϕ = α d,

(68)

– для оптично активних розчинiв

ϕ = [α] n d,

(69)

де α, ([α]) – питома обертання, число, яке чисельно дорiвнює куту повороту площини поляризацiї свiтла; – масова концентрацiя розчину.

Задача №11. Природне монохроматичне свiтло падає на систему, яка включає два схрещених нiколi, мiж якими знаходиться кварцова пластинка товщиною 4 мм, яка вирiзана перпендикулярно до оптичної осi. В скiльки разiв зменшиться iнтенсивнiсть свiтла, яке виходить з оптичної системи, якщо питоме обертання площини поляризацiї кристалом кварц, дорiвнює 15 град/мм ?

	d	=	4 мм	d	= 4		·	10−3 м
. α		=	15 град./мм	α	=				3	град/м
						15 · 10
	Iпр/I2	=	?	Iпр/I2	=				?

Згiдно з законом Малюса (I2 = (1/2) Iпр cos2 α) iнтенсмвнiсть свiтла, яке проходить крiзь систему схрещених нiколiв, дорiвнює нулю, бо кут α = 90o.

Пластинка кварцу повертає площину поляризацiї свiтла згiдно з (62) на кут ϕ, який дорiвнює

ϕ = α d = 15 · 103 · 4 · 10−3 = 60o (град.)

(70)

вiдносно першого нiколю (поляризатора). Вiдносно ж другого нiколю (аналiзатора) площина поляризацiї складає кут γ

γ = 90o − 60o = 30o

(71)

бо для системи схрещених нiколiв кут мiж їх площинами поляризацiй складає 90o.

Оскiльки при проходженнi крiзь кристал кварцу iнтенсивнiсть свiтла не змiнюється (за умовою задачi), а змiнюється лише кут площиною поляризацiї

20