Загальна фізика / Практичні заняття / Методичні вказівки до практичних занять з фізики №3

Значення λ2 знайдемо з рiвняння Комптона для розсiяння γ-квантiв на вiльних електронах

2 θ

λ = λ2 − λ1 = 2 λc sin

,

(130)

2

де λc = 2, 426 нм – комптонiвська довжина хвилi.

Тодi

λ2 = λ1 +

λ

(131)

2 θ

2

o

Знайдемо λ i λ2, враховуючи що за умовою задачi sin

= sin

90

= 1,

2

λ = 2 · 2, 426 = 4, 852 [нм].

(132)

Тобто

λ2 = (100 + 4, 852) [нм] ≈ 104, 85 [нм].

(133)

Звiдки чисельнi значення енергiї фотона до i пiсля розсiяння складають

E1

=

h c

=

6, 62 · 10−34 · 3 · 108

= 19, 86

·

10−19 [Дж]

≈

12.4 [еВ].

(134)

λ1

1

·

10

−

7

i

E2

=

h c

=

6, 62 · 10−34 · 3 · 108

= 18.95

·

10−19 [Дж]

≈

11, 83 [еВ].

(135)

λ2

1, 048

·

10

−

7

Остаточно отримаємо, що енергiя електрона вiддачi дорiвнює

W = E1 − E2 = 19, 86 − 18.95 = 0, 91 · 10−19 [Дж] ≈ 0, 568 [еВ].

(136)

Вiдповiдь: W = 0, 91 · 10−19 Дж = 0, 568 еВ.

Задача №21. Кут розсiяння фотону з енергiєю 1,2 МеВ на вiльному електронi становить 60o. Знайти довжину хвилi розсiяного фотону, енергiю i iмпульс електрона вiддачi (кiнетичною енергiєю електрона до зiткнення знехтувати).

E1	=	1, 2 МеВ	E1	=	1, 92 · 10−13 Дж
θ	=	60o	θ	=	60o
W1	≈	0	W1	≈	0
W2	=	?	W2	=	?
λ2	=	?	λ2	=	?
p2	=	?	p2	=	?

31

Змiну довжини хвилi фотора при комптоновському розсiяннi знаходимо за формулою

h
λ = λ2 − λ1 = m0 c	(1 − cos θ),	(137)

де λ1 i λ2 вiдповiдно довжина хвилi фотона до i пiсля розсiяннi на електронi. Звiдки знаходимо

h

λ2 = λ1 +

λ = λ1 +

(1 − cos θ),

(138)

m0 c

Величину λ1 знайдемо через енергiю E1 фотона

h c

h c

E1 =

λ1

=

.

(139)

λ1

E1

Звiдки

h c

h

λ2 =

+

(1 − cos θ)

(140)

E1

m0 c

Другий доданок помножимо i роздiлимо на c

h c

h c

h c

h c

λ2 =

+

(1 − cos θ) =

+

(1 − cos θ)

(141)

E1

m0 c2

E1

E0

Пiдставляючи чисельнi значення, отримаємо

λ2 =

6, 62

10

−

34

3

108

6

,

62

· 10−

34

3

108

·

·

13·

+

· 13·

(1

−

0, 5) = 1, 74

·

10−12 [м].

1, 92 · 10−

0, 81 · 10−

(142) Енергiю електрона вiддачi W2 знайдемо iз закону збереження енергiї, враховуючи те, що енергiя електрона до акту розсiяння дорiвнює нулю,

E1 = W2 + E2

W2 = E1 − E2,

(143)

де E2 – енергiя фотона пiсля його розсiяння, яка визначається як

E2

=

h c

.

(144)

λ2

Тобто кiнетична енергiя W2 електрона вiддачi є

W2 = E1 −

h c

.

(145)

λ2

Чисельне значення W2 дорiвнює

W2 = 1, 92

·

10−13

−

6, 62 · 10−34 · 3 · 108

= 0, 6

·

10−13

[Дж] = 0, 37 [МеВ]. (146)

1, 74 · 10−12

32

Iмпульс електрона вiддачi визначимо за релятивiстською формулою, яка зв’язує енергiю з його iмпульсом

W 2 = W02 + (p c)2,

(147)

де W – повна енергiя електрона, яка дорiвнює сумi кiнетичної W2 та енергiї

спокою електрона W0

W = W2 + W0

(148)

Тобто iмпульс p2 електрона вiддачi визначимо за формулою

p2 =

q

=

q

.

W 2 − W02

W22 + 2 · W2 · W0

(149)

c

c

Вiдомо, що енергiя спокою електрона дорiвнює

W0 = me c2 = 9 · 10−31 · (3 · 108)2 = 0, 81 · 10−13 [Дж]

(150)

Пiсля пiдстановки числових даних маємо

p2 = q

= 5, 55 10−22 [кг

м/с]

·

10

−

13

)

2

+ 2 · 1

8

·

10

−

13

·

0, 81

·

10

−

13

(1, 04

, 04

·

·

3

·

10

(151)

Вiдповiдь: λ2

= 1, 74

·

10−3 нм = 1, 74

·

10−12

м;

W2 = 0, 6

·

10−13

Дж =

0, 37 МеВ;

22

кг · м/с.

p2 = 5, 55 · 10−

Задача №22. Внаслiдок ефекту Комптона на вiльних електронах фотон з енергiєю E1 = 0, 51 МеВ був розсiяний на кут θ = 120o. Визначити енергiю розсiяного фотона.

E1	=	0, 51 МеВ	E1	=	0, 51 · 10−13 Дж
θ	=	120o	θ	=	120o
E2	=	?	E2	=	?

Збiльшення довжини хвилi при розсiяннi фотона на вiльних електронах визначається за формулою Комптона

			h			2 θ
λ = λ2 − λ1 = 2					sin					(152)
			m0 c				2
Враховуючи те, що
E =	h c	λ =			c	=	h c		,	(153)
	λ				ν		E

33

перепишемо формулу Комптона

h c

h c

h c

2 θ

−

=

·

2 sin

.

E2

E1

m0 c2

2

Звiдки енергiя розсiяного фотона E2 дорiвнює

E2 =

E1 · m0 · c2

2 θ

=

E1 · E0

2 θ

.

m0 · c2 + E1 · 2 sin

E0 + 2E1 · sin

2

2

Пiсля пiдстановки числових значеь знайдемо E2

E2 =

0, 51 · 0, 51 · 10−26

= 0, 204

·

10−13 [Дж].

(0, 51 + 2 · 0, 51 · sin2 60o) · 10−13

Вiдповiдь: E2 = 0, 204 · 10−13 Дж = 0, 204 МеВ

.

3.11Хвилi де Бройля

(154)

(155)

(156)

Хвилi де Бройля – це хвилi, якими можна характеризувати всi мiкрооб’єкти (навiть тi, для яких маса спокою не дорiвнює нулю). З одного боку, мiкрочастинки мають корпускулярнi характеристики – енергiю E i iмпульс p, а, з другого – хвильовi характеристики – частоту ν, або довжину хвилi λ, якi зв’язанi мiж собою спiввiдношенням (формулою де Бройля λ)

E = h ν, p = h/λ λ = h/p,

(157)

Задача №23. Вiдомо, що α-частинка рухається по колу радiусом 0,83 см в однорiдному магнiтному полi, напруженiсть якого дорiвнює 2 · 103 А/м. Визначити довжину хвилi де Бройля для α-частинки.

r	= 0, 83 см					r	= 0, 83		10−2 м
H	=	2	· 10	3	А/м	H	=		·	3	А/м
								2 · 10
λ	=		?			λ	=		?

Оскiльки α-частинка рухається по колу, то згiдно з другим законом Ньютона, на неї дiє доцентрова сила, роль якої, за умовою задачi, виконує сила Лоренца

FЛор
	v2
an m = FЛор		m = B q v = µµ0 q v.	(158)
	r
Скоротивши праву i лiву частини вир. (134) на v, отримаємо
m v = µµ0 H 2e r,			(159)

34

де для α-частинки заряд q = −2e (заряд електрона e = −1, 6 · 10−19 Кл). Довжина хвилi де Бройля визначається за формулою

λ =		h	=	h	.		(160)
		p
				m v
Пiдставивши вир. (135) в (136), отримаємо
			h
λ =						.	(161)
	µµ0 H 2e r

Пiдставивши в (137) числовi значення величин, знайдемо довжину				хвилi
λ =	6, 62 · 10−34	−2	= 10−9 [м] = 1 [нм].	(162)
	4π · 10−7 · 2 · 103 · 2 · 1, 6 · 10−19·0,83·10

Вiдповiдь: λ = 10−9 м = 1 нм.

Задача №24. Кiнетична енергiя електрона дорiвнює його енергiї спокою. Обчислити дебройлiвську довжину хвилi електрона.

T = E0 = 0, 511 МеВ

λ= ?

Оскiльки кiнетична енергiя електрона дорiвнює енергiї спокою, то швидкiсть електрона близька до швидкостi свiтла c i, тому задачу необхiдно розв’язувати за формулами релятивiстської механiки.

Довжина хвилi де Бройля визначається за формулою

λ = hp (163)

де p – iмпульс електрона, який визначимо з формули, що зв’язує енергiю E частинки з її iмпульсом p

E2 = E02 + (p c)2.				(164)
Звiдки
p =	q	E2 − E02	,	(165)
		c

де E – повна енергiя електрона, яка дорiвнює сумi його енергiй спокою i кiнетичної енергiї

E = E0 + T.

(166)

35

Тому

p =

q

(E0 + T )2 − E02

.

(167)

c

i довжина хвилi де Бройля дорiвнює

λ =

h c

.

(168)

q

(2 E0 + T )T

Розрахунки довжини хвилi проведемо в позасистемних одиницях h:

h =

6, 62 · 10−34 [Дж · c]

= 4, 14

·

10−21 [МеВ

·

c]

(169)

1, 602

·

10

−

13

[Дж/МеВ]

Звiдки довжина хвилi де Бройля буде визначатися за формулою

λ =

4, 14 · 10−21 · 3 · 1010

= 14, 03

·

10−11

[см] = 14, 03

·

10−13

[м].

(170)

q(2 · 0, 511 + 0, 511) · 0, 511

Вiдповiдь: λ = 14, 03 · 10−13 м.

4Основнi закони, формули i приклади розв’язкiв задач з атомної та ядерної фiзики

4.1Постулати Бора

Перший постулат Бора (постулат стацiонарних станiв): в атомi iснують стацiонарнi (не змiннi у часi) стани, в яких атом не випромiнює енергiї. Стацiонарним станам атомiв вiдповiдають стацiонарнi орбiти, по яким рухаються електрони.

Правило квантування орбiт електрона визначається рiвнянням:

me v rn = n h¯ (n = 1, 2, 3, . . .),

(171)

де h¯ = h/2 π – приведена стала Планка.

Другий постулат Бора (правило частот): при переходi електрона з однiєї стацiонарної орбiту на iншу випромiнюється (або поглинається) один фотон з енергiєю

h ν = En − Em,

(172)

де En i Em – вiдповiдно енергiї стацiонарних станiв атома до i пiсля випромiнювання.

36

4.2Лiнiйчатий спектр атома водню

Експериментальний лiнiйчатий спектр атома водню було пояснено за допомогою узагальненої формули Бальмера, яка визначає дискретнi частоти фотонiв ν, якi поглинається, або випромiнюються атомом водню

1		1
ν = R (		−		),	(173)
	m2		n2

де R = 3, 29 ·1015 c−1 – стала Рiдберга; m визначає серiю; n приймає цiлечисленнi значення, починаючи з m + 1 i визначає номер лiнiї цiєї серiї.

Довжина хвилi свiтла λ, яке випромiнюється або поглинається атомом водню, дорiвнює

			1	= R′	1		1	!	,	(174)
			λ		m	− n
де R′ =	R	= 1, 10 · 107 м – модифiкована стала Рiдберга.
	c

Для серiї Лаймана m = 1, для серiї Бальмера m = 2, Пашена – m = 3, Брекета – m = 4, Прунда – m = 5, Хемфрi – m = 6.

Радiус n-ої стацiонарної орбiти електрона любого атома є:

rn = n	2 h¯2 4 π ǫ0	n = 1, 2, 3, . . .	(175)
	me Z e2

Для атома водню (Z=1) радiус першої орбiти (n=1) називається першим боровським радiусом (a). який дорiвнює

r1 = a =	h¯2 4 π ǫ0	= 0, 528 · 10−10 м = 52, 8 нм.	(176)
	me e2

Задача №25. Обчислити за теорiєю Бора радiус другої стацiонарної орбiти i швидкiсть електрона на нiй для атома водню.

n= 2

H2
Z	=	1
r2	=	?
v2	=	?

Радiус орбiти електрона згiдно з теорiєю Бора зв’язаний з швидкiстю електрона на орбiтi виразом, яке називається "правилом квантування орбiт"

me · vn · rn = n h,¯

(177)

37

де h¯ = 2hπ .

Швидкiсть електрона на орбiтi визначимо з рiвняння, яке ототожнює силу Кулона i доцентрову силу, що примушує електрон рухатися по колу

F		= m a	ц		Ze · e	= m		vn2	(178)
							e rn
	q	e			4 π ǫ0 · rn2

З системи двох рiвнянь (153) i (154) з двома невiдомими визначимо rn i vn

rn =

n2 · h2 · ǫ0

(179)

π2 · me · e2 · Z

i

Z e2

vn =

.

(180)

2 · ǫ0 · h · n

Числовi вирази для r2 i v2n мають вигляд

r2 =

22 · (6, 62 · 10−34)2 · 8, 85 · 10−12

= 2, 12

·

10−10

[м]

(181)

(3, 14)2 · 9, 1 · 10−31 · (1, 6 · 10−19)2

i

(1, 6 · 10−19)2

v2

=

= 1, 1

·

106 [м/с].

(182)

2 · 8, 85 ·

10−12 · 6, 62 · 10−34 · 2

Вiдповiдь: r2 = 2, 12 · 10−10 м;

v2 = 1, 1 · 106 м/с.

Задача №26. В атомi водню електрон перейшов з третього енергетичного рiвня на перший. Визначити довжину хвилi хвилi свiтла, яке випромiнюється при цьому переходi

n1	=	1
n2	=	3
Z	=	1
R	= 3, 29 · 1015 c−1
λ	=	?

Згiдно з другим постулатом Бора (правилом частот), енергiя електрона змiнюється на величину

			E2−1 = En2 − En1 ,				(183)
де						Z2 · e4 · me
E	n	1	2	=	−		(184)
		,				8h2 · ǫ02 · (n1, 2)2

38

Звiдки

E2

1 =

Z2

·

e4

·

m

e

1

1

! .

(185)

−

2

2

2

2

8 h

· ǫ0

n1

− n2

Довжину хвилi свiтла, яка випромiнюється при переходi з однiєї орбiти на iншу, можна визначити за формулою

ν =

E

(186)

h

Отже

E2

1

Z2

e4

m

1

1

1

1

ν2

1

=

−

=

·

· 2

e

! = Z2

·

R

! ,

(187)

де

−

h

8 h

· ǫ0

n1

− n2

n1

− n2

me · e4

R =

= 3, 29

·

1015 c−1

(188)

8 h3 · ǫ02

За умовою даної задачi остання формула має вигляд

ν2

1 = 3, 29

·

1015

·

12

·

1

1

!

= 2, 92

·

1015

[c−1]

(189)

−

− 9

Вiдомо, що λ =

c

. Тому

ν

λ2

−

1

=

3 · 108

= 1, 03

·

10−7

[м].

(190)

2, 92 · 1015

Вiдповiдь: λ2−1 = 1, 03 · 10−7 м.

Задача №27. Визначити потенцiал iонiзацiї i перший потенцiал збудження атома водню.

Z	=	1
n1	=	1
n2	=	∞
n1′	=	1
n2′	=	2
Ui	=	?
U1	=	?

Потенцiал iонiзацiї Ui це та найменша рiзниця потенцiалiв, яку має пройти електрон в електричному полi, яке його прискорює, щоб при зiткненнi з даним незбудженим атомом, iонiзувати його.

39

Iз закону збереження енергiї робота по вилученню електрона з атома дорiвнює роботi Ai сил електричного поля, якi прискорюють електрон

Ai = e Ui

(191)

Враховуючи квантовий характер поглинання енергiї атомом, можна сказати, що робота iонiзацiї Ai дорiвнює кванту енергiї h ν, який поглинається атомом (в данному випадку атомом водню) при переходi електрона з першої боровської орбiти на нескiнченно вiддалену орбiту. Тодi, застосувавши формулу Бальмера-Рiтця, отримаємо

Ai = h ν =

h c

= h

·

e

·

R

1

1

.

(192)

2

2

λ

ni

− n

Згiдно з умовою задачi n1 = 1 i n = ∞. Тому

Ai

= h c R ,

(193)

де

3, 29 · 1015

R =

R

=

= 1, 1

·

107 [м−1]

(194)

c

3 · 108

З другої сторони

Ai = e Ui

(195)

Звiдки

h c R

Ui

=

(196)

e

У числовому виглядi потенцiал iонiзацiї дорiвнює

Ui =

6, 62 · 10−34 · 3 · 108 · 1, 1 · 107

= 13, 6 [В].

(197)

1, 6 · 10−19

Перший потенцiал збудження U1 є та найменша рiзниця потенцiалiв, пройшовши яку електрон прискорюється i при зiткненнi з незбудженим атомом переводить атом в перший збуджений стан. Для атому водню це вiдповiдає переходу електрона з першої боровської орбiти на другу

e U1	= h ν =			h c	R			1				−	1				.	(198)
										2			(n′2)			2
				λ		(n′1)
Для данної задачi n1′ = 1, а n2′ k = 2. Тому
e U1 =		3	h c R						U1			=		3	·	h c R		(199)
		4											4				e

40