Загальна фізика / Практичні заняття / Методичні вказівки до практичних занять з фізики №3

свiтла та вiссю другого нiколя-аналiзатора, закон Малюса перепишеться у виглядi

I2 = (1/2) Iпр cos2 γ,

(72)

де γ – кут мiж площиною поляризацiї свiтла i вiссю аналiзатора.

Таким чином

Iпр

1

=

.

(73)

(1/2) cos2

I2

γ

Остаточно маємо

Iпр

=

1

=

1

= 2, 67

(74)

0, 5 · cos

2

o

0, 87

2

I2

30

0, 5 ·

Вiдповiдь: Iпр/I2 = 2, 67.

3.6Теплове випромiнювання

Законом Кiрхгофа свiдчить про те, що вiдношення спектральної густини енергетичної свiтностi тiла Rν,T до величини спектральної поглинальної здiбностi Aν,T не залежить вiд характеристик тiла i для всiх тiл є унiверсальною функцiєю Кiрхгофа rν,T , яка залежить вiд частоти (довжини хвилi) випромiнювання i температури тiла, яке випромiнює

	Rν,T	= rν,T .	(75)
	Aν,T

Функцiя rν,T дорiвнює спектральнiй густинi енергетичної свiтностi абсолютно чорного тiла

Rν,T , бо Aν,Tчрн = 1.

(76)

Закон Стефана – Больцмана це закон про енергетичну (iнтегральну) свiт-
нiсть	∞
	Re(T ) = Z	rν,T dν,	(77)
	0
яка пропорцiйна четвертiй степенi термодинамiчної температури тiла
	Re = σ T 4,		(78)
де σ = 5, 67 · 10−8 Вт/(м2 · K4) – стала Стефана – Больцмана.

Законом Вiна визначає залежнiсть значення максимальної довжина хвилi функцiї Кiрхгофа rλ,T – функцiї спектральної свiтностi абсолютно чорного тiла вiд термодинамiчної температури тiла

	λmax =	b	,	(79)
		T

21

де b = 2, 9 · 10−3 м · K – стала Вiна.

Задача №12. Чорне тiло нагрiли вiд температури T1 = 500 К до T2 = 2000 К. Визначити: 1) в скiльки разiв збiльшиться його енергетична свiтнiсть; 2) як змiниться довжина хвилi, яка вiдповiдає максимуму спектральної густини енергетичної свiтностi.

T1		=	500	К
T2		=	2000 К
RT2	/RT1	=	?
e	e
λmax		=	?

Згiдно з законом Стефана – Больцмана енергетична свiтнiсть Re пропорцiйна величiнi T 4

Re = σ T 4,

(80)

де σ – стала Стефана – Больцмана (σ = 5, 67 · 10−8 Вт/(м2·R−1)).

Тому

T2

T1

σ T24

T24

4

4

12

8

Re

/Re

=

=

= 2000

/500

= 16

· 10

/(625 · 10

) = 256.

(81)

σ T14

T14

За законом Вiна функцiя енергетичної свiтностi чорного тiла r(λ,

T ) має

максимум, положення якого пропорцiйний до оберненою температури тiла

λmax = b/T,

(82)

де b – стала Вiна (b = 2, 9 · 10−3 м·К).

Звiдки

1

1

λmax = λmaxT2

− λmaxT1 = 2, 9 · 10−3 ·

!

(83)

−

T2

T1

Остаточно маємо

λmax = 2, 9 · 10−3 · (−15)·!0−4 = −435 · 10−8 [м].

(84)

Иiдповiдь: RT2

/RT1 = 256 i

λmax =

−

435

·

10−8

м =

−

4, 35 мкм.

e

e

Задаяа №13. Довжина хвилi, на яку приходиться максимум енергiї в спектрi випромiнювання чорного тiла, дорiвнює λmax = 0, 58 мкм. Визначити енергетичну свiтнiсть Re поверхнi тiла.

22

λmax	=	0, 58 мкм	λmax	=	0, 58 · 10−6 м
Re	=	?	Re	=	?

Енергетична свiтнiсть Re чорного тiла згiдно з законом Стефана – Больцмана пропорцiйна четвертiй степенi термодинамiчної температури T

	Re = σ T 4,						(85)
Температуру тiла визначимо iз закону Вiна
λmax = b/T,				T =	b	,	(86)
					λmax
Звiдки				!4
Re	= σ		b				(87)
			λmax

Пiсля пiдстановки в (76) всiх сталих, якi наведенi в попереднiй задачi, та даних задачi маємо

R = 5, 67

·

10−8

·

2, 9 ·

10−3

= 3, 54

·

10−7

[Вт/м2].

(88)

10

7

e

5, 8

·

−

Вiдповiдь: Re = 3, 54 · 10−7 Вт/м2 = 35, 4 мВт/м2.

3.7Зовнiшнiй фотоефект

Зовнiшнiй фотоефект заключається у тому, що металевi тiла, що опромiняться свiтлом, iмiтують електрони, якi називається фотоелектронами.

Для фотоефекту має мiсце рiвняння Ейнштейна

		m V 2
	h ν = Aвих +		,	(89)
		2
	де h = 6, 63 · 10−34 Дж·с			– ста-

ла Планка, ν – частота випромi-

нювання, m =	0, 911 · 10−30 кг
– маса електрона,	V .– швидкiсть

електрона, який iмiтується катодом.

Фотоефект спостерiгається, якщо при опромiнюваннi метала свiтлом з частотою меншою за критичну частоту

Рис. № 7:

23

ν0, яка називається червоною межею фотоефекту, яка вiдповiдає

роботi виходу Aвих електронiв з

металу

	νчерв =	Aвих	.	(90)
		h
				m v2
	При цьому швидкiсть v i кiнетична енергiя фотоелектрона				дорiвнюють
				2
	нулю.

Фотострум дорiвнює нулю, якщо робота електричного поля при прикладенiй рiзницi U0 (потенцiалi, що затримує фотострум) дорiвнює максимальнiй кiнетичнiй енергiї фотоєлектронiв i

	m Vmax2
U0 =		(91)
	2 e

Задача №14. Визначити роботу виходу A електронiв з вольфраму, якщо червона межа фотоефекту для нього λ0 = 275 нм.

λ0	=	275 нм	λ0	=	2, 75 · 10−7 м
A	=	?	A	=	?

Виходячи з рiвняння Ейнштейна для зовнiшнього фотоефекту, мiнiмальна частота свiтла ν0, нижче якої фотоефект не спостерiгається, називається "червоною межею". В перерахуваннi на довжину хвилi λ визначення "червоної межi"буде: iснує максимальна довжина хвилi свiтла λ0, вище якої фотоефект не iснує

	ν0 =	c	=	A	,	(92)
		λ0		h¯

де c – швидкiсть свiтла у вакуумi; A – робота виходу електронiв з катоду, яка залежить лише вiд матерiалу, з якого зроблено катод; h¯ – стала Планка. (h¯ = 6, 62 · 10−34 Дж·с).

Звiдки

c h¯

A =

.

(93)

λ0

Остаточно робота A виходу для вольфраму становить

A =

3 · 108 · 6, 62 · 10−34

= 7, 22

·

10−19

[Дж].

(94)

2, 75

·

10

−

7

Вiдповiдь: A = 7, 22 · 10−19 Дж = 4, 51 еВ.

24

Задача №15. Червона межа фотоефекту для цезiя дорiвнює λ0 = 653нм. Визначити максимальну швидкiсть фотоелектронiв при опромiнюваннi цезiя фiолетовими променями довжиною λ = 400нм.

λ0	=	653 нм	λ0	=	6, 53	·	10−7 м
λ	=	400 нм	λ	=				7	м
					4 · 10−
			vmax	=			?

Максимальна швидкiсть може бути обчислена з рiвняння Ейнштейна для фотоефекту

hν = A + m vmax ,				vmax = v				(95)
						2 hν − 2 A.
2				u		m
				u
				t

Роботу виходу A електронiв знайдемо з рiвняння для червоної межi

hν0 = A.

(96)

Враховуючи, що ν = c , де λ0 – довжина хвилi, яка вiдповiдає червонiй межi

λ0

фотоефекту, отримаємо

A =	h c	.	(97)
	λ0

Звiдки

v

u	2 h ν	−	2	h c
u				λ0
vmax = u
u		m
u
t

Або, пiдставивши замiсть частоти ν довжину хвилi λ, отримаємо

v

u

u 2 h c (λ0 − λ)

vmax = t .

m λ0 λ

I остаточно маємо

vmax = v

2

·

6, 62

·

31

·

3

·

108

·

7

−

7·

10−7

= 6, 5 10

5

[м/с].

u

10−34

(6, 53

4)

·

u

9

10−

6, 53

10−

4

10−

t

·

·

·

·

·

Вiдповiдь:

vmax = 6, 5

· 105 м/с.

(98)

(99)

(100)

Задача №16. Визначити сталу Планка, якщо вiдомо що для зупинення фотоефекту , яке є наслiдком опромiнювання деякого металу свiтлом з частотою ν1 = 2, 2 · 1015 c−1, необхiдно прикласти напругу U01 = 6, 6 В, а для свытла

25

з частотою ν2				= 4, 6 · 1015 c−1, напруга, що затримує фотоефект дорiвнює
U02 = 16, 5 В
ν1	= 2, 2		·	1015 c−1
ν2	=	4, 6			15	c−	1
			· 10
U01	=		6, 6		В
U02	=	16, 5 В
h	=			?

Вiдомо, що при прикладаннi напруги, яка затримує фотоефект, жодний електрон не досягає анода (струм в цепi фотодiоду дорiвнює нулю). Це може тра-

		me vmax2
	питися, коли максимальна кiнетична енергiя		фотоеоектронiв дорiв-
		2

нює роботi U0 e, яку виконує електростатичне поле для повної зупинки фотоелектронiв

		m v2
		e max	= U0 e,	(101)
	2
	де e – заряд електрона, me – маса електрона.
	Тодi рiвняння Ейнштейна для фотоефекту буде мати вигляд
	h ν = A + U0 e.			(102)

Виходячи з умови задачi запишемо два рiвняння Ейнштейна з двома умовними невiдомими (умовними, тому що з цих рiвнянь необхiдно знайти h, виключивши з них невiдоме значення роботи виходу A)

	h ν1 = A + U01 e,							(103)
i
	h ν2 = A + U02 e.							(104)
Вiднiмаючи одне рiвняння вiд iншого, отримаємо
	h (ν1 − ν2) = U01 e − U02 e.							(105)
Звiдки			e (U01 − U02)
	h =							(106)
Числове значення h буде			ν1 − ν2
h =	1, 6 · 10−19 (6, 6 − 16, 5)	=	15, 84 · 10−19	= 6, 6	·	10−34[Дж	·	c]. (107)
	(2, 2 − 4, 6) · 1015		2.4 · 1015

26

Перевiремо розмiрнiсть h
[h] = "	Кл ·1В	# =		Кл · Дж1· Кл−1			= [Дж	·	c].	(108)
	c−				c−
Вiдповiдь: h = 6, 6 · 10−34		Дж · c.

3.8Енергiя, маса, iмпульс фотона

Згiдно з гiпотезою про свiтловi кванти, свiт випромiнюється, поглинається i розповсюджується дискретними квантами, якi називаються фотонами.

Енергiя фотона, яка пропорцiйна частотi свiтлової хвилi ǫ0 = h ν, знаходиться iз закону взаємозв’язку маси та енергiї

h ν = mф c2,

(109)

де mф – вiртуальноа маса фотона, який рухається зi швидкiстю свiтла c (маса спокою фотона дорiвнює нулю).

Iмпульс фотона p знаходиться iз загальних мiркувань щодо знаходження iмпульсу деякої маси (mф), яка має швидкiсть c i енергiю hν (корпускулярне уявлення про природу свiтла)

p = m c = ǫ/c =

h ν

.

(110)

ф	c

Задача №17. Визначити енергiю фотона, при якiй його маса дорiвнює масi спокою електрона.

me	=	9 · 10−31 кг
Eф	=	?

Виходячи з закону взаємозв’язку маси та енергiї (релятивiстського спiввiдношення E = m c2), енргiя фотона Eф визначається як

Eф = h ν = mф c2,

(111)

Якщо маса фотона дорiвнює масi спокою електрона (mф = me), то енергiя фотона буде

Eф = me c2.	(112)
Звiдки
Eф = 9 · 10−31 · (3 · 108)2 = 81 · 10−15 [Дж] = 0, 506 · 104 [МеВ].	(113)
Вiдповiдь; Eф = 81 · 10−15 Дж = 0, 506 · 104 еВ.

27

3.9Тиск свiтла

Тиск, який утворює свiтло при нормальному падiннi на поверхню тiла залежить вiд коефiцiєнта вiдбиття ρ свiтла i об’ємної густини енергiї випромiнювання w = N ǫ0/c

p = w (1 + ρ)

(114)

є теж доказом iснування корпускулярного уявлення про природу свiтла.

Задача №18. Тиск монохроматичного свiтла з довжиною хвилi 600 нм на зачорнену поверхню, яка розташована перпендикулярно до свiтла, яке опромiнює поверхню, становить 0,1 мкПа. Визначити число фотонiв, якi падають на поверхню площиною 10 см2 за 1 с.

λ	=	600 нм	λ	=	6	10−7 м
p	=	0, 1 мкПа	p	=	0, 1·	10−5 Па
S	=	2	S	=	·		4	м	2
		10 см			10 · 10−
t	=	1 с	t	=		1 c
n	=	?	n	=		?

Свiтло, яке падає на зачорнену поверхню (коефiцiєнт вiдбиття свiтла ρ = 0), створює тиск

	p = (1 + ρ)	h ν	N =	h ν	N,	(115)
		c		c

де N – кiлькiсть фотонiв, якi за одну секунду падають на одиницю поверхнi (1 м2).

Звiдси число фотонiв, якi потрапляють за одну секунду на одинцю поверхнi (1 м2) буде

N =	p c	=	p c λ	=	p λ	.	(116)
	h ν		h c
					h

Число n фотонiв, якi за одиницю часу потрапляють на площу S , яка менш, нiж один квадратний метр, визначається як

				n = N				S					(117)
								1
Остаточно	0, 1 · 10−5 · 6 · 10−7						10 · 10−4
n =										= 9	·	1016.	(118)
	6, 62	·	10	−	34			1

Вiдповiдь: n = 9 · 1016.

28

Задача №19. Паралельний пучок свiтла з енергiєю E = 0, 2 Вт/см : 2 падає пiд кутом ϕ = 60o на плоске дзеркало коефiцiєнтом вiдбиття ρ = 0, 9. Визначити тиск свiтла на дзеркало.

E	=	0, 2 Вт/см2	E	=	0, 2 · 104 Вт/м2
ϕ	=	60o	ϕ	=	60o
ρ	=	0, 9	ρ	=	0, 9
p	=	?	p	=	?

Якщо свiтло падає дзеркало нормально (ϕ = 0), свiтловий тиск p0 дорiвнював би

	p0 =	E0	(1 + ρ),	(119)
		c

де E0 = h ν N – енергiя свiтлової хвилi; N – число фотонiв, якi за одиницю часу (1 c) падають на одиницю поверхнi (1 м2).

	Виходячи з визначення тиску p в загалi, запишемо
	p =	Fn	=	Fn dt		=	d(mф v)n	,	(120)
		S		S dt			S dt

де, згiдно з другим законом Ньютона, проекцiї вiдповiдно сили Fn та змiни iмпульсу P фотона d(mф v)n = d(P)n за час dt на напрям нормалi до площини, на яку падає свiтло; S – площа поверхнi, яка опромiнюється.

Тобто
p =	d(P)n	.	(121)
	S dt

Величини S та Δ(P)n залежать вiд кута ϕ мiж пучком свiтла i нормаллю до поверхнi:

	S =	S0	,	(122)
		cos ϕ
	i
	Δ(P)n = P′ cos ϕ + P cos ϕ,			(123)

де P i P′ – сумарнi iмпульси фотонiв, якi падають i вiдбиваються вiд дзеркала за час dt.

Звiдки вираз для знаходження тиску має вигляд

				p =	(P + P′)	cos2 ϕ = p0 cos2 ϕ.	(124)
					S0 dt
де p0 =	(P + P′)	=	E0	(1 + ρ).
	S0 dt		c

29

Пiдставивши в останню формулу числовi значення, знайдемо тиск

p =	0, 2 · 104	(1 + 0, 9) cos2 60o = 3, 2	·	10−6	[Па].	(125)
	3 · 108

Вiдповiдь: p = 3, 2 · 10−6 Па.

3.10 Ефект Комптона
Ефект Комтнона – розсiяння рент-
генiвського випромiнювання на вiльних
електронах, наприклад, в металi.
Збiльшення довжини хвилi розсiяного
рентгенiвського випромiнювання λ =
λ′ − λ залежить вiд кута розсiяння θ i
не залежить нi вiд типу речовини (ме-
талу), яка розсiює випромiнювання, нi
вiд довжини початкової хвилi λ
λ = 2 λc sin2 (θ/2),	(126)

де λc = 2, 426 ·10−9 м – комптонiвска довжина хвилi (при розсiянi фотона на вiльному електронi).

Задача №20. Фотон з довжиної хвилi 100 нм розсiявся пiд кутом 180o на вiльному електронi. Визначити кiнетичну енергiю електрона вiддачi.

λ	=	100 нм	λ	=	1 · 10−7 м
Θ	=	180o	Θ	=	180o
W	=	?	W =		?

Iз закону збереження енергiї можна записати
		E1 = E2 + W,							(127)
де E1 i E2 вiдповiдно енергiя γ-кванта до i пiсля акту розсiяння.
Звiдки енергiю W електрона вiддачi визначимо як
		W = E1 − E2.							(128)
Величини E1 i E2 знайдемо iз спiввiдношення
	h c			h c			h c
E = h ν =			E1 =		,	E2 =		.	(129)
	λ			λ1			λ2

30