Integralnoe_ischislenie_metodichka

5

dx

3

dx

x 2

dx 5ln

x 2

3ln

x 4

x

dx

2

dx

x 2

x 4

2

x

2

x

2

4

x 4

x

4

5ln

x 2

3ln

x 4

1

ln(x2

4) arctg

C.

2

2

Пример.

6x5 8x4 25x3 20x2 76x 7

dx

3x3 4x2

17x 6

часть:

Т.к. дробь неправильная,

то предварительно следует выделить у нее целую

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

2

20x2

25x 25

2

4x2 5x 5

2

3

2x

3

dx

2x

dx

3dx 5

dx

x

3x

3x3 4x2 17x 6

3x3 4x2

17x 6

3

5

4x2 5x 5

dx

3x

3

4x

2

17x 6

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

	3x3 – 4x2 – 17x + 6	x - 3
	3x3 – 9x2	3x2 + 5x - 2

5x2 – 17x

5x2 – 15x

- 2x + 6 -2x + 6 0

Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

4x2 5x 5		A		B		C
		x 3		x 2		3x 1
(x 3)(x 2)(3x 1)

A(x 2)(3x 1) B(x 3)(3x 1) C(x 3)(x 2) 4x2 5x 5

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

12

40A 16

A 2/5

35B 21

B 3/5

C 1

C 1

Окончательно получаем:

6x5

8x4

25x3 20x2 76x 7

dx

=

2

x

3

3x 3

dx

2

dx

5

dx

3x

3

4x

2

17x 6

3

x 2

x 3

3x 1

2

x3 3x 3ln

x 2

2ln

x 3

5

ln

3x 1

C.

3

3

Пример.

3x4

14x2 7x 15

A

Bx C

Dx E

dx

dx

dx

dx

(x 3)(x

2

2)

2

(x

2

2)

2

x

2

x 3

2

Найдем неопределенные коэффициенты:

A(x2

2)2 (Bx C)(x 3) (Dx E)(x 3)(x2

2) 3x4

14x2 7x 15

Ax4 4Ax2 4A Bx2 3Bx Cx 3C Dx4 2Dx2 3Dx3 6Dx Ex3 2Ex 3Ex2 6E

(D A)x4 (3D E)x3 (A B 2D 3E 4A)x2 (3B C 6D 2E)x (2A 3C 6E 4A)

D A 3	D 3 A
3D E 0	E 9 3A
B 2D 3E 4A 14	B 6 2A 27 9A 4A 14
3B C 6D 2E 7	3B C 18 6A 18 6A 7
3C 6E 4A 15	3C 54 18A 4A 15

D 3 A	D 3 A
E 9 3A	E 9 3A
B 11A 35	11A 35 B
3B C 7	C 7 3B
3C 22A 69	21 9B 70 2B 69

A 3

B 2

C 1D 0

E 0

Тогда значение заданного интеграла:

3		dx				2x 1							dx	3					dx		2			x		dx			dx		3ln		x 3					1
		x 3				(x	2	2)				2							x 3			(x	2	2)	2		(x	2	2)	2						x	2	2
		x						1			arctg				x			C.
	4(x2 2)
							4	2						2

13

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида R(sin x,cosx)dx.

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и

cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t tg x . Эта подстановка

2

позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

2tg

x

2t

1 tg

2

x

1 t2

2

,

2

sin x

cosx

;

2 x

1 t2

2

x

1 t2

1 tg

1 tg

2

2

Тогда x 2arctgt;

dx

2dt

;

1 t2

Таким образом: R(sin x,cosx)dx

2t

1 t

2

2

dt r(t)dt.

2 ,

2

2

R

1 t

1 t

1 t

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической

подстановкой.

Пример.

2dt

dx

dt

dt

1 t2

2

2

2t

1 t

2

8t 3 3t

2

5 5t

2

2t

2

8t 8

4sin x 3cosx 5

4

3

5

dt

dt

1 t2

1 t2

1

C

1

C.

t

2

4t 4

(t 2)

2

t 2

tg

x

2

2

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

14

			Пример.
			dx											2dt									2			dt	2	dt
	9 8cosx sin x													8(1 t			2	)		2t				t	2	2t 17		(t 1)	2
									(1 t2 )		9																			16
																2					2
														1 t						1 t
		1		t 1			1			tg		x	1
			arctg		C			arctg			2				C.
											4
	2		4			2

Интеграл вида R(sin x,cosx)dx если функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

R(sin x,cosx)dx R(sin x,cosx) cosxdx cosx

Функция R(sin x,cosx) может содержать cosx только в четных степенях, а cosx

следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

R(sin x,cosx)dx r(sin x)cosxdx r(t)dt.

Пример.

cos7 xdx

sin x t

(1 t2 )3

1 3t2

3t4 t6

dt

dt

dt cosxdx

dt

dt

3

sin4 x

t4

t4

t4

t2

2

x 1 sin

2

cos

x

3 dt t2dt

1

3

3t

1

t3

1

3

3sin x

sin3 x

C.

3

3sin

3

sin x

3t

t

3

x

3

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида R(sin x,cosx)dx если функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда R(sin x,cosx)dx r(cosx)sin xdx r(t)dt.

Пример.

15

3

cosx t

2

2

2

sin x

1 t

t

4t 4 4t

5

4t 5

dx

dt

dt

(t 2)

dt

t 2

2 cosx

dt

sin xdx

2 t

t 2

4t

5

tdt

dt

t2

t

t 2

dt tdt

2dt 4

5

2t 5ln

t 2

4

dt

t 2 t

2

t 2

t 2

2

t 2

t

A

B

t 2

t 2

A Bt 2 t

t2

dt

t2

2t 5ln

t 2

8

4

dt

2t 5ln

t 2

8ln

t 2

4t

t 2

B 1,

A 2

2

2

t

2

1

t 2

t 2

t2

cos2

x

2t 3ln

t 2

C

2cosx 3ln(cos x 2) C.

2

2

Интеграл вида R(sin x,cosx)dx

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда R(sin x,cosx)dx r(t)dt

Пример.

dx

1

tgx t;

cos2 x

dx

1

sin2

x 6sin xcosx 16cos2

x

tg2 x 6tgx 16

dx

d(tgx) dt

2

cos

x

dt

dt

1

tgx 3 5

1

tgx 2

ln

C

ln

C.

t

2

(t 3)

2

25

10

tgx 3 5

tgx 8

6t 16

10

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

		1				1							sin(m n)x								sin(m n)x
cosmxcosnxdx						cos(m n)x cos(m n)x dx
		2																					m n
						2											m n
		1				1										cos(m n)x						cos(m n)x
sin mxcosnxdx						sin(m n)x sin(m n)x dx
		2															m n						m n
						2
sin mxsin nxdx	1				cos(m n)x cos(m n)x dx					1							sin(m n)						sin(m n)
	2									2							m n						m n

Пример.

16

sin 7xsin 2xdx							1		cos5xdx			1	cos9xdx				1	sin5x			1		sin9x C.
							2									10
											2									18
					Пример.
sin10xcos7xcos4xdx sin10x[cos7xcos4x]dx																			1	sin10xcos11xdx							1	sin10xcos3xdx
																2									2
		1		sin 21xdx		1		sin xdx		1	sin13xdx			1		sin 7xdx							1	cos21x	1	cosx			1	cos13x
																						84			4				52
4				4			4				4
	1				cos7x C.

28

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

dx

4dx

dctg2x

2

2ctg2x C

sin

2

xcos

2

sin

2

2x

dx

sin

2

x

x

Пример.

					4				1		1							2			1										2				1										2
sin						xdx						cos2x						dx						(1 cos2x)								dx							(1 2cos2x cos							2x)dx
											2										4														4
								2
		1		dx			1	cos2xdx						1		cos2			2xdx							x		1	sin 2x						1					1	(1 cos4x)dx				x		sin 2x
							2																																	2					4
4											4													4			4								4											4
	1					dx		cos4xdx					x				sin 2x						x		sin 4x						1		3x				sin 2x					sin 4x		C.
8											4							4				8					32				4									8
																																	2

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример.

1

u

u ln x;

du

dx;

dq

e

du;

cos(ln x)dx

x

eu

cosudu

u

eu cosu

u

u

q e

;

dx e

dp sinudu;

;

x e

du;

u

e

u

u

u

u

e

p sinu; dq

du;

e

cosu e

sinu e

cosudu;

sinudu

u

q e

dp cosudu;

;

Итого

eu cosudu eu (cosu sinu) eu cosudu

17

eu cosudu eu (cosu sinu) C 2

xcos(ln x)	1	dx					x	(cos(lnx) sin(ln x)) C
	x				2
cos(ln x)dx			x
						cos				ln x	C;
2								4

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

ax b

Интеграл вида

n

R x,

cx d

dxгде n- натуральное число.

С помощью подстановки n

ax b

t

функция рационализируется.

cx d

ax b

t

n

b

t

n

b

n

t

x

dx

dt;

;

n

;

cx d

a ct

n

a ct

ax b

tn b

n

n

Тогда R x,

dx

R

cx d

a ct

Пример.

dx

4 1 2x t; dt

1 2x

4 1 2x

t

t

2 t

dt 2 tdt 2

dt

t

1

t 1

1 2x 241 2x 2ln 41 2x 1

tn b

,t a ctn dt r(t)dt.

		2dx							dx				2t			3	dt				t	2	dt
											;							2
						3			2t	3			t	2	t						t 1
	4		1 2x
	4
		2		2					1				2
t					1					dt t				2t 2ln					t 1				C
								t 1

C.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

18

Пример.

																					12													12
	3	x		1					4		x 1												x 1 t;						x	1 t									(t	4		t			3			11	dt							t	3	t		2
																		dx																	;											)12t															dt
																																																			12
																																																							t2
	(x			1)1				6				x		1										12t		11	dt;														t12			(1 t2 )														1
																					dx
						t		3											t	2												t												1																		tdt
											dt											dt		12				t					dt					1									dt 12							tdt 12											12		dt
12						2													2												2												2																			2
					t			1										t		1										t		1										t		1																	t		1
12					dt				6t2						12t 6ln(t2 1) 12arctgt C 66																														1212							6ln(6											1)
																																								x 1										x 1									x 1
			1 t					2

12arctg12x 1 C.

Интегрирование биноминальных дифференциалов

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки t x , где - общий знаменатель m и n.

2) Если m 1 - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой n

t sa bxn , где s – знаменатель числа р.

	3) Если	m 1		p	- целое число, то используется подстановка t s	a bxn	, где s –
		n				xn

знаменатель числа р.

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида R x,ax2 bx c dx.

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

u2 m2.

19

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1)R(u,m2 u2 )du;

2)R(u,m2 u2 )du;

3)R(u,u2 m2 )du;

Тригонометрические подстановки.

Теорема: Интеграл вида R(u,m2 u2 )du подстановкой u msint или

u mcost сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

x asint;

a

2

a2

x2 dx

a2

a2 sin

2 tacostdt

a2

cos2 tdt

(1 cos2t)dt

dx acostdt

2

a2t a2

a2t a2

a2

x x

2

2

sin 2t

C

sintcost C

arcsin

a

x

C.

2

2

2

4

2

2

a

Пример.

dx

x sint;

costdt

dt

x

dx costdt;

tgt C

C.

(1 x

2

)

3/2

cos

3

t

cos

2

t

1 x

2

1 x

2

cost

R(u,

Теорема:

Интеграл

вида

m2

u2 )du

подстановкой

u mtgt

илиu mctgt сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Пример:

a

dx

x atgt;dx

dt;

acostdt

cos

3

tdt

1

(1 sin

2

t)dsint

cos

2

t

a

cos

2

ta

4

tg

4

a

4

sin

4

t

a

4

sin

4

t

x

4

a

2

x

2

2

2

a

x

;

ta

cost

1

1

a

2

x

(a

2

x

2

)

3/2

a

2

x

2

C sint

1

C.

3a4 sin3 t

a4

a2

x2

3a4 x3

a4 x

sint

a

2

x

2

20

																																			R(u,																																						m
									Теорема:													Интеграл вида																		u2 m2 )du														подстановкой														u									или
																																																																								sint
								m
	u										сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
					cost
									Пример:
																								2							2sint
									dx									x										;dx							dt;								2sintcostdt																1			ctg
																								cost							cos	2	t																																4		tdt
		x(x						2	4)			5/2																													cos				2		t 2 2					5	tg	5	t				32
																						x	2	4				2tgt;
		1									2	1																	1				2									1								2							1						3				1 1
								ctg				t									1 dt										ctg			td(ctgt)												ctg					tdt									ctg				t												1 dt
		32																2		t									32													32															96										32						2	t
												sin																																																								sin
				1					ctg3t								1								t													2															1														1
																			ctgt									C			ctgt
		96														32								32													x2										12(x2							4)3/2									16				x2	4
																																							4
			1			arccos							2			C.
													x
		32

Пример:

sint

1

tgt

dx

x

;dx

dt;

cos

2

t

sintcos4 t

cost

cost

dt

dt

cos2

tdt

x3

1

cos2 tsint

x2 1

tgt

x

2

1 tgt;

cos3 t

1

1

1

1

x

2

1

1 cos2t dt

t

sin 2t

sin 2t 2sintcost 2

2

2

4

x

x

1

1

x2 1

arccos

C.

2

x

x

2

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

21