Integralnoe_ischislenie_metodichka

Федеральное государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Дальневосточный государственный технический университет (ДВПИ имени В.В.Куйбышева)

Интегральное исчисление

(Методические указания для студентов электротехнического

направления)

Владивосток – 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ..........................................................................	4
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ....................................................................	4
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.........................................................................	5
Непосредственное интегрирование .............................................................	5
Способ подстановки (замены переменных)................................................	6
Интегрирование по частям...........................................................................	6
Интегрирование элементарных дробей.......................................................	9
Интегрирование дробно-рациональных функций.....................................	10
Интегрирование тригонометрических функций.......................................	14
Интегрирование некоторых иррациональных функций...........................	18
ИДЗ № 1..............................................................................................................	22
ИДЗ № 2..............................................................................................................	32
ИДЗ № 3..............................................................................................................	40
ИДЗ № 4..............................................................................................................	46
ИДЗ № 5..............................................................................................................	52
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................	58

3

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F (x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают: f (x)dx F(x) C;

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.f (x)dx (F(x) C) f (x);

2.d f (x)dx f (x)dx;

3.dF(x) F(x) C;

4.(u v w)dx udx vdx wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.

1. C f (x)dx C f (x)dx;

Пример: (x2 2sin x 1)dx x2dx 2 sin xdx dx 13 x3 2cosx x C;

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

4

Таблица интегралов

1

du u c

12

ctgu du lnsinu c

undu u

n 1

c

du

1

u

c

2

13

u

2

a

2 a arctg a

n 1

3

du 2 u c

14

du

1

ln u a c

u

u2 a2

2a u a

4

du lnu c

15

du

arcsinu

c

u

a2 u2

a

5

sinu du cosu c

16

du

lnu

u2 a2

c

u2 a2

6

cosu du sinu c

17

du

lntg u

c

sinu

2

7

du

tgu c

18

du

u

c

cos2 u

cosu

lntg

2

4

8

du

ctgu c

19

shu du chu c

sin2u

9

eudu eu c

20

chu du shu c

10 audu

au

c

21

du2

thu c

lna

ch u

11 tgu du lncosu c

22

du

cthu c

sh2u

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

	Требуется	найти	значение		интеграла		dx	. На	основе	известной	формулы
					1		x
	дифференцирования			ln x		можно сделать вывод,			что искомый интеграл равен
					x
	ln x C ,	где С	–	некоторое постоянное число.					Однако,	с другой	стороны

ln( x) 1 ( 1) 1 . Таким образом, окончательно можно сделать вывод: x x

dxx ln x C

5

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных)

Теорема: Если требуется найти интеграл f (x)dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

f (x)dx f ( (t)) (t)dt

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: d f (x)dx d f[ (t)] (t)dt

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[ (t)] (t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл sin x cosxdx. Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

2

t3/2

C

2

sin3/2 x C.

tdt t1/2dt

3

3

Пример. x(x2

1)3/2 dx.

Замена t x2 1;

dt 2xdx;

dx

dt

; Получаем:

2x

t3/2

dt

1

t3/2dt

1

2

t5/ 2 C

t5/2

C

(x2 1)5/2

C;

2

2

2

5

5

5

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Интегрирование по частям

Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) = u v + v u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

6

Проинтегрировав, получаем:				d(uv) udv vdu , а в соответствии с приведенными
выше свойствами неопределенного интеграла:
		uv udv vdu						или		udv uv vdu ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить
интегралы многих элементарных функций.
					2	;	dv sin		xdx;
			u x							x2 cosx cosx 2xdx
Пример. x2 sin xdx
			du 2xdx;					v cosx
u x;	dv cosxdx;			cosx 2 xsin x sin xdx x2 cosx 2xsin x 2cosx C.
		v sin x	x2
du dx;

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

	2x	;	du	2e	2x	dx;
u e								e2x sin x sin x 2e2xdx
Пример. e2x cosxdx
dv cosxdx;				v sin x

	2x	;	du	2e	2x	dx;		e2x sin x 2 e2x cosx cosx 2e2xdx e2x sin x
u e
dv sin xdx;				v cosx;

2e2x cosx 4 cosxe2xdx

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

5 e2x cosxdx e2x (sin x 2cosx)

e2x cosxdx e2x (sin x 2cosx) C. 5

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

(2x 1)20dx 2x 1 t;

dt 2dx; t20

1

dt

1

t21

1

C

t21

C

(2x 1)21

C

2

21

2

42

42

Пример.

2 x2

2 x2

2 x2 2 x2

dx

dx

2

dx

dx

ln

x

x

2

4 x

4

2 x

2

2 x

2

2 x

2

2 x

2

arcsin

x

C.

2

7

Пример.

cos x

dx sin

3 / 2

xcos xdx sin x

t;

dt

cos xdx t 3 / 2

dt 2t 1 / 2

C

sin 3

x

2

2sin 1/2

x C

C.

sin x

Пример.

2

;

dv e

5x

dx;

u x

1

1

x2e

5x

2

x

2

e

5x

dx

e

5x

x

2

e

5x

2xdx

xe

5x

dx

5x

e

5

du 2xdx;

v

;

5

5

5

5

dv e

5x

dx;

x2e5x

2 xe5x

1

x2e5x

2xe5x

2

u x;

5x

e

5x

1

5x

e

dx

dx

du dx;

v

e

;

5

5

5

5

5

25

25

5

x2e5x

2xe5x

2e

5x

e5x

2

2x

2

x

.

5

25

125

5

5

25

Пример.

dx

dx

dx d(x 1)

d(x 1)

x 1 t

x

2

x

2

9 (x 1)

2

2x 8

2x 1 9

dt

arcsin

t

C arcsin

x 1

C.

3

32

t2

3

Пример.

1

ln x

u ln x;

dv

dx;

ln x

1

1

ln x

1

dx

ln x

x

3

dx

dx

x3

1

1

2x2

2x2

x

2x2

2

x3

2x2

du

x

dx;

v

2

;

2x

1

1

2

ln x

1

x

C

C.

2

2

2x

2

4x

2

Пример.

u ln x;

dv xdx;

x2

x

2

1

x2

ln x 1

x2 ln x x2

xln xdx

1

x

2

ln x

dx

xdx

C

du

dx;

v

;

2

2 x

2

2

2

4

x

2

x2 (2ln x 1) C. 4

8

Пример.

ecos2 x sin 2xdx t ecos2 x;

dt ecos2 x

2cosxsin x

ecos2 x C.

Пример.

dx

dt

1

1

2tdt

x t;

dx

(t2 1)t

(x 1) x

2 x

2t

Пример.

sin 2x ecos2 xdx; dt t C

2		dt	2arctgt C 2arctg		C.
				x
	t	2
		1

			dx		dx				1				dx						1		x 3
																					arctg				C.
	x	2	6x 25		(x 3)	2	16		16			x 3				2			16			4
																	1
												4

Интегрирование элементарных дробей

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

	I.	1	;		III.		Mx N	;
		ax b					ax2 bx c
	II.	1		;	IV.		Mx N
		(ax b)m				(ax2 bx c)n

m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I.

dx

1

dt

1

ln

t

C

1

ln

ax b

C.

ax b

a

t

a

a

II.

dx

1

dt

1

C

1

C;

(ax b)

m

a

m

a(m 1)t

m 1

a(m 1)(ax b)

m 1

t

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

A

Ap

Ax B

(2x

p)

B

A

2x p

Ap

dx

2

2

dx

dx

dx B

x

2

x

2

px q

2

x

2

px q

x

2

px q

px q

2

A

2

Ap

dx

A

2

2B Ap

ln

x

px q

B

ln

x

px q

2

2

p 2

p2

2

4q p2

x

q

4

2

arctg

2x p

C

4q p2

9

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

							Пример.
				7x 2											84x 24																					84x 24						u 6x 5;						du 6dx;
										dx																	dx													dx				u 5
3x2											36x2																						(6x 5)2
					5x 4												60x 48																					23				x					;
																																											6
		1			14u 70 24						du				7						udu							23								du		7	ln(u		2	23)	23				arctg		u			C
	6						u	2	23						3				u	2			23				3						u	2		23		6
																																											3 23						23
		7																				arctg			6x						5	C.
				ln			36x2 60x 48											23
	6																3										23

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

5x 3

5x 3

u x 3;

du dx;

5u 15 3

udu

dx

dx

du 5

x

2

6x 40

(x 3)

2

u

2

49

u

2

49

49

x u 3;

18

du

5

u2 49

18

u 7

C

5

ln

x2 6x 40

9

ln

x 4

C.

ln

ln

2

u 7

x 10

u

49

2

14

2

7

Пример.

3x 4

dx

3x

4

dx

u x 3;

du dx;

3u 9 4

du 3

udu

7 x2 6x

16 (x 3)2

x u 3;

16 u2

16 u2

13

du

u

x 3

2

2

3

16 u

13arcsin

C 3

7 x

6x 13arcsin

C.

4

4

16 u2

Интегрирование дробно-рациональных функций

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если R(x) Q(x) - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x)

P(x)

которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть

10

представлен в таком виде: P(x) = (x - a) …(x - b) (x2 + px + q) …(x2 + rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

Q(x)

A

A

A

B

B

2

B

M

1

x N

1

1

2

...

...

1

...

x a

(x a)2

(x a)

(x b)

(x b)2

(x b)

P(x)

x2 px q

M

2

x N

2

...

M

x N

...

R x S

1

R

2

x S

2

...

R x S

1

(x2 px q)2

(x2 px q)

(x2 rx s)2

(x2 rx s)

x2 rx s

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

9x3 30x2 28x 88(x2 6x 8)(x2 4) dx

Т.к. (x2 6x 8)(x2 4) (x 2)(x 4)(x2 4), то

	9x3 30x2 28x 88		A		B		Cx D
	(x 2)(x 4)(x2 4)		x 2		x 4		x2 4

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

A(x 4)(x2 4) B(x 2)(x2 4) (Cx D)(x2 6x 8) 9x3 30x2 28x 88

(A B C)x3 ( 4A 2B 6C D)x2 (4A 4B 8C 6D)x ( 16A 8B 8D)9x3 30x2 28x 88.

A B C 9	C 9 A B
4A 2B 6C D 30	D 30 4A 2B 54 6A 6B
4A 4B 8C 6D 28	2A 2B 4C 3D 14
16A 8B 8D 88	2A B D 11
C 9 A B		C 9 A B
D 24 2A 4B		D 24 2A 4B
2A 2B 36 4A 4B 72 6A 12B 14		4A 10B 50
2A B 24 2A 4B 11		4A 5B 35
C 9 A B	C 9 A B	A 5
D 24 2A 4B	D 24 2A 4B	B 3
4A 10B 50	4A 10B 50	C 1
50 10B 5B 35	B 3	D 2

Итого:

11