двойные интегралы

, ,

и вычисляем его.

4			3				2		63							1
(9x					6x						x								25)dx
1									2						4x2
				x	4			x3			63 x2								1 1									4
		9				6																25x
			4					3	2					2		4					x
																												1
9																				63								1		1
		44 ( 1)4							2 43 ( 1)3																42			( 1)2				1	25 4 1
																															4
4																				4								4

332,8.

4.Двойной интеграл в полярной системе координат

Если область интегрирования S содержит окружность или эллипс, то необходимо перейти в полярную систему координат.

Переход от прямоугольных координат x, y к полярным осуществляется по формулам:

x cos

			(4.1)
	y sin
где и	изменяются в пределах: 0 ,	0 2 .
При вычислениях полезно также помнить, что 2		x2 y2	(4.2)
В полярной системе координат двойной интеграл имеет вид:
f (x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d			(4.3)
Sx y	S

При расстановке пределов различают два основных вида области интегрирования:

1) если область интегрирования не содержит в себе точку O - начало координат (рис.4.1), то интегрирование осуществляется по правилу:

2( )

f ( , ) d d d		f ( , ) d	(4.4)
S		1( )

11

y

2( )

S

1( )

x

О

Рис. 4.1

2) если область интегрирования содержит в себе точку O - начало координат (рис.4.2),

y

( )

x

O

Рис. 4.2

то интегрирование осуществляется по правилу:

	2		( )
f ( , ) d d		d		f ( , ) d	(4.5)
S	0		0

5.Практикум

1.Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах.

12

1)

(x2 y2 1)dxdy,

если

S

ограничена

полуокружностью

S

y

3x x2

и осью Oy;

2)

(1 x2 y2)dxdy,

если

S

ограничена

полуокружностью

S

x

2y y2

и осью Ox;

3)

(x2

y2)dxdy, если S ограничена окружностью x2

y2

4x;

S

4)

(x2

y2)dxdy, если S ограничена окружностью x2

y2

6y;

S

dxdy, если S ограничена окружностью x2

y2

5)

x2

y2

8x;

S

dxdy,

6)

x2 y2

если

S

ограничена окружностью

S

x2 y2

2y;

7) 1 x2 y2 dxdy, если S ограничена полуокружностью

S

x 2 y2 и осью Ox;

8)	1 x2	y2 dxdy, если S ограничена полуокружностью
S

y		2 x2		и осью Oy;
							dxdy,
		9)			x2 y2 2				если	S
			S
x2	y2		3y;
								dxdy,
		10)				x2 y2 1			если	S
			S
x2	y2		6x;

ограничена окружностью

ограничена окружностью

13

2. Вычислить двойной интеграл по указанной области.

1)

y2(1 2x)dydx, где S : x 2 y2,

x 0;

S

dydx

,

, где S : y

3 x2

x 0;

1 x2 y2

S

2)

(2 x y)dydx, где S : x 4 y2,

x y2;

S

dydx

, где S : x2 y2

8,

y 0;

x2 y2

S 1

3)

(3x2 5y2

2)dydx, где S :

y x3,

y x2;

S

dydx

, где S : x2 y2 2,

y 0;

S 1 x2 y2

4)

x2(2 y)dydx, где S : y x 5,

y x 5,

x 0;

S

(1 x2 y2)dydx, где S : x2 y2

2,

y 0,

x 0;

S

5)

(2x2

y2)dydx, где S : x 3 y2,

x 0;

S

)dydx, где S : x2 y2

cos(

x2 y2

,

x 0;

S

6)

x2(1 y3)dydx, где S : x 2y2,

x 1 3y2;

S

)dydx, где S :

x2 y2

,

sin(

x2 y2

y 0;

S

2

7)

(x y)dydx, где S : y x2

1,

y 0;

S

sin(x2 y2)dydx, где S : x2 y2

,

x 0;

S

4

14

8)

x(2 y2)dydx, где S : y 1 x2,

x 0;

S

cos(x2 y2)dydx, где S :

x2 y2

,

y 0;

S

6

9)

x2(1 y2)dydx, где S : x y2

1,

x y 4;

S

tg(x2 y2)dydx, где S :

y

x2 ,

y 0;

3

S

10)

(3x 5y2 1)dydx, где S :

y 3x2,

y 3;

S

x2 y2

tg

dydx

x

5

y

2

, где S :

,

x 0;

6

S

x2 y2

6.Решение типового варианта

1.Перейти к полярным координатам и расставить пределы

интегрирования по новым переменным в интеграле:		x2 y2	2dxdy,
	S
если S ограничена окружностью x2 y2	6x;

Решение: Для построения области интегрирования преобразуем

уравнение области x2 y2 6x к виду x2 y2 6x 0 и выделим полный квадрат переменной x по формуле a2 2ab b2 (a b)2:

x2 6x x2 2 x 3

Согласно формуле сокращенного умножения a x, b 3, добавим к

полученному выражению и вычтем одновременно b2 9.

x2 2 x 3 x2 2 x 3 9 9 (x2 2 x 3 9) 9

Вскобках стоит формула квадрата разности, т.о. получаем

(x 3)2 9.

15

Возвращаясь в исходное уравнение, получим (x 3)2 y2 9. Это уравнение окружности радиуса r 3 с центром, смещенным по координате x на три единицы вправо (рис. 6.1.).

y

x

3 6

Рис.6.1

Для перехода в полярную систему координат необходимо следующее:

1)Построить область интегрирования:

2)Преобразовать подынтегральную функцию используя формулы

(4.1), (4.2); 3) Представить интеграл в виде (4.3) проставить пределы

интегрирования.

1)Область интегрирования уже построена.

2)Выпишем подынтегральную функцию и преобразуем ее используя

формулу (4.2):		x2 y2 2		2			2.
3) Т.к. область интегрирования не содержит в себе начало координат
(лишь касается его), то по формуле (4.4) имеем:
					2	( )
	x2 y2 2dxdy d						sin 2		2 d
S					1	( )
Определим пределы интегрирования для переменных и . Для того,
чтобы определить пределы изменения радиус									вектора проведем через

область S стрелки из начала координат (пределы изменения радиус вектора

0 ) рис.6.2.

16

y

x

3 6

Рис. 6.2

Из рисунка видно, что стрелки входят в начало координат и выходят из уравнения окружности. Преобразуем последнее, к полярным координатам используя формулы (4.1), (4.2): x2 y2 6x, 2 6 cos .

Сокращая на , получаем уравнение окружности: 6cos .

Таким образом, пределы изменения переменной : 0 6cos .

Угол будет изменяться в пределах						. Расстановка пределов
				2
	2

по переменной осуществляется по касательным к уравнению области, от положительного направления оси Ox, против часовой стрелки (рис.6.2).

Окончательно получаем:

6cos

2

x2 y2

2dxdy

d

2

2 d .

S

0

2

x

2.

Вычислить двойной

интеграл

eydxdy по области S, если

S

известно, что данная область является криволинейным треугольником ограниченным параболой y2 x и прямыми x 0, y 1.

Решение: При вычислении двойных интегралов необходимо пользоваться следующей схемой:

17

1)строим область интегрирования;

2)по виду области выбираем систему координат;

3)расписываем интеграл на повторный;

4)расставляем пределы интегрирования;

5)производим вычисление повторного интеграла.

1)Сделаем чертеж заданной области S. Она ограничена параболой и двумя прямыми линиями (рис. 6.3).

y

B(0;1)

A(1;1)

x

O Рис.6.3

Данная область не содержит окружности или эллипса поэтому вычисление производим в декартовых координатах.

x x

2) Распишем интеграл на повторный: eydxdy dy eydx. Можно

S

x x

было расписать интеграл в виде eydxdy dx eydy, но в этом случае

S

предел интегрирования по переменной yсодержал бы квадратный корень,

что неудобно при вычислениях.

3) Расставим пределы интегрирования. Из рисунка 6.3 видно, что переменная x изменяется от уравнения прямой x1 0 до уравнения

параболы x2 y2 (проведем стрелки по области параллельно оси Ox).

Переменная y будет изменяться в пределах проекции области S на ось Oy

18

т.е. от ординаты точки O: y1 0, до ординаты точки B:								y2 1. Получаем:
	x		y	2		x
		1
eydxdy dy					eydx.
S	0		0

Вычислим повторный интеграл поочередно:

	y2		x		x		y2
		eydx yey
	1)
	0						0

	y2	0
		ey
y e	y			y ey 1 .

Здесь интегрируя по переменной x, мы полагали, что y является

константой.

1	1	1
2) y ey	1dy yeydy ydy.
0	0	0

В полученном выражении первый интеграл вычисляем интегрированием по частям, второй интеграл – табличный.

1	yeydy					y u,						e		y			dy dv		yey		1		1					1
																							eydy yey ey					1;
0							dy du,										v ey				0 0							0
1			y	2				1		1												x	1		y2	x			1
	ydy											.		Окончательно:						eydxdy dy eydx 1										1,5
										2
0	2							0												D			0		0			2
																									dxdy
3.	Вычислить двойной интеграл																							x2 y2			по	области S:
																					S
x									, y		1					x.
		4 y2
										3

Решение: Для вычисления интеграла воспользуемся схемой описанной

впредыдущем примере.

1)строим область интегрирования;

2)по виду области выбираем систему координат;

3)расписываем интеграл на повторный;

4)расставляем пределы интегрирования;

19

	5) производим вычисление повторного интеграла.
1)	Построим			область	интегрирования					S, она ограничена	кривой
					y	1			x. Чтобы
x		4 y2		и прямой						определить уравнение	кривой
					3
				возведем обе части неравенства в квадрат: x2 4 y2, или
x		4 y2

x2 y2 4. Получили окружность радиуса r 2. В области нам задана часть окружности расположенная в положительной полуплоскости Ox

(рис.6.4).

y

y 1 x

3 x

x 4 y2

Рис. 6.4

Чтобы определить какую часть плоскости относительно уравнения кривой задает неравенство, необходимо помнить о том, что стрелки на координатных осях показывают направление, в котором данная координата

больше. Для уравнения полуокружности x 4 y2 координата x меньше внутри окружности (противоположное направление от указателя стрелки на

оси). Для неравенства y	1			x координата				y больше в верхней
3
полуплоскости относительно линии прямой y					1			x. Таким образом, наша
3

область интегрирования имеет вид (рис.6.5).

2) Так как указанная область задана окружностью, для вычисления интеграла необходимо перейти в полярную систему координат.

20