двойные интегралы

y

x 4 y2

y 1 x

3

x

Рис.6.5

3) Представим интеграл повторным согласно формуле (4.3). Для этого выпишем подынтегральную функцию и преобразуем ее в полярную систему

координат согласно (4.2)			x2 y2		2 . Тогда:
		dxdy	d d d 2d
	x2 y2
Sxy			S

4) Для расстановки пределов интегрирования в повторном интеграле обратимся к заданной области (рис.6.5). Проведем стрелки радиус вектора из начала координат через указанную область. Получаем, что переменная изменяется от начала координат до радиуса окружности 2, т.е.

	0 2. Угол						будет изменяться от уравнения прямой																	y					1			x до
																													3
	положительного направления оси Oy, т.е. до
																	. Чтобы определить угол
															2
	наклона прямой, достаточно подставить в ее уравнение y																				1						x полярные
																				3
	координаты (4.1):						sin	1		cos ,	sin				1					, tg				1				,						.
											cos
							3								3									3					6
														2
											2
	Т.е.					.	Окончательно получаем: d 2d .
				2
	6													0
												6
							21

5) Вычислим полученный интеграл поочередно.

2		3			2		8
2d								.
	3
0					0	3

Полученный результат подставляем в интеграл по d и вычисляем его:

2 8			8						8									16
							2
			d																.
		3	3						3				2	6				9
								6

	6
					2
			2				16
		x2 y2
	Окончательно имеем:		dxdy d 2d					.
						9
	S				0
				6

7.Приложение двойного интеграла

1.Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D:

S dxdy	(7.1)
D

2. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z f (x, y), снизу плоскостью z 0 и сбоку цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy область D:

V f (x, y)dxdy										(7.2)
	D
3. Если гладкая поверхность задана						уравнением				z f (x, y), то
площадь поверхности выражается формулой:
			z 2			z		2
S		1						dxdy		(7.3)
			x
	D					y

где D – проекция данной поверхности на плоскость xOy.

22

4. Если пластинка занимает область D плоскости xOy и имеет

переменную поверхностную плотность (x,									y), то масса M пластины
выражается двойным интегралом:
			M (x, y)dxdy							(7.4)
				D
5. Статические моменты пластины относительно осей Ox и Oy
находятся по формулам:
Mx y (x, y)dxdy, M y					x (x,				y)dxdy	(7.5)
D					D
6. Координаты центра тяжести пластины вычисляются по
формулам:
			M y					Mx
x					y
				,						(7.6)
								M
			M

где M – масса пластины, а Mx, M y – ее статические моменты относительно осей координат.

7. Моменты инерции пластины относительно осей Ox и Oy

вычисляются по формулам:

Ix y2	(x, y)dxdy, Iy x2 (x, y)dxdy	(7.7)
D	D
8. Момент инерции относительно начала координат – по формуле:
	I0 (x2 y2) (x, y)dxdy Ix Iy	(7.8)
	D

23

8.Дополнительные задания

1)Вычислить объем тела ограниченного заданными поверхностями:

x y z 1, y2 x, x 1, y 0,z 0.

2)Найти площадь части поверхности цилиндра z x2, вырезанной плоскостями x y 2, x 0, y 0.

3)Определить центр тяжести полусегмента параболы y2 2x,

отсеченного прямыми x 2, y 0.

4)Найти центр тяжести площади, ограниченной параболами y2 x и

x2 y.

5)Вычислить массу круглой пластины радиуса r 3, если плотность ее обратно пропорциональна расстоянию точки от центра и равна на краю пластины.

24

Список литературы

1.Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: полный курс. 7-е изд.- М.: Айрис-пресс. 2008. – 608с.

2.Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М.: ООО

«Издательство Артель»: ООО «Издательство АСТ», 2004. – 991с.

3.Рябушко А.П. и др., Индивидуальные задания по высшей математике.

Часть 3, Изд-во: Минск: Вышейшая школа, 2006. – 338с.

Математические веб-сайты:

MathWorld: Wolfram Web Resource by Eric W. Weisstein, один из самых больших веб-сайтов по математике

Mathematical Atlas by Dave Rusin, один из самых больших веб-сайтов по математике

PlanetMath.Org – Математическая энциклопедия

Общие директории, содержащие информацию о математических сайтах

Google: Mathematics Web Sites, содержит обширную информацию о различных математических веб-сайтах

Yahoo: Mathematics Web Sites, содержит обширную информацию о различных математических веб-сайтах

Math Forum: Internet Mathematics Library, содержит обширную информацию о различных математических веб-сайтах

Mathematical WWW Virtual Library (Florida State University), содержит обширную информацию о различных математических веб-сайтах

Internet Guide to Engineering, Mathematics and Computing, содержит обширную информацию о различных математических веб-сайтах

Mathematics Web Sites (Pennsylvania State University), содержит обширную информацию о различных математических веб-сайтах

MathGuide (SUB Gottingen), содержит полезную информацию о различных математических веб-сайтах

Math-Net (International Mathematical Union), содержит полезную информацию о различных математических веб-сайтах

25

	Оглавление
1.	Двойной интеграл в декартовой системе координат	...................................................3
2.	Практикум......................................................................................................................	5
3.	Решение типового варианта..........................................................................................	6
4.	Двойной интеграл в полярной системе координат....................................................	11
5.	Практикум....................................................................................................................	12
6.	Решение типового варианта........................................................................................	15
7.	Приложение двойного интеграла ...............................................................................	22
8.	Дополнительные задания............................................................................................	24
Список литературы.................................................................................................................		25

26

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Методические указания Составители: Дегтярева Н.Е.

Корректор:

Технический редактор

Подписано в печать . Формат

Печать офсетная. Усл.печ.л. Уч.-изд.л.

Тираж 60 экз. Заказ

_____________________________________________________________

Издательство ДВФУ.690650, Владивосток, Пушкинская, 10

Типография издательства ДВФУ, 690650, Владивосток,

Пушкинская, 10

27