5. Правило лопіталя

5.1. При розкритті невизначеностей ,крім класичних методів обчислення границь, у багатьох випадках можна користуватися правилом Лопіталя: якщо або й існує границя відношення їх похідних , то.

Це правило справедливе й у випадку, коли .

Приклад 1. Застосовуючи правило Лопіталя, знайти границі:

а) ;б) ;в).

Розв’язання. Переконавшись, що має місце випадок або, застосовуємо правило Лопіталя.

а) ,

б) .

Тут двічі було застосовано правило Лопіталя й використана перша чудова границя.

в) .

5.2. При розкритті невизначеностей для застосування правила Лопіталя, початковий вираз необхідно перетворити до невизначеностей видуабошляхом алгебраїчних перетворень.

Приклад 2. Знайти границі: а) ;б) .

Розв’язання: а) Маємо невизначеність . Наведемо цю невизначеність до невизначеності, а потім застосуємо правило Лопіталя:

.

б) Маємо невизначеність . Перетворимо початковий вираз до невизначеності, після чого застосуємо правило Лопіталя: .

5.3. При розкритті невизначеностей ,,рекомендується знайти попередньо границю логарифма шуканої функції.

Приклад 3.Обчислити .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Введемо позначення, тоді.. Одержали, застосовуємо правило Лопіталя: . Тому що. Отже.

Завдання 6. Обчислити границі, використовуючи правило Лопіталя.

	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .

Список літератури

	Берман Г.Е. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
	Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Сравочник по математике для инженеров и студентов ВУЗов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
	Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів: «Новий світ-2000», 2004. – 434 с.
	Вища математика: Підручник: У 2 кн. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: Либідь, 2003. – Кн. 1. Основні розділи / Г.Й. Призва, В.В. Плахотник, Л.Д. Гординський та ін.; за ред. Г.Л. Кулініча. – 400 с.
	Вища математика. Основні означення, приклади і задачі. Ч. 1, 2. – К.: Либідь, 1992. – 349 с.
	Глушков П.М., Шунда Н.М. Диференціальне числення фукнцій однієї змінної. – К.: Вища шк., 1991. – 343 с.
	Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1,2 – М.: Высш. шк., 1980. – 320 с.
	Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966. – 269 с.
	Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков.: Изд-во ХГУ, 1967. – 236 с.
	Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1969. – 123 с.
	Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1986. – 296 с.
	Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1969. – 350 с.
	Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая математика. Ч.1, 2. – К.: Вища шк., 1987, 1989. – 551 с.
	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, 2. – М.: Наука, 1982. – 294 с.
	Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1987. – 320 с.

26