Тема 13

РОЗРАХУНОК СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ НА СТІЙКІСТЬ

13.1. Поняття про форми пружної рівноваги

Поряд з задачами викладення методів розрахунку елементів конструкцій і деталей машин на міцність і жорсткість, опір матеріалів вирішує ще і третю задачу – викладення методів розрахунку стиснутих стержнів на стійкість. Під стійкістю розуміється здатність стиснутого стержня зберігати певну початкову форму пружної рівноваги.

У попередніх темах були розглянуті методи визначення напружень і деформацій при різних простих видах деформації: осьовому розтяганні і стисканні, зсуві, крученні і згинанні. Були також сформульовані критерії міцності матеріалу при складному опорі. Однак, щоб одержати повне уявлення про роботу конструкції, звичайних розрахунків на міцність буває недостатньо. Безпека конструкції не завжди може бути гарантована, якщо напруження, що виникає в конструкції, не перевищує деякої допустимої величини. Дуже часто руйнування конструкцій відбувається не від втрати міцності, а від того, що стиснуті стержні, що входять в структуру конструкції, не зберегли свою первісну форму. При цьому в цих стержнях зміняються характер напруженого стану.

При розрахунку стиснутих елементів на розтягання або стискання дотепер ми припускали, що стержень увесь час зберігає свою первісну форму і руйнування відбудеться лише тоді, коли в стержні буде досягнуте напруження, що відповідає границі міцності. З розтягнутими стержнями це так і відбувається. При стисканні ж найпростіший досвід показує, що зруйнувати стержень можна, не доводячи напруження до границі текучості або міцності. Це відбувається в тому випадку, коли стиснутий стержень при незначних напруженнях втрачає первісну прямолінійну форму пружної рівноваги, випучується, дістає деформації згинання і додаткові напруження. У більшості випадків стержень, який втратив первісну форму пружної рівноваги, тобто втратив стійкість, не взмозі зберегти нову форму рівноваги, продовжує випучуватися, напруження в ньому зростають, досягають границі міцності і стержень руйнується. Тому для надійної роботи конструкції треба, щоб усі її елементи були стійкими.

Інженерні об'єкти, крім навантажень, що враховуються розрахунком, завжди піддаються додатковим малим впливам (збурюванням), які прагнуть вивести дане тіло з його розрахункового стану рівноваги або руху. У подібному стані може знаходитися стиснутий стержень, що втрачає стійкість.

Розглянемо досить довгий у порівнянні з його поперечними розмірами стержень, шарнірно-закріплений на опорах (Рис.13.1,а).

Рис.13.1

Навантажимо стержень зверху центральною поступово зростаючою силою . Якщо сила буде незначною, стержень буде зберігати прямолінійну форму. При спробах відхилити його убік, наприклад, шляхом прикладення короткочасно діючої горизонтальної сили, він буде після кількох коливань повертатися до первісної прямолінійної форми, як тільки буде вилучена додаткова сила, що викликала відхилення. Така форма пружної рівноваги буде називатисястійкою.

При поступовому збільшенні сили стержень буде усе повільніше повертатися до первісного положення при перевірках його стійкості. Нарешті, можна довести силу до такої величини, при якій стержень, після незначного його відхилення убік, вже не повернеться до прямолінійного стану, а залишиться викривленим. Якщо, не видаляючи сили, випрямити стержень, він уже зазвичай не зможе зберегти прямолінійну форму. Такий стан стержня буде називатисякритичним. У такому стані деформований стержень знаходиться у байдужій рівновазі: він може зберегти спочатку дану йому форму, але може і втратити її від самого незначного впливу. Найменша стискальна сила, перевищення якої викликає втрату стійкості первісної форми стержня, називається критичною і позначається (Рис.13.1,б).

Перехід до критичного стану відбувається раптово: якщо незначно зменшити стискальну силу у порівнянні з її критичною величиною, як прямолінійна форма рівноваги знову стає стійкою.

З іншого боку, при дуже незначному перевищенні стискальною силою її критичного значення прямолінійна форма стержня стає вкрай нестійкою. Досить незначного ексцентриситету прикладення сили, неоднорідності матеріалу в перерізі, щоб стержень викривився, і не тільки не повернувся до колишньої форми, а продовжував викривлятися під дією все зростаючих при викривленні згинальних моментів. Процес викривлення закінчується або досягненням зовсім нової (стійкої) форми рівноваги, або руйнуванням стержня.

Таким чином, нестійкою формою пружної рівноваги називається такий стан стержня, коли деформований стержень, будучи виведений з нього будь-яким побічним впливом, прагне продовжувати деформуватися в напрямі даного йому відхилення і після видалення впливу у вихідний стан не повертається.

Втрату стійкості прямолінійної форми стиснутого стержня іноді називають “поздовжнім згинанням”, тому що значне викривлення стержнів відбувається під дією поздовжніх сил. Поява поздовжнього згинання небезпечна тим, що при ньому відбувається дуже сильне наростання прогинів при малому наростанні стискальної сили. Прогини і навантаження зв'язані між собою нелінійною залежністю. Швидке наростання прогинів викликає швидке наростання напружень від згинання, що у свою чергу призводить до прискорення деформацій і часто до руйнування стержня. Слід зазначити, що причину виникнення поздовжнього згинання необхідно пов'язувати не з величиною тимчасового побічного впливу, а з величиною стискальної сили.

Історія розвитку будівельного мистецтва знає чимало випадків катастроф інженерних споруджень через неправильний розрахунок їх на стійкість. З введенням парової тяги і збільшенням у зв'язку з цим навантажень на елементи несучих конструкцій у Європі і північній Америці в другій половині XIX сторіччя відбулося більше 300 катастроф через руйнування несучих ферм мостів, не розрахованих на такі навантаження. Як з'ясувалося, більшість руйнувань відбулася через втрату стійкості стиснутих елементів ферм. Так, у травні 1981 року стався трагічний випадок з мостом у села Менхенштейн у Швейцарії. У момент катастрофи по мосту проходив пасажирський потяг, що складався з 12 вагонів. Міст мав довжину всього 42м. Локомотив встиг пройти через міст, але впали вагони і потягнули його за собою. З дванадцяти вагонів впало шість. Вагони, що падали один на одний, розбивалися й утворювали купу уламків. При катастрофі загинуло 74 і було поранено близько 200 людей. Причина катастрофи полягала в тому, що один зі стиснутих розкосів ферми втратив стійкість і спричинив руйнування всього мосту.

Руйнування продовжувалися й у XX сторіччі. У 1907 році рухнув великий Квебекський міст консольної системи з головним прольотом 549 м через ріку Св. Лаврентія в США. Руйнування відбулося під час будівництва за чверть години до кінця робочого дня, при цьому всі робітники, що знаходилися на мосту, і техніка загинули (усього загинуло 74 людей), 9 тисяч тонн металоконструкцій зробилися непридатними. Велика частина конструкцій затонула у воді, занурившись в окремих місцях на глибину більше 40 м. Причиною катастрофи був неправильний розрахунок стиснутого складеного стержня на стійкість.

Цікаво відзначити, що через 9 років, коли в 1916 році завершувалися роботи зі зведення нового Квебекського мосту на тім самім місці і по тій самій схемі, знову відбулася катастрофа. Упав у воду і затонув підвісний проліт.

Таким чином, поздовжнє згинання є небезпечним, його допускати не можна. Можна стверджувати, що досягнення навантаженнями критичних значень означає руйнування конструкції, тому що нестійка форма неминуче буде втрачена. Особлива небезпека руйнування внаслідок втрати стійкості, як це уже відзначалося вище, полягає в тому, що зазвичай руйнування відбувається раптово і при низьких значеннях напружень, коли міцність елемента ще далеко не вичерпана. Деформації дуже швидко наростають і практично не залишається часу для вживання заходів по запобіганню катастрофи. Таким чином, критична сила при розрахунку на стійкість подібна руйнівному навантаженню при розрахунку на міцність.