Тема 14
РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
14.1. Понятие о формах упругого равновесия
В первой теме настоящего пособия было отмечено, что наряду с задачами изложения методов расчета элементов конструкций и деталей машин на прочность и жесткость, сопротивление материалов решает еще и третью задачу – изложение методов расчета сжатых стержней на устойчивость. Под устойчивостью понималась способность сжатого стержня сопротивляться большим деформациям при малом изменении нагрузки.
В предыдущих темах были рассмотрены методы определения напряжений и деформаций при различных простых видах деформации: осевом растяжении и сжатии, сдвиге, кручении и плоском поперечном изгибе. Были также сформулированы критерии прочности материала при сложном сопротивлении. Однако, чтобы получить полное представление о работе конструкции, обычных расчетов на прочность бывает недостаточно. Безопасность конструкции не всегда может быть гарантирована, если действующее в конструкции напряжение не превышает некоторой допускаемой величины. Очень часто разрушение конструкций происходит не от потери прочности, а от того, что сжатые стержни, входящие в структуру конструкции, не сохранили свою первоначальную форму. При этом в этих стержнях меняется характер напряженного состояния.
При расчете сжатых элементов на растяжение или сжатие до сих пор мы предполагали, что стержень все время сохраняет свою первоначальную форму упругого равновесия, и разрушение произойдет лишь тогда, когда в стержне будет достигнуто напряжение, соответствующее пределу прочности. С растянутыми стержнями это так и происходит. При сжатии же простейший опыт показывает, что разрушить стержень можно, не доводя напряжение от сжатия до предела текучести или прочности. Попробуйте подвергнуть сжатию простую линейку, изготовленную из дерева или пластмассы. Линейка может внезапно разрушиться, но не от сжатия, а от изгиба. Причем сжимающие силы, предшествующие разрушению, будут намного меньше тех, которые вызвали при простом сжатии напряжение, равное пределу прочности. Разрушение линейки произойдет потому, что при определенном значении сжимающей силы она не смогла сохранить первоначально приданную ей прямолинейную форму равновесия и изогнулась. Изменение первоначальной формы упругого равновесия означает потерю устойчивости. В результате в линейке появятся изгибающие моменты и дополнительные напряжения от изгиба.
Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна. Надо, чтобы все ее элементы были устойчивы. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверкина прочность, необходима проверкана устойчивость.
Инженерные объекты, помимо нагрузок, учитываемых расчетом, всегда подвергаются дополнительным малым воздействиям (возмущениям), стремящимся вывести данное тело из его расчетного состяния равновесия или движения. В подобном состянии может находиться сжатый стержень, теряющий устойчивость.
Рассмотрим достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнирно-прикрепленный к опорам (Рис.14.1,а).
Рис.14.1
Нагрузим
стержень сверху центральной постепенно
возрастающей силой
.
Если сила будет небольшой, стержень
будет сохранять прямолинейную форму.
При попытках отклонить его в сторону,
например, путем приложения кратковременно
действующей горизонтальной силы, он
будет после ряда колебаний возвращаться
к первоначальной прямолинейной форме,
как только будет удалена добавочная
сила, вызвавшая отклонение. Такая форма
упругого равновесия будет называтьсяустойчивой.
При
постепенном увеличении силы
стержень будет все медленнее возвращаться
к первоначальному положению при проверках
его устойчивости. Наконец, можно довести
силу до такой величины, при которой
стержень, после небольшого его отклонения
в сторону, уже не выпрямится, а останется
искривленным. Если, не удаляя силы
,
выпрямить стержень, он уже, как правило,
не сможет сохранить прямолинейную
форму. Такое состояние стержня будет
называтьсякритическим,
при котором деформированный стержень
находится в безразличном равновесии:
он может сохранить первоначально
приданную ему форму, но может и потерять
ее от самого незначительного воздействия.
Сжимающая сила, превышение которой
вызывает потерю устойчивости первоначальной
формы стержня, называется критической
и обозначается
(Рис.14.1,б).
Переход к критическому состоянию происходит внезапно: стоит нам немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критической величиной, как прямолинейная форма равновесия снова становится устойчивой.
С
другой стороны, достаточно очень
небольшого превышения сжимающей силы
ее критического значения прямолинейная
форма стержня делается крайненеустойчивой.
Достаточно небольшого эксцентриситета
приложения силы, неоднородности материала
по сечению, чтобы стержень искривился,
и не только не вернулся к прежней форме,
а продолжал искривляться под действием
все возрастающих при искривлении
изгибающих моментов. Процесс искривления
заканчивается либо достижением совершенно
новой (устойчивой) формы равновесия,
либо разрушением.
Таким образом, неустойчивой формой упругого равновесия называется такое состояние стержня, когда деформированный стержень, будучи выведенным из него каким-либо побочным воздействием, приобретает стремление продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения и после удаления побочного воздействия в исходное состояние не возвращается.
Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют “продольным изгибом”, так как значительное искривление стержней происходит под действием продольных сил. Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит очень сильное нарастание пригибов при малом нарастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузка связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов вызывает быстрое нарастание напряжений от изгиба, которые в свою очередь приводят к ускорению деформаций и часто к разрушению стержня. Следует отметить, что причину возникновения продольного изгиба необходими связывать не с величиной временного побочного воздействия, а с величиной сжимающей силы.
История
развития строительного искусства знает
немало случаев крушения инженерных
сооружений из-за неправильного расчета
их на устойчивость. С введением паровой
тяги и увеличением в связи с этим нагрузок
на элементы несущих конструкций в Европе
и северной Америке во второй половине
XIX
века произошло более 300 катастроф из-за
разрушения несущих ферм мостов, не
рассчитанных на такие нагрузки. Как
выяснилось, большинство разрушений
произошло из-за потери устойчивости
сжатых элементов ферм. Так, в мае 1981 года
произошел трагический случай с
мостом у деревни Менхенштейн в Швейцарии
в мае 1981 года
[
Разрушения продолжались и в XX веке. В 1907 году обрушился большой Квебекский мост консольной системы с главным пролетом 549 м через реку Св. Лаврентия в США. Разрушение произошло во время строительства за четверть часа до конца рабочего дня, при этом все находящиеся на мосту рабочие и техники погибли, 9 тысяч тонн металлоконструкций пришло в полную негодность. Большая часть конструкций затонула в воде, погрузившись в отдельных местах на глубину более 40м. Причиной катастрофы явился неправильный расчет сжатого составного стержня на устойчивость.
Интересно отметить, что спустя 9 лет, когда в 1916 году завершались работы по возведению нового Квебекского моста на том же месте и по той же схеме, произошло вторичное крушение, упал в воду и затонул подвесной пролет.
Таким образом, продольный изгиб является опасным, его допускать нельзя. Можно утверждать, что достижение нагрузками критических значений равносильно разрушению конструкции, так как неустойчивая форма неминуемо будет утрачена. Особая опасность разрушения вследствие потери устойчивости, как это уже отмечалось выше, заключается в том, что обычно разрушение происходит внезапно и при низких значениях напряжений, когда прочность элемента еще далеко не исчерпана. Деформации очень быстро нарастают и практически не остается времени для принятия мер по предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, критическая сила при расчете на устойчивость подобна разрушающей нагрузке при расчете на прочность.