PrikladnayaMekhanika

51

Якщо напруження не перевищує пц – межі пропорційності (точка 1 на рис.2.18), і залежність між напруженням і деформаціями лінійна, то вона описується законом Гуку:

E ,	(2.65)
де Е – модуль подовжньої пружності матеріалу.	Розмірність модуля

пружності – Н/м2=Па (Паскаль). Значення модуля пружності Е на кривій

деформації	f чисельно рівно	тангенсу	кута нахилу лінійної ділянки:
E tg .	Таким чином, величину	Е можна	розглядати як характеристику

пружного опору або як характеристику інтенсивності зростання напруження із збільшенням деформації. Фізичний сенс коефіцієнта Е визначається як напруження, необхідне для збільшення довжини зразка в два рази. Таке тлумачення доволі штучне, оскільки величина пружного подовження у більшості твердих тіл рідко досягає навіть 1 %.

Напруження, що є верхньою межею прояву чисто пружних деформацій, відповідає точці 2 діаграми і називаються межею пружності пр.

Точка 3 діаграми характерна тим, що при досягненні напругою величини= Т ( Т – межа текучості), подальше подовження зразка (для маловуглецевих сталей) відбувається практично без збільшення навантаження. Це явище носить назву текучості, а ділянка діаграми, розташована безпосередньо правіше за точку 3, називається майданчиком текучості. При цьому полірована поверхня зразка каламутніє, покривається ортогональною сіткою ліній (лінії Чернова-Людерса), розташованих під кутом 45° до подовжньої осі зразка по напряму площин дії максимального дотичного напруження.

У багатьох конструкційних матеріалів майданчик текучості не виражений так явно, як у маловуглецевих сталей. Для таких матеріалів вводиться поняття умовної межі текучості s – це напруження, якому відповідає залишкова (пластична) деформація, яка дорівнює s,%. Зазвичай приймається s = 0,2%.

Після майданчика текучості для подальшого збільшення деформації необхідне збільшення розтягуючої сили. Матеріал знову проявляє здатність чинити опір деформації; ділянка за майданчиком текучості (до точки 4) називається ділянкою зміцнення. Точка 4 відповідає максимальному навантаженню, що витримується зразком. Відповідне напруження називається тимчасовим опором в (або межею міцності пч). Подальша деформація зразка відбувається без збільшення або навіть із зменшенням навантаження аж до руйнування (точка 5). Точці 4 на діаграмі відповідає початок локального зменшення розмірів поперечного перетину зразка, де, в основному, зосереджується вся подальша пластична деформація.

Діаграма, приведена на рис. 2.18 є діаграмою умовного напруження, умовність полягає в тому, що всі сили відносилися до F0 – первинної площі поперечного перетину зразка; насправді ж при розтягуванні площа поперечного перетину зразка зменшується. Якщо враховувати поточне значення площі поперечного перетину при визначенні напруження, то отримаємо діаграму дійсного напруження (рис. 2.19).

52

Рис. 2.19. Діограма дійсних напружень

Якщо в деякий момент навантаження (точка А на рис. 2.18) припинити навантаження і зняти навантаження, то розвантаження зразка піде по лінії АВ, паралельній лінійній ділянці діаграми 0–1. При цьому повна деформація в точці А дорівнює:

де e	e p ,	(2.66)
	E – пружна деформація,
p	– пластична (залишкова деформація).

Це рівняння справедливе для будь-якої точки діаграми.

Після того, як матеріал випробував дію осьового зусилля одного знаку (наприклад, розтягування) в області пластичних деформацій ( > Т) опірність цього матеріалу пластичної деформації при дії сил іншого знаку (стиснення) знижується. Це явище носить назва ефекту Баушингера.

При розтягуванні зразка відбувається не тільки збільшення його довжини, але і зменшення розмірів поперечного перетину, тобто в пружній області

деформація в поперечному напрямі:
	(2.67)
,

де – деформація в подовжньому напрямі;– коефіцієнт Пуассона. Для ізотропних матеріалів значення коефіцієнта

Пуассона знаходяться в межах: 0 0,5.

Для сталей різних марок Е=195 206 ГПа, G=79 89 ГПа, =0,23 0,31, для сплавів алюмінію Е=69 71 ГПа, G=26 27 ГПа, =0,30 0,33. Пружні властивості деяких матеріалів дані в табл.2.1.

53

Таблиця 2.1.

Механічні характеристики деяких матеріалів

								Характеристика
	Матеріал
					Е,			Т,	В,		,	,
				ГПа				МПа	МПа		%	%
	Сталь Ст.3		200				240/240		450/-		26	50
	Сталь 15		200				210/210		350/-		28	55
	Сталь 45		200				340/340		610/-		24	45
	Сталь 3ОХГСА		200				950/950		1200/-		13	50
	Чавун СЧ15-32		150				-		150/640	0,6		-
	Мідь лозина		110				250/250		320/-		15	45
	Дюралюмін Д16		75				240/240		420/-		18	-
	Дельта-деревина		20				-		250/160		-	-
	Текстоліт		30				75/115		127/168	1,5		-
Примітка													стисканні
	. У знаменнику вказана				відповідна характеристика при
Характеристиками пластичності матеріалу є відносне подовження і
відносне звуження при розриві:				lк l0
						100%,						(2.68)
					l0
					F0 Fк			100%,				(2.69)
					F0

де l0, F0 – довжина робочої частини зразка і площа поперечного перетину до деформації;

lк – довжина робочої частини зразка після розриву;

Fк – кінцева площа поперечного перетину в шийці зразка після розриву.

По величині відносного подовження при розриві проводиться розділення стану матеріалів на пластичне і крихке. Матеріали, що мають до моменту руйнування достатньо великі значення ( >10%), відносять до пластичних матеріалів; до крихких відносять матеріали з відносним подовженням <3%.

Оцінка пластичних властивостей матеріалу може бути проведена по такій характеристиці, як ударна в'язкість:

KC	A	,	(2.70)
	F

де А – робота, що витрачається на ударне руйнування зразка, Дж (або Н м); F – площа поперечного перетину зразка в місці концентратора, м2 (або см2).

54

Робота А деформації при руйнуванні зразка може бути визначена по діаграмі розтягування f . Так, якщо первинна довжина зразка l0, то робота деформації, що здійснюється силою Р на переміщенні u:

		uк
	A P u du,						(2.71)
		0
	де uк – переміщення в момент, передуючий руйнуванню.
	Тоді по залежності:
			P
					f		(2.72)
	і		F0
				u
						,	(2.73)
	знаходимо			l0
		uк /l0	f d F0 l0 A1,
	A F0 l0						(2.74)
		0
	uк /l0

де A1 f d – площа діаграми деформації (робота деформації на одиницю

0

об'єму матеріалу).

Для сталей КС=50 100 Н м/см2. Матеріали з ударною в'язкістю КС<30 Н м/см2 відносять до крихких.

Деякі пластичні матеріали в районі майданчика текучості виявляють особливість (наприклад титан), звану "зубом текучості"; для таких матеріалів вводиться поняття верхньої і нижньої межі текучості ( вТ , нТ ).

Експериментальне вивчення властивостей матеріалів при стисненні проводиться на коротких зразках з тим, щоб виключити можливість викривлення зразка. Для пластичних матеріалів характер діаграми f при

стисненні приблизно до виникнення текучості такий же, як і при розтягуванні. В процесі деформації стиснення зразок коротшає; при цьому розміри поперечного перетину збільшуються. Із-за тертя між опорними плитами навантажуючого пристрою і торцевими поверхнями зразка він приймає бочкоподібну форму. Для ряду пластичних матеріалів виявити напруження, аналогічну тимчасовому опору при розтягуванні, не вдається, оскільки зразок сплющується.

Крихкі матеріали проявляють значно кращу здатність чинити опір деформаціям стиснення, чим деформаціям розтягування; для них руйнуючі напруження при стисненні перевищують межу міцності при розтягуванні у декілька разів. Руйнування крихких матеріалів при стисненні відбувається за рахунок утворення тріщин.

55

2.8.Основніпоняттятеоріїнадійностіконструкцій

Постановка завдань теорії надійності. Згідно ГОСТ 27.002-89 "Надійність в техніці. Терміни і визначення" надійність конструкції є властивість зберігати в часі здібність до виконання необхідних функцій в заданих режимах. Одним з основних понять теорії надійності конструкцій є поняття граничного стану. Умова міцності по суті є умова забезпечення надійності.

Основною особливістю реальних умов експлуатації машин і конструкцій є випадковий характер взаємодії з навколишнім середовищем. Це виявляється в тому, що ми не можемо достовірно передбачати всі типи зовнішніх навантажень і їх величини, які можуть зустрітися в процесі експлуатації. Крім того, джерелом невизначеності можуть бути випадкові властивості матеріалів. Наприклад, граничне напруження *, що входить в умову міцності, за своєю природою є випадковою. Його величина залежить від багатьох чинників: марки матеріалу, технології виготовлення, розмірів деталі або конструкції, умов експлуатації і ін. Випадковий характер механічних властивостей матеріалів наочно виявляється при випробуваннях, що виявляють значний розкид експериментальних даних. Джерело невизначеності пов'язане також з розкидом розмірів при виготовленні конструкцій: в принципі неможливо витримати абсолютно точно геометричні параметри конструкції, при їх виготовленні допускаються деякі відхилення.

У разі одновимірного напруженого стану:

*,

(2.75)

напруження , залежне від зовнішніх навантажень, за певних умов може прийняти досить велике значення, а граничне значення * може виявитися малим, так що ця нерівність порушиться. Якщо збіг обставин, що приводить до порушення умови міцності, рідкісна подія, то приходимо до імовірнісного трактування умови міцності з позицій теорії надійності. Вірогідністю називається числова характеристика ступеня можливості настання деякої події у визначених багато разів відтворних умовах. Вірогідність події А можна оцінити на основі дослідних даних. Якщо проводиться достатньо велике число дослідів N, в яких подія Л з'явилася N·A разів, то можна вважати, що вірогідність появи цієї події дорівнює:

P A	N A	.	(2.76)
	N

Вірогідність як міра можливості настання події задовольняє умовам 0 Р(А) 1, причому значення Р=0 відповідає неможливій події, а значення Р=1

– достовірній події.

Вірогідність події, що полягає у виконанні умови (2.75) P * у теорії

надійності називається вірогідністю безвідмовної роботи. Замість умови міцності (2.75) записується умова:

P * P* ,

(2.77)

56

де Р* – задане достатньо високе значення вірогідності, яке називається нормативною вірогідністю безвідмовної роботи. В цьому випадку говорять, що умова міцності забезпечена з вірогідністю Р*.

Розрахункові навантаження, коефіцієнти запасу. Умова міцності (2.75)

записана через напруження, яке обчислюється через зовнішні навантаження, прикладені до конструкції. Хай зовнішні навантаження визначені з точністю до одного параметра S, а напруження пов'язано з цим параметром залежністю:

f S .

(2.78)

Тоді умову міцності (2.75) можна записати через зовнішнє навантаження: S R . (2.79)

Тут через R позначено граничне значення навантаження, тобто таке її значення, яке приводить до граничного стану:

* f S .

(2.80)

Величина R, залежна від властивостей матеріалу і умов навантаження,

називається несучою здатністю або опором.

При заданому значенні S, відношення:

N	R	,	(2.81)
	S

називається коефіцієнтом запасу. Він означає, в скільки разів потрібно збільшити навантаження, щоб досягти граничного стану.

Замість умови міцності (2.77) можна записати еквівалентну умову:

n 1. (2.82)

Якщо навантаження і властивості матеріалу є випадковими, то умови міцності (2.79) і (2.82) втрачають сенс, їх потрібно замінити імовірнісними умовами типу (2.77):

P S R P* ,	(2.83)
або
P n 1 P* ,	(2.84)

При цьому коефіцієнт запасу n також буде випадковим.

Практично розрахунок на міцність з урахуванням випадкового характеру зовнішніх навантажень і випадкових властивостей матеріалу проводиться таким чином. Вводиться деяке характерне значення навантаження [S]. Це значення, зване значенням, що допускається або нормативним, можна знайти з умови:

P		S						(2.85)
				S			PS ,

де [PS] – деяке значення вірогідності, зване забезпеченістю. Аналогічно вводиться нормативне значення [R] несучої здатності:

P R R PR .			(2.86)
Відношення	RS
n		,	(2.87)

57

називається нормативним коефіцієнтом запасу. Цей коефіцієнт залежить від умов навантаження, від властивостей матеріалів, умов роботи конструкції, ступеня її відповідальності і ряду інших чинників. Такий коефіцієнт призначається, виходячи з багаторічного досвіду експлуатації конструкцій, і для кожного типу конструкцій задається нормативно-технічною документацією.

Як нормативні значення [S] і [R] можна вибрати середні значення відповідних випадкових величин:

		1	N		1	N
	S		Sj ,	R		Rj	(2.88)
		N j 1			N j 1

де Sj і Rj експериментально набутих значень випадкових величин в серії з N дослідів.

Проте в діючих нормах, зокрема, будівельних, нормативні значення не співпадають з середніми значеннями, а зміщені убік більш небезпечніших значень, що пов'язане із значним розкидом досвідчених даних біля середніх значень. Для навантаження приймаються декілька більші значення, а для несучої здатності – менші:

S S S , R R R ,

(2.89)

де коефіцієнти S>1 і R<1 знаходяться з рівнянь (2.85) і (2.86). Таким чином, нормативний коефіцієнт запасу обчислюється через середні значення таким чином:

				S	S
	n			R	R	.	(2.90)
З урахуванням випадкового характеру зовнішніх навантажень і опорів
умова міцності (2.79) замінюється наступною умовою:
	SP RP ,						(2.91)

де SР – високе значення навантаження, що рідко зустрічається в реальних умовах експлуатації;

RР – також достатнє низьке значення несучої здатності, що рідко зустрічається.

Ці значення називаються розрахунковими. Вони знаходяться з рівнянь:

P S S	P* ,	(2.92)
P
P R RP P* ,		(2.93)

У правій частині рівнянь містяться нормативні значення вірогідності безвідмовної роботи, яка близька до одиниці (0,95; 0,99; 0,999; ...).

Розрахункові значення навантажень і несучої здатності можна виразити

через середні значення цих величин таким чином:
SP kS S ,	RP kR R ,	(2.94)

де коефіцієнти kS>1 і kR<1 знаходяться з вирішення рівнянь (2.92) і (2.93). Розрахункові значення пов'язані з відповідними нормативними значеннями співвідношеннями:

SP kn S , RP kO R , (2.95)

58

Коефіцієнт kn:

k	n		kS		,	(2.96)
				S

називається коефіцієнтом однорідності (менше одиниці). Інший коефіцієнт, що враховує випадковий характер несучої здатності, kО:

k	O		kR		,	(2.97)
				R

називається коефіцієнтом однорідності (менше одиниці).

Цю умову можна замінити виразом:

S	RP	,	(2.98)
P	m

де, m – коефіцієнт, що враховує умови роботи конструкції, ступінь її відповідальності (m>1).

З урахуванням (2.87) для нормативного коефіцієнта запасу отримаємо формулу, що враховує випадкові властивості навантаження і несучої здатності, а також ступінь відповідальності конструкції:

n	m kn	,	(2.99)
	kO

Розрахунки по допустимим навантаженням та по допустимим напруженням. Якщо нехтувати випадковим розкидом міцності матеріалу конструкції, то розрахункове і нормативне значення, а також середнє значення

несучої здатності R, співпадають:
RP R R	R ,	(2.100)

а рівняння (2.87) дозволяє отримати вираз нормативного або допустимого навантаження через нормативний коефіцієнт запасу:

S	R
	n .	(2.101)

При цьому параметр несучої здатності R пов'язаний з граничним значенням * напруження.

Якщо на задану конструкцію діє фіксоване невипадкове навантаження S, то співвідношення:

N			R	,	(2.102)
	S
			S

визначає коефіцієнт запасу по навантаженню. При цьому умову міцності можна переписати таким чином:

S		(2.103)
	S ,
Після підстановки умова міцності прийме вигляд:
nS n ,		(2.104)

59

Перехід від навантажень до напруження, що викликаються цими навантаженнями, проводиться по раніше описаних співвідношеннях.

	Відношення:		*
	n			,	(2.105)

називається коефіцієнтом запасу по напруженням. Можна отримати зв'язок між коефіцієнтами запасу по навантаженнях і по напруженнях у вигляді:

n	f R			,	(2.106)
	R
	f
	nS

У загальному випадку отримані коефіцієнти запасу не співпадають, що видно з рис. 2.20. Рівність цих коефіцієнтів можлива тільки у тому випадку, коли залежність між напруженням і навантаженням лінійна. При нелінійній залежності коефіцієнт втрачає ясний фізичний сенс як число, на яке потрібно помножити значення параметра зовнішнього навантаження, щоб досягти граничного стану. Аналогічно можна ввести допустиме напруження:

	*
	n .	(2.107)

Рис. 2.20. Варіабельність коефіцієнтів запасу
Розрахунок по допустимим напруженням:
,	(2.108)

у загальному випадку дає результати, відмінні від розрахунків по допустимим навантаженням. Ці результати співпадають тільки у разі лінійних залежностей між напруженням і навантаженням.

Слід зазначити, що приведені міркування відносяться до поняття граничного полягання в точці, яке потрібно відрізняти від граничного стану конструкції. Граничне полягання в точці ще не означає втрату несучої здатності конструкції.

60

Хай граничний стан конструкції буде досягнутий при досягненні параметром навантаження S граничного значення R*. Тоді локальну умову міцності потрібно замінити умовою:

S R* .	(2.109)
Розрахунки з використанням цієї умови	носять назву розрахунків по

граничному стану для конструкції. При цьому говорять про конструкційну міцність на відміну від міцності матеріалу, що характеризується локальною межею міцності * або R. Конструкційна міцність залежить не тільки від міцності матеріалу, але і від масштабного чинника, конструктивної форми, типу напруженого стану, умов взаємодії з навколишнім середовищем і ряду інших чинників.

2.9.Розтягування(стиснення)призматичнихстрижнів

Напруження при розтягуванні (стисненні) призматичних стрижнів.

Розрахунок на міцність. Переходячи до вивчення введених основних видів деформації стрижнів, обмежимося розглядом стрижнів постійного поперечного перетину з прямолінійною віссю, тобто призматичних стрижнів. Почнемо з деформації розтягування (стиснення).

Нагадаємо, що під розтягуванням (стисненням) розуміють такий вид деформації стрижня, при якому в його поперечному перетині виникає лише один внутрішній силовий чинник – подовжня сила NZ. Оскільки подовжня сила чисельно рівна сумі проекцій, прикладених до однієї з відсічених частин зовнішніх сил на вісь стрижня (для прямолінійного стрижня вона співпадає в кожному перетині з віссю Oz), те розтягування (стиснення) має місце, якщо всі зовнішні сили, що діють по одну сторону від даного поперечного перетину, зводяться до рівнодіючої, направленої уподовж осі стрижня (рис. 2.21). Одна і та ж подовжня сила NZ при дії на різні частини стрижня (ліву або праву) має протилежні напрями. Знак NZ залежить від характеру деформації, що викликається нею. Подовжня сила вважається позитивною, якщо викликає розтягування елементу (рис. 2.22,а), і вона негативна, якщо викликає стиснення

(рис. 2.22,б).

Рис. 2.21. Розрахункова схема	Рис. 2.22. Схема ділянки: а – розтяг;
	б – стиск