15.5 Periodische Funktionen

589

Satz 15.17 (Parsevalsche Gleichung für die Fourier-Transformation)

Das Integral über dem Quadrat der Funktion s im Zeitbereich ist gleich dem Integral über das Quadrat des Betrags der Fourier-Transformierten S im Frequenzbereich:

∞ s2

t

)

dt

=

∞

S

(

f

)S

2

df.

S

−∞

(

−∞ S

S

15.4.5 Faltung

Eine grundlegende Fragestellung konnten wir bisher noch nicht klären. Angenommen, wir kennen die Fourier-Transformierten S1 und S2 der beiden Funktionen s1 und s2. Wie können wir dann daraus die Fourier-Transformation des Produktes der beiden Funktionen berechnen?

Satz 15.18 (Faltung im Frequenzbereich)

Das Produkt der beiden Funktionen s1 und s2 im Zeitbereich entspricht der Faltung der beiden Fourier-Transformierten S1 und S2 im Frequenzbereich.

S1(f), S2(f)

×

×

×

Ö

S1(f) † S2(f)

sc s1(t), s2(t)

×

×

×

s c s1(t)Ös2(t)

Umgekehrt korrespondiert das Produkt im Frequenzbereich mit einer Faltung im Zeitbereich. Der Faltungssatz in dieser Form ist grundlegend für die Systemtheorie, siehe Abschnitt 15.6.1. Die Beweise der beiden Faltungssätze sind verhältnismäßig aufwendig, deshalb verzichten wir auf weitere Details.

Satz 15.19 (Faltung im Zeitbereich)

Das Produkt der beiden Funktionen S1 und S2 im Frequenzbereich entspricht der Faltung der beiden Funktionen s1 und s2 im Zeitbereich.

s1(t), s2(t)

×

×

×

Ö

s1(t) † s2(t)

cs S1(f), S2(f)

×

×

×

c s S1(f)ÖS2(f)

15.5 Periodische Funktionen

Wie der Name schon andeutet, besteht zwischen Fourier-Reihe und Fourier-Transforma- tion ein enger Zusammenhang. Wir werden sehen, dass man die Fourier-Reihe einer periodischen Funktion mithilfe der Fourier-Transformation berechnen kann. Grenzwertbetrachtungen werden zeigen, dass Fourier-Transformationen eine Verallgemeinerung von Fourier-Reihen für nicht periodische Funktionen darstellen.

15.5.2 Koe zienten der Fourier-Reihe

Die Formel zur Berechnung der komplexen Koe zienten der Fourier-Reihe einer Funktion s mit Periode T aus Satz 13.4

k=−∞

k=−∞

590	15 Fourier-Transformation

15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe

Zur Fourier-Transformation einer periodischen Funktion verwenden wir die Fourier-Reihe. Eine Funktion s mit Periode T können wir durch ihre komplexe Fourier-Reihe

s t	∞	ck ei k ω t, ω	=	2π
					T
(	) = kQ
	=−∞

darstellen, siehe Definition 13.5. Anstelle der Periode T verwenden wir die Grundfrequenz f0 = T1 . Dadurch erhalten wir

s t	∞	ck ei 2 π k f0 t .
(	) = kQ
	=−∞

Aus Beispiel 15.11 wissen wir bereits, dass die Fourier-Transformation der Zeitfunktion

1 die Frequenzfunktion δ

(

f

)

ergibt. In Kombination mit der Frequenzverschiebung aus

Satz 15.6 erhalten wir

1

c

s

δ f

ei 2 π k f0 t 1 c

s δ f kf0

.

Nun wenden wir die( Linearität) Ô aus Satz 15.4

auf die unendliche( −

)Reihe an und erhalten

∞

ck ei 2 π k f0 t

∞

ck δ

f

kf0

.

c

s

(

−

)

kQ

kQ

=−∞

=−∞

Satz 15.20 (Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe)

Die Fourier-Transformierte einer

Fourier-Reihe mit Periode T besteht aus Dirac-

Impulsen an den ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz f0 =

1

:

T

∞

ck ei 2 π k f0 t

c

s

∞

ck δ

(

f

−

k f0

)

.

Q

Q

		1		T						2π
				2		e		i k ω t dt, ω
	ck			s	t
		= T					−		= T
				S− T2	(	)

und die Formel zur Berechnung der Fourier-Transformation aus Definition 15.1

	s t					S		f	∞ s t		e i 2 π f t dt
		)	c s				(
	(								) = S−∞	(	) −

15.5 Periodische Funktionen

591

besitzen eine gewisse Ähnlichkeit. Es stellt sich deshalb die Frage, ob wir die FourierKoe zienten nicht auch mithilfe der Fourier-Transformation berechnen können. Dazu verwenden wir wieder anstelle der Periode T die Grundfrequenz f0 = T1 :

T		1
2
ck = f0 S− T2	s(t) e−i 2 π k f0 t dt, f0 =			.
			T

Die beiden Formeln unterscheiden sich nur durch die unterschiedlichen Argumente f bzw. k f0 in der e-Funktion, durch das Integrationsintervall und den Vorfaktor f0. Bei der Formel zur Berechnung der Fourier-Koe zienten erstreckt sich die Integration über eine volle Periode und bei der Fourier-Transformation über alle reellen Zahlen. Eine Verbesserung der Darstellung scha t hier eine Art Prototyp der periodischen Funktion.

Definition 15.5 (Prototyp einer periodischen Funktion)

Zu einer Funktion s mit Periode T definiert man den periodischen Prototyp

¢

¨ s(t)

¨

s0(t) = ¦

¨ 0

¨

¤

für − T2 < t ≤ T2 sonst .

Der periodische Prototyp s0 stimmt im Intervall zwischen −T2 und T2 mit der periodischen Funktion s überein und ist außerhalb dieses Intervalls null. Der Trick besteht nun darin, nicht die Fourier-Transformation von s zu betrachten, sondern die Fourier-Transformation von s0, also

∞ s0

T

s0

t

S0

f

t

e

i 2 π f t dt

2

s

t

e

i 2 π f t dt.

)

c s

(

) =

)

−

=

−

T

(

−∞

(

2

(

)

−

Dadurch ergibt sich der ZusammenhangS

S

ck = f0 S0(k f0).

Satz 15.21 (Fourier-Reihe aus Fourier-Transformation)

Die komplexen Koe zienten ck der Fourier-Reihe einer Funktion s mit Periode T kann man mithilfe der Fourier-Transformation berechnen:

(1) Bestimme die Fourier-Transformierte des periodischen Prototyps s0:

∞ s0

T

s0

t

S0

f

t

e

i 2 π f t dt

2

s t

e

i 2 π f t dt.

(

) c s

(

) =

S

−∞

(

)

−

=

−

2

(

)

−

S

(2)Die Koe zienten ck entsprechen dem Produkt der Grundfrequenz f0 = T1 mit den Funktionswerten von S0 an den ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz:

ck = f0 S0(k f0), k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .

592	15 Fourier-Transformation

Beispiel 15.15 (Fourier-Reihe aus Fourier-Transformation)

Die Fourier-Reihe der abgebildeten Funktion s mit Periode T = 2 soll mithilfe der Fourier-Trans- formation berechnet werden. Dazu betrachten wir den Prototyp s0 der periodischen Funktion s. Die Fourier-Transformierte dieser Rechteckfunktion haben wir in Beispiel 15.10 berechnet:

s0

t

S0

f

sin

π f

.

c s

)

(

) =

(

)

1

(

1

π f

Die Formel aus Satz 15.21 ergibt

mit f0

=

=

π2

k

Ž

=

T

=

1

‹

• =

1

sin

‰ T

sin

‰

Ž

ck

S0

T

T

T

π

k π

			2
	s(t)		1	s0(t)
−3	−2	−1		1	2	3	t
.

Die komplexen Fourier-Koe zienten sind

1 ,

c1

1 ,

c2 0,

c3

−

1 ,

c4 0,

c5

c6 0,

c7

−

1

,

c8 0, . . .

Den

=

=

=

=

=

=

=

=

π

3 π

5 π

7 π

Mittelwert c0 können wir aus dem Grenzwert

c0

1

S (f)

) =

1

=

lim sin π f

1

c1

T

0

c0

f0

lim S0

f

2

c5

1

2

3

f

f

→

0

( ) =

→

0

2(

2

c3

f

π f

c2

c4

c6

bestimmen, siehe Beispiel 6.18. Dadurch ergibt sich

die Fourier-Reihe mit der Kreisfrequenz ω = π:

s t

1

2

cos

π t

1

3 π t

1

5 π t

1

7 π t

. . .

.

Ì

2

π

3 cos

5 cos

7 cos

( ) =

+

‹

(

) −

(

) +

(

) −

(

) +

•

15.5.3 Grenzwertbetrachtung

Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass man die Koe zienten der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion aus der Fourier-Transformierten des Prototyps s0 berechnen kann. Umgekehrt werden wir nun zeigen, dass die Fourier-Transformation eine Art Fourier-Reihe für nicht periodische Funktionen darstellt. Dabei betrachten wir eine nicht periodische Funktion als Grenzwert einer periodischen Funktion, bei der die Periode gegen unendlich

geht. Aus der Formel aus Satz 15.21 ergibt sich mit T = 1

f0

ck = f0 S0(k f0) Ô T ck = S0 ‹	k	• .
	T

Daraus erkennen wir, wie das Spektrum ck einer Funktion s mit Periode T sinnvollerweise zu normieren ist. Wir tragen die Werte von T ck über den Stellen Tk ab. Für wachsende T -Werte werden die Abstände zwischen den Stellen Tk immer geringer und wir nähern uns immer besser an die Fourier-Transformation S0 des periodischen Prototyps s0 an.

15.5 Periodische Funktionen

593

Beispiel 15.16 (Fourier-Transformation als Grenzwert)

Wir betrachten Rechteckfunktionen mit wachsenden Perioden T . Der periodische Prototyp s0 bleibt hierbei immer dieselbe Funktion. Eine Formel für die komplexen Fourier-Koe zienten ck kennen wir bereits aus Beispiel 15.15:

	1		k	π• .
ck = k π sin ‹ T											k	aufgetragen wird, für größer werdende
Wir betrachten nun die Schaubilder, bei denen T ck über											T
Perioden T .								T	=	2
												2
1												T ck
												1
1	2	3	4	5	6	7	8	t	=	3		1	2	k/T
								T				2
1												T ck
												1
1	2	3	4	5	6	7	8	t	=	4		1	2	k/T
								T				2
1												T ck
												1
1	2	3	4	5	6	7	8	t	=	6		1	2	k/T
								T				2
1												T ck
												1
1	2	3	4	5	6	7	8	t	=	8		1	2	k/T
								T				2
1												T ck
												1
1	2	3	4	5	6	7	8	t				1	2	k/T

Das normierte Spektrum konvergiert gegen die Fourier-Transformierte S0 des periodischen Pro-
totyps s0.	c s

1			s0(t)
1	2	3	4	5	6	7	8	t

1	S0	(f)
2
		1	2	3	f Ì

Fourier-Transformation und normiertes Spektrum

Beim normierten Spektrum einer Fourier-Reihe betrachtet man die Werte T ck über den Stellen Tk für k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . Dabei sind ck die komplexen FourierKoe zienten einer Funktion s mit Periode T . Im Grenzwert für T → ∞ konvergiert das normierte Spektrum gegen die Fourier-Transformierte S0 des periodischen Prototyps s0 der Funktion s.

Nochmals: Der Grenzwert T → ∞ ist dabei so zu verstehen, dass der periodische Prototyp s0 unverändert bestehen bleibt und das restliche Intervall mit größer werdendem T mit der Nullfunktion ausgefüllt wird.